空间向量及其运算课件

空间向量及其运算空间向量及其运算11．空间共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线

，则这些向量为共线向量或平行向量．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使

.互相平行或重合a＝λb要点梳理空间向量及其运算1．空间共线向量互相平行或重合a＝λb要点梳理空间向量及其运2(3)共线向量定理的推论①对于空间任一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在

实数t，使OP＝(1－t)OA＋tOB或OP＝xOA＋yOB(其中x＋

y＝1)．②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，

那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，

满足关系式

.其中非零向量a

叫直线l的方向向量OP＝OA＋ta(3)共线向量定理的推论OP＝OA＋ta32．空间共面向量(1)共面向量把

的向量，叫做共面向量．(2)共面向量定理

如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使

.平行于同一平面p＝xa＋yb2．空间共面向量平行于同一平面p＝xa＋yb4(3)推论空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实

数对x，y，使MP＝

，或对空间任一定点O，

有OP＝

①，我们称①式为平面MAB

的向量表示式．xMA＋yMB

OM＋xMA＋yMB

(3)推论xMA＋yMBOM＋xMA＋yMB5[思考探究]向量AB∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？提示：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况．因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内．[思考探究]提示：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于63．空间向量基本定理(1)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使

.p＝xa＋yb＋zc(2)推论

设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存

在唯一的有序实数组x，y，z，使OP＝

.xOA＋yOB＋zOC3．空间向量基本定理p＝xa＋yb＋zc(2)推论xOA＋y74.空间向量的数量积及运算律4.空间向量的数量积及运算律81．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做

．x轴，y轴，z轴统称

．由坐标轴确定的平面叫做

．原点坐标轴坐标平面空间直角坐标系、空间向量及其运算(2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的

，y叫做点M的

，z叫做点M的

．横坐标竖坐标纵坐标1．空间直角坐标系及有关概念原点坐标轴坐标平面空间直角坐标系92．空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝

.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

(a，b为非零向量)．a1b1＋a2b2＋a3b32．空间向量坐标表示及应用a1b1＋a2b2＋a3b310空间向量及其运算ppt课件11题型一空间向量的线性运算探究1题型一空间向量的线性运算探究112解（1）∵P是C1D1的中点，解（1）∵P是C1D1的中点，13空间向量及其运算ppt课件14用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.用已知向量来表示未知向量，一定要结15空间向量坐标及坐标运算（365p158页）例1设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算

2a+3b,3a-2b,a·b

以及a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件，使λa+μb与z轴垂直.解2a+3b=2×（3，5，-4）+3×（2，1，8）

=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）.3a-2b=3×（3，5，-4）-2×（2，1，8）

=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）.a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=6+5-32=-21.空间向量坐标及坐标运算16（λa+μb）·（0，0，1）=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ）·（0，0，1）=-4λ+8μ=0，即λ=2μ，∴当λ，μ满足λ=2μ时，可使λa+μb与z轴垂直.（365p158页）例1设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算

a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件，使λa+μb与z轴垂直.（λa+μb）·（0，0，1）（365p158页）例1设向17探究2(1)求证：面PAC⊥面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．题型二平行和垂直探究2(1)求证：面PAC⊥面PCD；题型二平行和垂直18又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥面PAC，CD⊂面PCD，∴面PAC⊥面PCD.6分解：(1)证明：设PA＝1，由题意PA＝BC＝1，AD＝2.∵PA⊥面ABCD，∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.2分∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，解：(1)证明：设PA＝1，19(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令P(0,0,1)，C(1,1,0),D(0,2,0)，(2)分别以AB、AD、AP为x轴、20∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥面PAB，此时E为PD的中点．12分∴E是PD的中点，21（365p158页）例2如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．解：如图建系，D为坐标原点，设（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG，依题意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且∴，故PA//EG，而平面EDB，且平面EDB，∴PA//平面EDB（365p158页）例2如图，在四棱锥P—ABCD中，底22（2）证明；依题意得故∴由已知且所以平面EFD（2）证明；依题意得故∴由已知且所以平面EFD23（365p156页）探究3：在棱长为1的正方体中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CG＝CD/4，H为C1G的中点，⑴求证：EF⊥B1C；⑵求EF与C1G所成角的余弦值；⑶求FH的长。解：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，由题意知E(0,0,1/2),F(1/2,1/2,0