统计与概率-随机思想与概率（小学数学课件）

古典概型1.掷一颗骰子，观察出现的点数。这个试验的基本事件空间Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝。它有6个基本事件。由于骰子的构造是均匀的，因而出现这６种结果的机会是均等的，均为。2.一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况.这个试验的基本事件空间Ω＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝。它有4个基本事件。因为每一枚硬币“出现正面”与“出现反面”的机会是均等的，所以可以近似地认为出现这4种结果的机会是均等的，均为。3.在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”。这个试验的基本事件空间为Ω＝｛发芽，不发芽｝，而这两种结果出现的机会一般是的。

不均等问题情境（1）问题1，2与问题3不相同。（2）问题1，2有两个共同特征：如果一个随机试验有上述（2）中的两个共同特征，我们就称这样的试验为古典概型，上述前2个例子均为古典概型。一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征———有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型。例如，第3个例子就不属于古典概型。建立模型①有限性。在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件。②等可能性。每个基本事件发生的可能性是均等的。古典概型的定义：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）试验中每个基本事件出现的可能性相等。建立模型具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率模型称为古典概率模型，简称古典概型，也叫等可能概型。建立模型

［练习一］在题2中，把“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。［例题一］解释应用甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），求：（1）平局的概率。（2）甲赢的概率。（3）乙赢的概率。

［练习二］

抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率。（2）出现两个4点的概率。［例题二］解释应用［例题三］掷红、蓝两颗骰子，事件A＝｛红骰子的点数大于3｝，事件B＝｛蓝骰子的点数大于3｝，求事件A∪B＝｛至少有一颗骰子点数大于3｝发生的概率。解：设A，B是Ω中的两个事件。P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），特别地，当A∩B＝时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

［练习三］一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63．问：至少有一根熔断的概率是多少？解释应用甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），求：（1）平局的概率。（2）甲赢的概率。（3）乙赢的概率。

［例题二］解释应用每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲。同样地，他的父亲和母样的基因也有两份。在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代。以褐色的眼睛为例，每个人都有一份基因显示他眼睛的颜色：（1）眼睛为褐色．（2）眼睛不为褐色．如果孩子得到父母的基因都为“眼睛为褐色”，则孩子的眼睛也为褐色。如果孩子得到父母的基因都为“眼睛不为褐色”，则孩子眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）。如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”，另一份为“眼睛不为褐色”，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会出现眼睛颜色为褐色的情况。生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫作显性基因。为方便起见，我们用字母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因。每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB，Bb（表示父亲提供基因B，母亲提供基因b），bB，bb。注意在BB，Bb，bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色。假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？拓展延伸几何概型如图，有两个转盘。甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜。在下列两种情况下分别求甲获胜的概率。问题情境甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关。即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比。提问：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型。注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的。（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）。建立模型几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：建立模型

（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率。建立模型1.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少。［例题一］解释应用解法：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间。假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件。根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以：

解释应用如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值。

［例题二］解释应用1.如图1，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域。

练习1.“概率为数‘0’的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2.你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？3.你能说说频率和概率的关系吗？拓展延伸统计概型你是怎样理解的？2004年2月5日《文汇报》登载的两则消息：本报讯记者梁红英报道：2月3日晚6点19分，一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票，同时投中10注一等奖，独揽48571620元巨额奖金，创下中国彩票史上个人一次性奖额之最。据有关人士介绍，该彩民当时花了200元买下100注“江浙沪大乐透”彩票，分成10组，每组10注，每组的自选号码相同。结果，其中1组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”2004015期开奖号码完全一致。本报讯记者江世亮报道：对这种似乎不可能发生事件的发生，从数学概率论上将作何解释？为此，记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家，他说，以他现在不完全掌握的情况来分析，像这名幸运者同时获得10个大奖的概率，可称得上一次万亿分之一的事件，通俗地讲就是接近于零。问题情境天气预报说“明天降雨的概率是80%，我们明天出门要不要带伞？”收音机里广播报道“2004年冬某地流行性感冒的发病率为10%”，我们这里要不要采取预防措施？对这些在传播媒体上出现的数字80%，10%等，我们该作何理解呢？问题情境你是怎样理解的？第二组做抓阄试验。写五个阄，即分别标号为1，2，3，4，5，有放回地抓，每次记录下号数，次数越多越好。不妨统计一下各号数所占频率。第三组做摸围棋子试验。预先准备黑、白围棋子若干，然后给该组学生黑子30粒，白子10粒，让该组学生有放回地摸，次数为100次，每次摸出1粒，并记录下每次摸到的棋子的颜色，求出白子出现的频率。从熟悉的频率的概念入手；将全班同学平均分成三组，某个组的频数与样本容量的比值叫做这个组的频率。第一组做掷硬币试验，次数越多越好，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果和计算结果分别填入下表。建立模型小组编号

抛掷次数n正面向上的次数m

实验结果：出现与上述结果比较接近的数字受何因素影响？建立模型实验者抛掷次数（n）正面向上的次数（m）棣莫佛204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005建立模型历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度的越小，而且观察到的大偏差也越少，频率呈现一定的稳定性。

一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记为P（A）。概率P（A）的取值范围是什么？频率和概率有何关系？必然事件、不可能事件的概率各是多少？在大量重复试验的前提下，频率可以近似地称为这个事件的概率，而概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小。例如：给定一根木棒，谁都不怀疑它有“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近。事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值。这里测量值就像本节中的频率，“客观”长度就像概率。频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有密