2022-2023学年四川省成都市十县市高一（下）期末数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知，则()

A.B.C.D.

2.已知，为共线向量，且，，则()

A.B.C.D.

3.已知为虚数单位，复数的共轭复数为，且满足，则()

A.B.C.D.

4.，是不同的直线，，，是互不相同的平面，下列说法正确的是()

A.若直线，在平面内，且均平行平面，则平面与平面平行

B.若平面平行直线，直线平行平面，则平面与平面平行

C.若平面垂直平面，平面垂直平面，则平面与平面平行

D.若直线垂直平面，直线垂直平面，则直线与直线平行

5.在中，，，，则的值为()

A.B.C.D.

6.已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，则为()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上皆有可能

7.“辛普森公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积等于其上底面的面积、中截面过高的中点且平行于底面的截面的面积的倍、下底面之和乘以高的六分之一，即我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思就是指上下底面皆为矩形的拟柱体，已知某个“刍童”如图所示，，，，，且体积为，则它的高为()

A.B.C.D.

8.设正三棱锥的底面的边长为，侧面与底面所成的二面角的余弦值为，则此三棱锥的体积为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.的内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是()

A.

B.若，则为

C.若，则为等腰直角三角形

D.若，则是钝角三角形

10.九章算术是我国古代的数学经典名著，它在几何学方面的研究比西方早一千年，在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图，“鳖臑”几何体中，平面，，于点，于点设，，，则有()

A.四面体最长的棱为B.平面平面

C.，，两两互相垂直D.

11.已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是()

A.若，则为的重心

B.若，则为的内心

C.若为的重心，是边上的中线，则

D.若，则

12.下列各式中，值为的是()

A.

B.

C.

D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.化简的结果是______．

14.______．

15.若复数满足，为虚数单位，表示的共轭复数，则的取值范围为______．

16.如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，且，，则该四棱锥的外接球的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知平面向量，，，且，，．

若，求实数，的值；

若，求实数的值．

18.本小题分

如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，，且，分别是，的中点．

求证：平面；

求直线与平面所成角．

19.本小题分

用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

_______________

_____

请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；

当时，求的值域．

20.本小题分

如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，边长为，，点为侧棱的中点，过，，三点的平面交侧棱于点求四棱锥的体积；

求证：．

21.本小题分

世界大学生夏季运动会，素有“小奥运会”之称，由国际大学生体育联合会主办，只限在校大学生和毕业不超过两年的大学生年龄限制为岁参加的世界大型综合性运动会始办于年，其前身为国际大学生运动会第届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕，为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖公园一角修建具有成都文化特色的观景步道如图在中，，是边上一点，米，．

若米，求；

当，记，求当角取何值时，的面积最大，并求出这个最大值，

22.本小题分

已知函数，函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的图象，．

若，求；

若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为，

所以．

故选：．

由已知利用二倍角的余弦公式即可求解．

本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：共线，

，解得，

，

．

故选：．

根据共线即可求出的值，从而得出向量的坐标，进而得出的值．

本题考查了共线向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：，

则，

，

故．

故选：．

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．

本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：对于，若直线，在平面内，且均平行平面，则平面与平行或相交，故A错误；

对于，若平面平行直线，直线平行平面，则平面与平面平行或相交，故B错误；

对于，若平面垂直平面，平面垂直平面，则平面与平面平行或相交，故C错误；

对于，若直线垂直平面，直线垂直平面，则由线面垂直的性质得直线与直线平行，故D正确．

故选：．

根据线面的位置关系可判断，利用线面垂直的性质可判断．

本题考查线面的位置关系、线面垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

5.【答案】

【解析】解：解法一：由题意有：，，

则，

故；

解法二：由法一可得，

则向量在上的投影为，

由数量积的几何意义可知：．

故选：．

由题设知为直角三角形，故所求数量积可用定义法或者数量积的几何意义两种方式求解．

本题考查平面向量的数量积运算，属基础题．

6.【答案】

【解析】解：，

由正弦定理可得，，

，

，

，

，即，

，

，

，

是直角三角形．

故选：．

由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，由，结合可求的值，即可判断三角形的形状．

本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：上底面为，下底面为，中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，

根据中位线定理得，，

所以中截面为，

计算该几何体的面积为：，

解得，所以几何体的高为．

故选：．

求出上下底面积和中截面面积，代入公式即可求出高．

本题考查了空间几何体的体积公式应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

8.【答案】

【解析】解：如图，

正三棱锥的底面的边长为，设底面正三角形的中心为，

连接并延长，交于，连接，可得为侧面与底面所成二面角的平面角，

，则，．

，

三棱锥的高，

此三棱锥的体积为．

故选：．

由题意画出图形，可得侧面与底面所成角，求出棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．

本题考查棱锥体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．

9.【答案】

【解析】解：因为，故，A正确；

若，由余弦定理可得，由为三角形内角得，B正确；

若，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，C错误；

若，则，由余弦定理得，

所以为钝角，是钝角三角形，D正确．

故选：．

由已知结合正弦定理，余弦定理及正弦函数的性质检验各选项即可判断．

本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：由平面，，可得，，，，

所以，，，，

则，，，，所以四面体最长的棱为，故A、都正确；

如果平面平面，，可得平面，即有，又，可得平面，

即有，与矛盾，故B错误；

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

所以，故D正确．

故选：．

由线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的性质定理、直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义，可判断正确结论．

本题考查线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：取的中点，连接，则，

若，则，则，，三点共线，且，

则为的重心，故A正确；

若，则为的外心，不一定是内心，故B错误；

若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误；

取的中点，连接，则，

若，则，则，，三点共线，且，

则，故D正确．

故选：．

取的中点，则，得，即可判断；

若，则为的外心，不一定是内心，即可判断；

由题意，则，即可判断；

取的中点，则，得，，即可判断．

本题主要考查三角形的五心，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：对于，，故A正确；

对于，，

，故B错误；

对于，，

，故C正确；

对于，，

，故D正确．

故选：．

由三角恒等变换、诱导公式、同角三角函数的基本关系等知识化简各选项即可．

本题考查三角恒等变换、诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：．

故答案为：．

根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解．

本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：因为．

故答案为：．

根据两和差的正弦公式计算即可．

本题考查了两个差的正弦公式，属于易做题．

15.【答案】

【解析】解：，

则，

故，

故的取值范围为．

故答案为：．

根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．

本题主要考查复数模公式，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：将四棱锥补成长方体如图：

则此四棱锥的外接球即为长方体的外接球，

长方体的对角线长为，

所以四棱锥的外接球的直径为，即半径，

则该四棱锥的外接球的表面积为．

故答案为：．

将四棱锥补成长方体，求出长方体的对角线长，即可得外接球的半径，进而得表面积．

本题考查了四棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．

17.【答案】解：，，，，

则，解得；

，，

则，

，，

，解得．

【解析】根据已知条件，结合向量相等的条件，即可求解；

根据已知条件，结合向量垂直的条件，即可求解．

本题主要考查向量相等的条件，以及向量垂直的条件，属于基础题．

18.【答案】证明：分别取，的中点，，连接，，，则，，

因为平面，平面，所以平面，

同理可得，平面，

又，、平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面．

解：由知，，

因为直三棱柱，所以平面，所以平面，

又平面平面，所以与平面所成的角就是直线与平面所成角，即为所求，

在中，，，

所以，

因为，所以，

故直线与平面所成角为．

【解析】分别取，的中点，，连接，，，可证平面平面，再由面面平行的性质定理，得证；

由平面，平面平面，知即为所求，再由三角函数的知识，得解．

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，面面平行的判定定理与性质定理，线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于基础题．

19.【答案】解：把表格填完整：

根据表格可得，可得，

，

再根据五点法作图可得，

，

函数的解析式为：

，可得，

．

【解析】由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，进而可将表数据补充完整．

利用正弦函数的性质即可求解．

本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于中档题．

20.【答案】解：平面，平面，

，

，，

，

故四棱锥的体积；

证明：平面，平面，

，

，，，平面，

平面，又平面，

，

，

为侧棱的中点，

，

，，平面，

平面，

平面，

．

【解析】根据已知条件，求出，再结合四棱锥的体积公式，即可求解；

根据已知条件，先证明平面，，再结合线面垂直的判定定理，即可求证．

本题主要考查棱锥体积的求解，考查转化能力，属于中档题．

21.【答案】解：在中，，

即为，解得，

可得锐角，

所以，

在中，米；

在中，，，

因为，所以，解得，

由于为锐角，可得，

即的最小值为，进而取得最大值，

所以的最大值为，

的面积最大值为平方米．

【解析】运用正弦定理和直角三角形的锐角三角函数，计算可得所求值；

由正弦定理和正弦函数的性质求得角的最小值，进而达到的最大值，可得面积的最大值．

本题考查正弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

22.【答案】解：因为

，

由，可得，，

所以，，

解得，；

由题意可得，

当时，，，

若对任意，存在使得成立，

则函数，，的值域是的子集，

，，

令，记，

当时，，

，

在上单调递减，则，即，

由题意得，解得，又，矛盾，所以无解；

当时，，

，

，

在上单调递减，在上单调递增，在上单