广东省佛山市2023届高三二模数学试题含答案

2022~2023学年佛山市普通高中教学质量检测（二）高三数学本试卷共4页，22小题．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C D.2.已知的顶点，，，则顶点的坐标为（）A. B. C. D.3.记数列前项和为，则“”是“为等差数列”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A.120种 B.180种 C.240种 D.300种5.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（）（参考数据：，，，）A. B. C. D.6.已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（）A. B.0 C.2 D.0或28.已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.设，，为复数，且，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则在复平面对应的点在一条直线上10.四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（）A. B. C. D.11.如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（）A. B.四边形的面积为100C. D.的取值范围为12.已知函数，对于任意的实数，，下列结论一定成立的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题，第一空2分，第二空3分．13.已知函数有2个极值点，，则______．14.佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______．15.已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为______．16.有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年发展规划，对2013~2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用和分别表示第年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．年份2013201420152016201720182019202020212022年份代码x12345678910国内游客数y3262361139904432500055426006287932462530（1）2020年~2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据（，2，3，…，7）建立国内游客人数关于年份代号的一元线性回归模型；（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，18.已知为锐角三角形，且．（1）若，求；（2）已知点在边上，且，求的取值范围．19.已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，（1）求数列的通项公式；（2）记为数列在区间中最大项，求数列的前项和．20.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．（1）若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；（2）若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．21.双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．（1）求双曲线的方程；（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．22.已知函数，其中．（1）若有两个零点，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．2022~2023学年佛山市普通高中教学质量检测（二）高三数学本试卷共4页，22小题．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，得或，所以或，，所以，故选：C2.已知的顶点，，，则顶点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，，由平行四边形可得，设，则，所以，即的坐标为，故选：B.3.记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】等差数列的前项和为，则，数列的前项和为，取，显然有，而，即数列不是等差数列，所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件.故选：B4.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A.120种 B.180种 C.240种 D.300种【答案】C【解析】将5位同学分为2，1，1，1的分组，再分配到4所学校，共有种方法.故选：C5.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（）（参考数据：，，，）A. B. C. D.【答案】A【解析】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为（m），而圆台一个底面的半径为（m），则（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故选：A．6.已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】因为方程，其中，所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以真命题有3个，故选：C.7.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（）A. B.0 C.2 D.0或2【答案】D【解析】设直线与曲线的切点为，由，则，则，，即切点为，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或．故选：D．8.已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因为，，，所以，，，，因为，结合的图象（如图所示），得到，或，,因为，所以，，则解得，此时，，，满足题意，或解得，不符合题意舍去.故选：.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.设，，为复数，且，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则在复平面对应的点在一条直线上【答案】ACD【解析】设，，，对A，若，即，则，所以，，故A正确；对B，若，则，而，故B错误；对C，，，所以，即，因为，，则至少有一个不为零，不妨设，由，可得，所以，，即，，故C正确；对D，由，可得，所以，又不全为零，所以表示一条直线，即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.故选：ACD.10.四面体中，，，，，，平面与平面夹角为，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图，，而，，，，因为平面与平面的夹角为，则当时，，当时，，所以的值可能为，.故选：AD11.如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（）A. B.四边形的面积为100C. D.的取值范围为【答案】ACD【解析】设直线与直线分别交于，由题可知，所以，，故A正确；如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，所以抛物线的方程为，连接，由抛物线的定义可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四边形的面积为，故B错误；连接，因为，所以，所以，故，故C正确；根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时，，当与重合时，最小，最小值为，当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，所以；当点在抛物线，点在抛物线上时，设，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，当，即时取等号，故此时；当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；综上，，故D正确.故选：ACD.12.已知函数，对于任意的实数，，下列结论一定成立的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】，令在上单调递增，在上单调递减，故，所以在上单调递增，且.对于A项，若，显然B正确；对于B项，有，令，令，在R上单调递增，而，故在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故A正确；对于D项，若，即，故D正确；设，若，则满足，但，故C错误.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题，第一空2分，第二空3分．13.已知函数有2个极值点，，则______．【答案】0【解析】因为函数有两个极值点与由，则的两根为与，所以，即，由，可得，所以.14.佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______．【答案】1【解析】因为，均值为，且，所以，由题可得，所以．15.已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为______．【答案】##【解析】不妨设点在直线上，若点为，则，当点不为长轴端点时，由对称性，不妨设点在第一象限，设点，在椭圆中，，，，则点、，设直线、的倾斜角分别为、，则，，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最大值为，所以.16.有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______．【答案】①.②.【解析】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，所以，，，进而可得，，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013~2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用和分别表示第年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．年份2013201420152016201720182019202020212022年份代码x12345678910国内游客数y3262361139904432500055426006287932462530（1）2020年~2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据（，2，3，…，7）建立国内游客人数关于年份代号的一元线性回归模型；（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，【解析】（1）由题可得，，，所以，，所以根据样本数据（，2，3，…，7）建立一元线性回归模型为；（2）由可知，年份每增加1年国内旅游人数将增加468百万人次，所以预测2027年国内游客人数为百万人次.18.已知为锐角三角形，且．（1）若，求；（2）已知点在边上，且，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；（2）因为，所以，又，可得，在中，，所以，在中，，因为为锐角三角形，所以，得，所以，所以，即取值范围为.19.已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，（1）求数列的通项公式；（2）记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．【解析】（1）设的公比为，则，又，当时，，当时，，两式相减可得，，所以，所以或(舍去)，所以，即，所以等比数列的通项公式为；（2）由，，可得，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以.即.20.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．（1）若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；（2）若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．【解析】（1）因为平面，平面，所以平面，又平面，设平面平面，则，设的中点为，连接，则，又，所以，即为，就是应画的线，因为平面，平面，所