第4章幂函数、指数函数和对数函数知识点清单 高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

2/2新教材湘教版2019版数学必修第一册第4章知识点清单目录第4章幂函数、指数函数和对数函数4.1实数指数幂和幂函数4.1.1有理数指数幂4.1.2无理数指数幂4.1.3幂函数4.2指数函数4.3对数函数4.3.1对数的概念4.3.2对数的运算法则4.3.3对数函数的图象与性质4.4函数与方程4.5函数模型及其应用第4章幂函数、指数函数和对数函数4.1实数指数幂和幂函数4.1.1有理数指数幂4.1.2无理数指数幂一、根式1.若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn=a，则称x是a的n次方根.2.当n为奇数时，数a的n次方根记作na当a>0时，na当a=0时，na当a<0时，na3.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作na当a>0时，若xn=a，则x=±na4.规定：n05.式子na叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a6.一般地，有(na)n当n为奇数时，nan当n为偶数时，nan二、分数指数幂1.当a>0，m，n∈N，且n≥2时，规定nam=amn，12.0的正分数指数幂为0；0没有负分数指数幂.三、有理指数幂与实数指数幂的运算法则1.实数指数幂：给定任意正数a，对任意实数u，au叫作a的u次幂.其中，a叫作底数，u叫作指数.2.有理指数幂的运算法则，对实数指数幂仍然成立. 3.幂运算基本不等式：对任意的正数u和正数a，若a>1，则au>1；若a<1，则au<1.对任意的负数u和正数a，若a>1，则au<1；若a<1，则au>1.四、根式与指数幂的运算 1.进行根式与指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序.五、有关指数幂的条件求值 1.解决条件求值问题的方法——整体代换法将已知条件或所求代数式进行恰当的变形，从而通过“整体代换法”求出代数式的值.常用的变形公式如下：(1)a±2a12b12+b=(a1(2)(a12+b12)((3)a32+b32=(a1(4)a32-b32=(a14.1.3幂函数一、幂函数1.一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y=xα叫作(α次)幂函数.2.函数y=xn(x∈R，n∈Z+)是正整数次幂函数.3.y=x-n(x≠0，n∈Z+)是负整数次幂函数.4.正整数次幂函数和负整数次幂函数统称为整数次幂函数.5.当α是分数时，函数y=xα是分数次幂函数.二、实数次幂函数的性质1.一般地，对于实数次幂函数y=xα(α≠0)：(1)当α>0时，它在[0，+∞)上有定义且递增，值域为[0，+∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点；(2)当α<0时，它在(0，+∞)上有定义且递减，值域为(0，+∞)，函数图象过点(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近.三、常见幂函数的图象与性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1图象定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(-∞,+∞)上单调递增在(-∞,0]上单调递减，在(0,+∞)上单调递增在(-∞,+∞)上单调递增在[0,+∞)上单调递增在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减过点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)四、幂值的大小比较 1.比较幂的大小时，若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.五、运用幂函数的性质解决相关问题 幂函数的性质与参数α可以互相确定：1.幂函数y=xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等.2.由幂函数的性质限制α的取值：(1)利用幂函数的单调性确定α的取值范围；(2)由奇偶性结合所给条件确定α的值.4.2指数函数一、指数函数二、指数爆炸和指数衰减1.当底数a>1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时，指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸.在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长.2.如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作

指数衰减.3.指数衰减的特点：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量.三、指数函数的图象与性质y=ax(a>1)y=ax(0<a<1)图象及其特征图象及其特征图象总在x轴的上方，且图象与x轴永不相交自左向右看，图象呈上升趋势自左向右看，图象呈下降趋势在y轴的右侧，图象在直线y=1的

上方；在y轴的左侧，图象在直线y=1的下方在y轴的右侧，图象在直线y=1的

下方；在y轴的左侧，图象在直线y=1的上方性质定义域为R，值域为(0，+∞)函数图象过定点(0，1)，即a0=1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在R上是增函数在R上是减函数对称性指数函数y=ax和y=1ax(a>0，且a≠(1)当底数a的大小不确定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论；(2)画指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：−1,1a，(0,1)，(1四、与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题 1.指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数等结合构成指数型复合函数.指数型复合函数的定义域和值域的求法如下：(1)求定义域的方法①函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与函数y=f(x)的定义域相同.②函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域与函数y=f(x)的定义域不一定相同.例如，函数f(x)=x的定义域为[0，+∞)，而函数f(x)=ax的定义域为R.求函数y=f(ax时，可由函数f(x)的定义域与g(x)=ax的值域，结合指数函数的相关性质求解.(2)求值域的方法①求函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域时，先求函数y=f(x)的值域，再根据指数函数的

单调性确定函数y=af(x)的值域.②求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围.五、与指数函数有关的复合函数的单调性问题 1.形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：当a>1时，函数u=f(x)的单调增(减)区间即为函数y=af(x)的单调增(减)区间；当0<a<1时，函数u=f(x)的单调减(增)

区间即为函数y=af(x)的单调增(减)区间.2.形如y=f(ax)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：通过内层函数u=ax的取值

范围确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根

据复合函数单调性“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间.六、比较指数幂的大小  4.3对数函数4.3.1对数的概念4.3.2对数的运算法则一、对数的概念1.对数的概念如果ab=N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b=logaN.这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数.2.常用对数与自然对数通常，我们将以10为底的对数叫作常用对数，并把log10N记为lgN.以e(e=2.71828…)为底的对数叫作自然对数，并把logeN记为lnN.3.对数的基本恒等式(1)aloga(2)b=logaab(b∈R，a>0且a≠1).特别地，logaa=logaa1=1，loga1=logaa0=0.即底的对数为1，1的对数为0.二、对数的运算法则(1)loga(M·N)=logaM+logaN；(2)logaMn=nlogaM(n∈R)；(3)logaMN=logaM-loga(其中a>0，且a≠1，M>0，N>0)三、换底公式1.公式：logaN=logaNlogab.最常用的对数换底公式是loga2.换底公式的重要推论：①logamNn=nmlogaN(a>0，且a≠②logab=1logba(a>0，且a③logab·logbc·logcd=logad(a，b，c>0，且a，b，c≠1，d>0).四、对数式化简的常用方法和技巧  (1)同底数的对数式化简的常用方法：①“收”，即逆用对数的运算法则，将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算法则，将一个对数式“拆”成多个对数的和或差.(2)常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题.(3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简.(4)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“平方”或“取倒数”.五、对数运算法则的综合应用 1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义和运算法则，尤其要注意

条件和结论之间的关系.2.解决对数应用问题时，首先要理解题意，弄清关键词及字母的含义，然后恰当设

未知数，建立数学模型，最后转化为对数问题求解.4.3.3对数函数的图象与性质一、对数函数的概念1.对数运算y=logax(x>0，a>0且a≠1)确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数.2.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数.这时，指数函数的定

义域(-∞，+∞)成了对数函数的值域，指数函数的值域(0，+∞)是对数函数的定义域.3.一般地，若f(x)和g(x)互为反函数，则它们的图象关于直线y=x轴对称.两者中一个递增另一个也递增，一个递减另一个也递减，但两者的单调区间一般不相同.二、对数函数的图象与性质图象定义域(0，+∞)值域R性质图象过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，+∞)上是增函数在(0，+∞)上是减函数三、对数型函数的图象及其应用 1.对数型函数图象过定点问题求函数y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出它的

解x0，即确定所过的定点为(x0，m).2.函数图象的变换规律(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或

向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般可经过对称变换得到.四、与对数型函数有关的定义域、值域问题 1.求对数型函数定义域的注意点(1)求对数型函数的定义域，要注意真数大于0，即在y=logaf(x)(a>0，且a≠1)中应首

先保证f(x)>0.(2)若底数中也含有参数，则参数应使底数大于0且不等于1.2.求对数型函数值域的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的范围出发，结合函数的性质，直

接得出函数的值域.(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0,a>0，且a≠1))时，可以用配方法求函数的值域.(3)根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.(4)换元法：求形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的函数值域的步骤：①换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围；②利用y=logau的图象和性质求出y的取值范围，即函数的值域.五、与对数函数有关的复合函数的单调性 1.求复合函数的单调性的两个要点(1)单调区间是定义域的子集.(2)若a>1，则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；若0<a<1，则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.六、如何比较对数值的大小 1.比较对数值大小常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性比较.(2)同真数的利用对数函数的图象比较或用换底公式转化后再比较.(3)底数和真数都不同的，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.4.4函数与方程一、函数零点存在定理1.如图，一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0.如果知道y=f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)=0在(a，b)内恰有一个根. 二、计算函数零点的二分法1.二分法可以用来寻找函数的零点，迅速地缩小搜索范围，接近零点的准确位置.2.设函数y=f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上的

一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x-x0|≤ε.(1)在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0；(2)取区间[a，b]的中点m=(a+b)2(3)如果|m-a|<ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止；(4)计算f(m)，如果f(m)=0，则m就是f(x)的零点，计算终止；(5)f(m)与f(a)同号，则令a=m，否则令b=m，再执行(2).三、函数的零点及其应用 1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法(1)转化为解相应的方程，根据方程的解的个数进行判断.(2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)利用函数零点存在定理进行判断，注意函数的单调性.若函数f(x)在区间[a，b]上

的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调递增或单调递减，若函数f(x)

满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点.(4)转化成两个函数图象的交点问题.2.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再解不等式确定参数的取

值范围.(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角