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曲面的切平面与法向量一、隐式方程的情形二、显式方程的情形*三、参数方程的情形第六节（2）第九章曲面的切平面与法向量一、隐式方程的情形二、显式方程的情形*三一、隐式方程的情形

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.

一、隐式方程的情形

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线曲面

在点M的法向量法线方程切平面方程曲面在点M的法向量法线方程切平面方程例1.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.

解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程

即法线方程法向量令例1.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线二、显式方程的情形，二、显式方程的情形，法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为空间中的平面方程几何意义空间中的平面方程几何意义求在点处的切平面和法线方程.解1令则切平面方程：法线方程：

例3.求在点处的切平面和法线方程.解1令则切平面方程：法线方程：例3解2例3解2小结：曲面的切平面与法线（向量都在点M

上取值）F(x,y,z)=0法向量法向量1)隐

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