复习：二维随机变量函数的分布课件

随机变量函数的分布

复习随机变量函数的分布

复习例1设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24=1,c=24/5解：(1)由确定C例1设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）例1设(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.注意积分限注意取值范围xy01y=x例1设(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)例1设(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.注意积分限注意取值范围xy01y=x例1设(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)即即若(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：0<x<10<y<1由于存在面积不为0的区域，故X和Y不独立.若(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：0<x<1为了解决类似的问题下面我们讨论多维随机变量函数的分布.问题为了解决类似的问题下面问题一、二维离散型随机变量的函数的分布设(X，Y)是二维离散型随机变量，则

Z=X+Y的分布也是一个随机变量。下面讨论其分布。

设(X，Y)的联合分布律为

P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…一、二维离散型随机变量的函数的分布设(X，Y)是二维离散型随则Z=X+Y的可能取值zk=xi+yj(k=1，2，…)，因此Z也是离散型随机变量,其分布律为（求和是对一切使xi+yj=zk的i、j来作）特别，若X与Y相互独立,则类似地，可讨论其它情形。则Z=X+Y的可能取值zk=xi+yj(k=1，2，…例1设二维随机变量(X，Y)的联合分布律如下表所示。

试求Z1=X+Y；Z2=XY；Z3=max{X,Y}的分布律。

YX-112-120.250.10.30.150.150.05例1设二维随机变量(X，Y)的联合分布律如下表所示。试解先列出如下表格

(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)(X,Y)Z1=X+YZ2=XYZ3=max{X,Y}0.250.10.30.150.150.05

-2011341-1-2-224

-112222解先列出如下表格(-1,-1)(-1,1因此，Z1=X+Y的分布律为Z1pk-201340.250.10.450.150.05Z2=XY的分布律为Z2pk-2-11240.450.10.250.150.05Z3=max{X+Y}的分布律为Z3pk-1120.250.10.65因此，Z1=X+Y的分布律为Z1pk-2例2已知随机X、Y相互独立，且X~P(1)、Y~P(2)。试求Z=X+Y的分布律。解因X与Y均服从泊松分布，所以X与Y的取值为任一非负整数，因此Z=X+Y的取值也为全体非负整数。由概率的运算法则知，对一任非负整数k，有例2已知随机X、Y相互独立，且X~P(1)、Y~

即X+Y~P(1+2)。该结论也称为泊松分布的可加性。

即X+Y~P(1+2)。例3假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4(i=1,2,3,4)。(1)求行列式的概率分布；(2)线性方程组只有零解的概率。例3假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布解：(1)记Y1=X1X4，Y2=X2X3，则=Y1-Y2，且Y1和Y2独立同分布：随机变量Z=Y1-Y2有三个可能值：-1，0，1。解：(1)记Y1=X1X4，Y2=X2X3，则=Y1-Y2，于是行列式Z的概率分布为－101pi0.13440.73120.1344Z(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有于是行列式Z的概率分布为－1二、二维连续型随机变量的函数的分布

设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为这里积分区域G：x+y≤z是直线x+y=z的左下方半平面。如下图

1、和的分布：Z=X+Y二、二维连续型随机变量的函数的分布设二维连续作变量代换y=u-x得x+y=z0xyGWhy?作变量代换y=u-x得x+y=z0xyGWhy?复习：二维随机变量函数的分布ppt课件例4设X，Y是相互独立的服从标准正态分布N(0,1)的随机变量。求Z=X+Y的概率密度。解由于例4设X，Y是相互独立的服从标准正态分布N(0,1)的即Z~N(0，2)即Z~N(0，2)

一般来说，若Xi(i=1,2,…，n)是n个相互独立的服从N(i，σi2)分布的随机变量，则仍然是一个服从正态分布N(,σ2)的随机变量，且其参数为这个事实，也称正态分布具有可加性。一般来说，若Xi(i=1,2,…，n)是n例5设随机变量X与Y相互独立，且都服从(-a，a)(a>0)上的均匀分布。试求它们的和Z=X+Y的概率密度。解X与Y的概率密度分别为例5设随机变量X与Y相互独立，且都服从(-a，a)解显然仅当上述积分不等于零。因此，当0≤z<2a时，当-2a<z<0时，显然仅当上述积分不等于零。因此，当0≤z<2a时，当-az=x+az=x-a-aa-azx2a-2aofZ(z)z-2a2ao所得到的分布称做辛卜生(Simpson)分布或称做三角分布，其概率密度曲线如图。az=x+az=x-a-aa-azx2a-2aofZ(z)z则有2、M=max(X，Y)及N=min(X，Y)的分布则有2、M=max(X，Y)及N=min(X，Y)的分布故有故有推广推广例6例6解解复习：二维随机变量函数的分布ppt课件复习：二维随机变量函数的分布ppt课件复习：二维随机变量函数的分布ppt课件复习：二维随机变量函数的分布ppt课件例7设X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从(0，1)上的均匀分布，试求U=max(X1，X2，…，Xn)及V=min(X1，X2，…，Xn)的密度函数。解因为相应于（0，1）上均匀分布的分布函数为因此U的分布函数为例7设X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从(0，1)上的故U的概率密度为而V的分布函数为故U的概率密度为而V的分布函数为故V的概率密度为故V的概率密度为小结1.离散型随机变量函数的分布律小结1.离散型随机变量函数的分布律2.连续型随机变量函数的分布2.连续型随机变量函数的分布一、重点与难点二、主要内容三、典型例题第三章多维随机变量及其分布

习题课一、重点与难点二、主要内容三、典型例题第三章多维随机变量及一、重点与难点1.重点二维随机变量的分布有关概率的计算和随机变量的独立性2.难点条件概率分布随机变量函数的分布一、重点与难点1.重点二维随机变量的分布有关概率的计算和随机定义联合分布函数联合分布律联合概率密度边缘分布条件分布两个随机变量的函数的分布随机变量的相互独立性定义性质二维随机变量推广二、主要内容定义联合分布函数联合分布律联合概二维随机变量二维随机变量(1)

定义

二维随机变量的分布函数(1)定义二维随机变量的分布函数且有(2)

性质

且有(2)性质复习：二维随机变量函数的分布ppt课件(3)

n维随机变量的概念(3)n维随机变量的概念二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:二维离散型随机变量的分布律二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:二维离散型离散型随机变量(X,Y)

的分布函数为离散型随机变量(X,Y)的分布函数为二维连续型随机变量的概率密度(1)

定义

二维连续型随机变量的概率密度(1)定义(2)

性质

(2)性质表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.(3)

说明

表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全(4)两个常用的分布设D是平面上的有界区域,其面积为A

,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布.(4)两个常用的分布设D是平面上的有界区域,其面若二维随机变量(X,Y)具有概率密度二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.若二维随机变量(X,Y)具有概率密度二维正态分布的两边缘分布函数为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.边缘分布函数为随机变量(X,Y)关于Y离散型随机变量的边缘分布离散型随机变量的边缘分布随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为联合分布边缘分布随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为联合分布边缘分连续型随机变量的边缘分布同理得Y的边缘概率密度连续型随机变量的边缘分布同理得Y的边缘概率密度(1)

离散型随机变量的条件分布随机变量的条件分布(1)离散型随机变量的条件分布随机变量的条件分布同理可定义同理可定义(2)

连续型随机变量的条件分布(2)连续型随机变量的条件分布联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布边缘分布条件分布联合分布联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布边缘分布条件分布联随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布二维随机变量的推广二维随机变量的推广其它依次类推.其它依次类推.复习：二维随机变量函数的分布ppt课件(5)随机变量相互独立的定义的推广(5)随机变量相互独立的定义的推广复习：二维随机变量函数的分布ppt课件随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数的分布随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数的分布当X,Y独立时,(2)连续型随机变量函数的分布当X,Y独立时,(2)连续型随机变量函数的分布则有则有推广推广三、典型例题例1三、典型例题例1解解复习：二维随机变量函数的分布ppt课件复习：二维随机变量函数的分布ppt课件复习：二维随机变量函数的分布ppt课件复习：二维随机变量函数的分布ppt课件例2例2解解复习：二维随机变量函数的分布ppt课件复习：二维随机变量函数的分布ppt课件复习：二维随机变量函数的分布ppt课件故得从而有:故得从而有:因此因此复习：二维随机变量函数的分布ppt课件求证:随机变量X没有数学期望.证由定义,数学期望应为由微积分学可知,右边的级数发散.因此,随机变量X没有数学期望.设随机变量X的分布律为备用题

例8-1求证:随机变量X没有数学期望.证由定义,数学期望应解由于例8-2(柯西分布)

设随机变量X服从柯西分布,求EX.因X服从柯西分布,则其密度函数为因而其数学期望E(X)不存在.