重难点突破-高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）含答案

重难点突破--高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题01通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一直线与平面所成的角1．（2020•海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值．

2．（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．

3．（2020•天津）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

4．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

5．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．

题型二二面角的平面角及求法6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

7．（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．

8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．

9．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．

10．（2021•北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求．

11．（2021•乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．

12．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

13．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．

14．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

15．（2020•江苏）在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．

16．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．

17．（2019•天津）如图，平面，，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．

18．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小．

19．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

20．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

21．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．专题01通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一直线与平面所成的角 1．（2020•海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过在平面内作直线，由，可得，即为平面和平面的交线，平面，平面，，又，，平面，，平面；（2）解：如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，，为上的点，，，，则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，作，则为平面与平面的交线为，因为，是等腰直角三角形，所以，0，，则，0，，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，则，，取，可得，0，，，，与平面所成角的正弦值为．2．（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．【解答】解：（1）证明：过在平面内作直线，由，可得，即为平面和平面的交线，平面，平面，，又，，平面，，平面；（2）如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，设，0，，，0，，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，则，，取，可得，0，，，，与平面所成角的正弦值为，当且仅当取等号，与平面所成角的正弦值的最大值为．3．（2020•天津）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，（Ⅰ）证明：依题意，，1，，，，，，；（Ⅱ）依题意，，0，是平面的一个法向量，，2，，，0，，设，，为平面的法向量，则，即，不妨设，则，，，，，，，二面角的正弦值；（Ⅲ）依题意，，2，，由（Ⅱ）知，，，为平面的一个法向量，，，直线与平面所成角的正弦值为．4．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在平行四边形中，由已知可得，，，，由余弦定理可得，，则，即，又，，平面，而平面，，，；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又平面，平面平面，且平面平面，，且平面，平面，连接，则，在中，，，，可得，又，在中，求得，取中点，连接，则，可得、、两两互相垂直，以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，则，2，，，0，，，又为的中点，，，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．5．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．【解答】证明：平面，平面，，，，，，又，，，同理可得：，又，平面．解：取中点，过作平面的垂线，交于，，，，，，，以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，．设直线与平面所成的角为，则．直线与平面所成的角的正弦值为．题型二二面角的平面角及求法6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：中，，，，所以，所以；又，，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面．（Ⅱ）解：取的中点，在平面内作，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，，，，，，1，，，0，，因为平面，所以平面的一个法向量为，0，，设平面的一个法向量为，，，由，2，，，，，得，即，令，得，，所以，2，；所以，，所以二面角的平面角的余弦值为．7．（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解答】解：（1）不妨设圆的半径为1，，，，，，在中，，故，同理可得，又，故平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，1，，故，设平面的法向量为，则由，得，取，则，，所以平面的法向量为，由（1）可知平面，不妨取平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为．8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．【解答】证明：（1）长方体中，平面，，，，平面．解：（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，平面，，，，，，则，1，，，1，，，1，，，0，，，0，，，面，故取平面的法向量为，0，，设平面的法向量，，，由，得，取，得，，，，二面角的正弦值为．9．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．【解答】（1）证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，1，，，2，，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，又，2，，，2，，所以，则，又平面，故平面；（2）解：由（1）可知，，则，故直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为．10．（2021•北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求．【解答】（1）证明：连结，在正方体中，，平面，平面，则平面，因为平面平面，所以，则，故，又因为，所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，所以，，而点为的中点，所以，故，则点为的中点；（2）解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，设点，0，，且，则，2，，，1，，，1，，故，设平面的法向量为，则，即，所以，，故，设平面的法向量为，则，即，所以，，故，因为二面角的余弦值为，则，解得，又，所以，故．11．（2021•乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【解答】解：（1）连结，因为底面，且平面，则，又，，，平面，所以平面，又平面，则，所以，又，则有，所以，则，所以，解得；（2）因为，，两两垂直，故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，0，，所以，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，所以，设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为．12．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）证明：连接，，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，，，，，，，，即，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，设，则，0，，，2，，，1，，，即．（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，，由（1）知，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，，，，，当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小．13．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过作，则，且，又，，四边形为平行四边形，则，由，为中点，得为中点，而为中点，，，则四边形为平行四边形，则，，平面，平面，平面；（2）解：以为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，1，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得，又平面的一个法向量为，．二面角的正弦值为．14．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．【解答】解：（1）证明：因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）方法一：取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，1，，设，0，，则，因为平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，又，所以由，得，令，则，，故，因为二面角的大小为，所以，解得，所以，又，所以，故．方法二：过作，交于点，过作于点，连结，由题意可知，，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，即，又，所以，则，故，所以，因为，则，所以，则，所以，则，所以．15．（2020•江苏）在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．【解答】解：（1）如图，连接，，为的中点，．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．，，则．，0，，，0，，，2，，，0，，是的中点，，1，，，．设直线与所成角为，则，即直线与所成角的余弦值为；（2），，设，，，则，，，，，，，．，，．设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得．．．16．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．【解答】（1）证明：在上取点，使得，连接，，，，在长方体中，有，且．又，，，．四边形和四边形都是平行四边形．，且，，且．又在长方体中，有，且，且，则四边形为平行四边形，，且，又，且，，且，则四边形为平行四边形，点在平面内；（2）解：在长方体中，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．，，，，，，1，，，0，，，1，，，1，，则，，．设平面的一个法向量为．则，取，得；设平面的一个法向量为．则，取，得．．设二面角为，则．二面角的正弦值为．17．（2019•天津）如图，平面，，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．设，则，2，．则是平面的法向量，又，可得．又直线平面，平面；（Ⅱ）解：依题意，，，．设为平面的法向量，则，令，得．．直线与平面所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则，取，可得，由题意，，解得．经检验，符合题意．线段的长为．18．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小．【解答】证明：（1）由已知得，，，，确定一个平面，，，，四点共面，由已知得，，面，平面，平面平面．解：（2）作，垂足为，平面，平面平面，平面，由已知，菱形的边长为2，，，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，则，1，，，0，，，0，，，0，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，6，，又平面的法向量为，1，，，二面角的大小为．19．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）证明：在半圆中，，正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，平面，则，，平面，平面，平面平面．（2）的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，此时为圆弧的中点，建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形的边长为2，，，，，1，，，0，，则平面的法向量，0，，设平面的法向量为，，则，2，，，1，，由，，令，则，，即，0，，则，，则面与面所成二面角的正弦值．20．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接，，是的中点，，且，又，，，则，则，，平面；（2）建立以坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：，，，，0，，，2，，，0，，，2，，设，，，则，，，，，，，则平面的法向量为，0，，设平面的法向量为，，，则，，，则，令，则，，即，，，二面角为，，即，解得或（舍，则平面的法向量，，，，2，，与平面所成角的正弦值，．21．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）平面，，，，平面．解：（Ⅱ）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，1，，，，，，0，，，，，，1，，，平面的法向量，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．（Ⅲ）直线在平面内，理由如下：点在上，且．，，，，，，平面的法向量，1，，，故直线在平面内．专题02立体几何中存在性问题的向量解法题型一与平行有关的存在性问题1．如图，在正方体中，是棱的中点．（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明．2．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．（1）若平面，求二面角的大小；（2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由．

3．已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．4．如图：平面，四边形为直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．6．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍chú甍méng者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．（1）求二面角的大小；（2）求三棱锥的体积；（3）点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．题型二与垂直有关的存在性问题7．如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面．（1）求二面角的正弦值；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．8．如图所示，在长方体中，，分别是，的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在直三棱柱中、．，是中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．10．如图，在长方体中，，，为中点，为中点．（1）求证：平面；（2）若线段上存在点使得，求与平面所成角的正弦值．11．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点．已知，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．12．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小为，设平面与平面的交线为．（1）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由；（2）若点在上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．题型三与距离有关的存在性问题13．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？14．如图，长方体中，，为棱中点，为棱中点．（1）求二面角平面角的大小；（2）线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

15．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．（1）求平面和平面夹角的余弦值；（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．题型四与角度有关的存在性问题16．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，，，．（1）证明：；（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由．

17．如图1，在直角梯形中，，，，．将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为．（1）求线段的长度；（2）试判断在线段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由．18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为线段的中点，为线段上的动点．（1）求证：平面；（2）是否存在点，使平面与平面所成的锐二面角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

19．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点．（1）证明：，，三线共点；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面，所成角的正弦值为，若存在，请旨出点的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由．20．如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，与平行并且相等，．（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22．如图，在四棱锥中，，，，．（1）证明：平面；（2）设平面平面，平面，，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明由．

23．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是和的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求异面直线与之间的距离；（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．24．如图，三棱柱所有的棱长为2，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在线段是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

25．如图，四棱锥的底面为菱形，，平面，且，分别为，的中点，点为棱上一动点．（1）证明：平面平面；（2）若，在线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，试确定的位置；若不存在，说明理由．26．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点．（1）求证：；（2）棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．专题02立体几何中存在性问题的向量解法题型一与平行有关的存在性问题1．如图，在正方体中，是棱的中点．（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明．【解答】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系，则，，0，，，1，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，又因为平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为；（2）棱（包含端点）上不存在点，使平面．证明如下：设的坐标为，1，，因为的坐标为，1，，所以，若在棱（包含端点）上存在点，使平面，则，所以，即，这与矛盾，所以棱（包含端点）上不存在点，使平面．2．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．（1）若平面，求二面角的大小；（2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）连接，，设交点为，连接，为正方形，点为与的中点，由题意可知，，故，同理，，且，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，平面，所以平面的一个法向量为，平面，所以平面的一个法向量为，设平面的平面角为锐角，则，则，二面角的大小为；（2），设，故，于是，平面的一个法向量为，且平面，，解得，即点为线段的三等分点且靠近点．3．已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：连接，四边形为菱形，，又平面，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：平面，为在平面上的射影，为直线与平面所成角，则，得，令，则，又四边形为菱形，，为等边三角形，得，取的中点，连接，可得，且，，以为原点，分别以，，所在直线为，，，建立空间直角坐标系，如图所示，则，2，，，0，，，，，2，，，设，，，，，三点共线，，则，，，，，解得，，，，，，，，，由（1）知平面，平面的法向量，取，令平面的法向量为，则，令，则，二面角为，，，解得，，当时，点与点重合，存在点即为点时，二面角为．4．如图：平面，四边形为直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连接，因为四边形为直角梯形，，，，所以四边形为正方形，，因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，于是平面平面．（Ⅱ）解：因为平面，所以、，又因为，所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，1，，，，，设平面的法向量为，，，，令，，1，，平面的法向量为，0，，所以二面角的余弦值为．（Ⅲ）解：不存在，理由如下：假设在棱上存在点，使得平面，令，则，0，，，0，，由（Ⅱ）知平面的法向量为，1，，因为平面，所以，解得，与，矛盾，所以在棱上不存在点，使得平面．5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为四边形为菱形，所以，又因为，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以．（Ⅱ）连结．因为，为的中点，所以．由（Ⅰ）可知平面，所以，．设，则．如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．则．所以，．因为平面，所以是平面的一个法向量．设平面的法向量为，，，则，所以令，则，，得，所以．由题知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．（Ⅲ）当点是线段的中点时，平面．理由如下：因为点平面，所以在线段上存在点，使得平面，等价于．假设线段上存在点使得平面．设，则．所以．由，解得．所以当点是线段的中点时，平面，且．6．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍chú甍méng者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．（1）求二面角的大小；（2）求三棱锥的体积；（3）点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点分别作，，分别交，于，，连接，则为二面角的平面角，因为四边形为正方形，，所以，，由已知得，所以．（2）过点作，垂足为．因为，平面，平面，所以平面．因为，，所以．因为，所以平面．因为平面，所以．因为，，平面，所以平面，所以为三棱锥的高，．因为，所以．（3）方法一：假设存在点．①当点在线段上时，连接交于，则，所以．因为平面，平面，平面平面，所以，所以．②当点在延长线上时，连接交于，则，所以．因为平面，平面，平面平面，所以，所以．综上，在直线上存在点，使平面，的值为或．方法二：当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点，因为，所以平面平面．因为平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．因为，，所以，所以，所以，所以．当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点．因为，所以平面平面．因为平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．因为，，所以，所以，所以．所以．综上，在上存在点使得平面，此时或．题型二与垂直有关的存在性问题7．如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面．（1）求二面角的正弦值；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在图1中，设，，，，是的中点，则四边形为正方形，，在图2中，设中点为，，平面平面，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，，，，，，则有，0，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，1，，设平面的法向量，，，则，取，1，，，则二面角的正弦值为．（2）假设在直线上是存在点，使平面，且，则，，，0，，，，平面的法向量，1，，，，方程无解，假设不成立，在直线上不存在点，使平面．8．如图所示，在长方体中，，分别是，的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，2，，，，又平面，平面，平面．（2）解：，2，，，2，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，1，，又，0，是平面的一个法向量，，平面与平面的夹角的余弦值为．（3）解：假设线段上是否存在点，使得平面，则，不妨设，则，，，又，0，，，，，，故存在实数使得，，方程组无解，故线段上不存在点，使得平面．9．如图，在直三棱柱中、．，是中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接交于，四边形是平行四边形，是的中点，又是的中点，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）解：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，，，，，即，，故，0，，，，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，，又，1，为平面的一个法向量，，，平面与平面夹角的余弦值为．10．如图，在长方体中，，，为中点，为中点．（1）求证：平面；（2）若线段上存在点使得，求与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为为的中点，，则，又，故，可得，则有，即，由为的中点，为的中点，可得底面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面；（2）解：在长方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，所以，设，则，又，则，因为，，解得，所以，故，，设平面的法向量为，则有，即，令，，则，故，所以，故与平面所成角的正弦值．11．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点．已知，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接交于，连接．因为底面是矩形，所以是线段的中点．又因为是线段的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因为底面，底面，底面，所以，．因为底面是矩形，所以，．如图建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，．因为是线段的中点，故，1，．所以，．设平面的法向量为，则．令，则，．于是．因为底面，所以为平面的法向量．因为，所以．由题知二面角是锐角，所以其余弦值为．（Ⅲ）解：因为为直线上一点，所以，，，其中．所以．又因为，．所以与垂直等价于．所以存在点，，，使得与垂直，此时，，的长为．12．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小为，设平面与平面的交线为．（1）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由；（2）若点在上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【解答】解：（1）因为底面为矩形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面平面，平面，所以，从而．取中点，连接，，因为，所以，因为、分别为矩形对边中点，所以，所以平面，因为，所以平面，故当在点时，平面．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知为二面角的平面角，其大小为，因为侧面为等腰直角三角形，，所以，所以，，，，2，，，0，，，2，，设，，，则，，，，2，，，，，设平面的法向量为，，，，令，，0，，直线与平面所成角的正弦值为，解得，所以线段的长为．题型三与距离有关的存在性问题13．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，假设在线段上存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为．可设，则，，，，0，，，，，，0，，设平面的法向量为，，，则由，得，即有①，得，即有②由①②可取，，，则，由于点到平面的距离可看作在上投影的绝对值，则为，解得，，成立．则在线段上存在一点（不与端点重合），且，使得点到平面的距离为．14．如图，长方体中，，为棱中点，为棱中点．（1）求二面角平面角的大小；（2）线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）取中点，连结、，在中，为中点，所以，又侧面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，，所以为正方形，所以，又，所以平面，则为二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角平面角的大小为；（2）假设线段上存在点，使得它到平面的距离为，设，则，在中，，在中，，所以，由，即，解得，所以存在点满足题意，此时．15．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．（1）求平面和平面夹角的余弦值；（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．【解答】解：（1）取的中点，连接，，则，，平面，平面，，，两两垂直，如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，2，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，，2，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，0，，设平面和平面的夹角为，由图知为锐角，则，平面和平面夹角的余弦值为．（2）假设在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为，设，，，，则，，，点到平面的距离为，，解得（舍或，在线段上存在点（端点处），使点到平面的距离为．题型四与角度有关的存在性问题16．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，，，．（1）证明：；（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形，（2分）因为，所以，因为，，所以，所以，（4分）又因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以．（5分）（2）因为，，，所以，即，因为，平面，平面，，所以平面，（6分）如图，以为原点，，，分别为，，，轴建立空间直角坐标系，由（1）知，故，0，，，，，，，，，（8分）假设在棱上存在一点满足题意，设，，．所以，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，解得，故，（9分）易得平面的一个法向量为，0，，设二面角为，可知二面角为锐二面角，（11分）解得，所以存在满足题意的点，位置在靠近点的三等分点处．（12分）17．如图1，在直角梯形中，，，，．将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为．（1）求线段的长度；（2）试判断在线段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为平面平面，平面平面，又平面，，所以平面，则与平面所成的角为，又，所以，因为在直角梯形中，，，所以，故，令，则，解得，所以，即；（2）以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，设，0，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，取平面的一个法向量为，则，因为二面角的平面角的余弦值为，故，解得或（舍，当时，，故为的四等分点，且．18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为线段的中点，为线段上的动点．（1）求证：平面；（2）是否存在点，使平面与平面所成的锐二面角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，，又，平面，平面，，为正方形，，又，，平面，平面，平面，，为线段的中点，，又，，平面，平面，（2）存在定点，使平面与平面所成的锐二面角为以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，，设，2，，则，设平向的一个法向量为，则，令，，设平面的一个法向量为，令，则，平面与平面所成的锐二面角为，，解得，当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为．19．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点．（1）证明：，，三线共点；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面，所成角的正弦值为，若存在，请旨出点的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：且，，共面．设，则，而面，面；同理可得面，点在面与面的公共直线上，即，，三线共点．（2）解：根据题意可知，，，两两垂直，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系：，0，，，0，，，2，，，1，，故，．假设满足条件的点存在，设，2，，，则，设平面的法向量为，则由，得，不妨取，则，．所以平面的一个法向量为，设直线与平面的平面角为，则，得设平面的法向量为，则平面的一个法向量为，二面角的平面角的余弦值．20．如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，与平行并且相等，．（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；（2）由（1）可知，平面，且，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，0，，，0，，，4，，，，设是平面的法向量，则，令，则，设，，，，设是平面的法向量，则，令，则，，二面角的平面角余弦值为，，，，故在线段上是否存在点，且．21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，