重难点突破-高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题15 圆锥曲线常考题型03-定点问题含答案

重难点突破--高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题15圆锥曲线常考题型03——定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点．求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．1．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，，，两点，且，，为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点．

2．已知抛物线．（1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程；（2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点．3．设，和，是抛物线上的两点，且．（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点．

4．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．5．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．（1）求抛物线的标准方程和准线方程；（2）若，证明：直线恒过定点．

6．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．7．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为．（1）求；（2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点．问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

8．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．9．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，四点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

10．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．11．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点．

12．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．（1）求双曲线的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．13．设是椭圆上异于长轴顶点，的任意一点，过作的切线与分别过，的切线交于，两点．已知，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否过轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由．

14．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，设点，在△中，，周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

16．已知斜率为的直线经过点与抛物线，为常数）交于不同的两点，，当时，弦的长为．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．17．过点的动直线与抛物线相交于、两点，已知当的斜率为时，．（1）求抛物线的方程；（2）设圆，已知，是抛物线上的两动点，且直线，都与圆相切是坐标原点），求证：直线经过一定点，并求出该定点坐标．

18．从抛物线上任意一点向轴作垂线段，垂足为，点是线段上的一点，且满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设直线与轨迹交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．19．已知椭圆的右焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．

20．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．21．已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左，右焦点，过斜率不为零的直线交椭圆于，两点，△的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于，两点，试判断以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由．

22．已知平面内的两点，，，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为．（1）求的方程．（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，，若直线，斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．23．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且直线，的斜率之积是．（1）是否存在定点，，使得为定值？（2）设点的轨迹为，点，，是上互异的三点，且，关于轴对称，．求证：直线恒过定点．专题15圆锥曲线常考题型03——定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点．求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．1．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，，，两点，且，，为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：，再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，所以由题意可得，解得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设直线的方程为，，联立，整理可得：，可得：，，，，解得，所以直线的方程为：，所以直线恒过定点．2．已知抛物线．（1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程；（2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点．【解答】解：（1）联立，解得或，故，可得直线的方程为，即，（2）证明：由题意，可设直线方程为，，，，，，，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，由韦达定理可得，，由题意，可设直线方程为，，化简整理可得，，，解得，方程为，直线必过点，为定点，即得证．3．设，和，是抛物线上的两点，且．（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点．【解答】解：（Ⅰ），和，是抛物线上的两点，且，由，可得，，，则，或，可得直线的方程为，即为；或，即为；（Ⅱ）证明：由题意可得，，相减可得，可得的斜率，，可得中点的横坐标为5，可得的垂直平分线方程为，即为，可得，，则线段的垂直平分线过定点，．4．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．【解答】解：（Ⅰ）因为曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1，所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，所以曲线的方程为．（Ⅱ）证明：根据题意当的斜率部位0时，设直线方程为，，，，，联立，可得，所以，，，因为以线段为直径的圆过点，所以，所以，，，即（舍去）或，所以直线的方程为，即，所以直线经过定点．当的斜率为0时，由对称性知，，此时也过，所以直线经过定点．综上直线经过定点．5．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．（1）求抛物线的标准方程和准线方程；（2）若，证明：直线恒过定点．【解答】（1）解：设抛物线的方程为，则代入，可得，抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）证明：设，，，，则直线方程，方程，联立直线方程与抛物线方程，消去，得，①同理②而直线方程为，③，由①②③，整理得．由且，得，，故直线经过定点．6．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．【解答】解：（Ⅰ）设圆心，，过点作轴，垂足为，则，，，化为．当时，也满足上式．动圆圆心的轨迹的方程为．（Ⅱ）设，，，由题意可知，，．轴是的角平分线，，，，化为．直线的方程为，，化为，化为，，令，则，直线过定点7．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为．（1）求；（2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点．问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，圆可得圆心，半径，到圆的最大距离为：，由题意可得，，解得：；（2）由（1）得抛物线的方程为：，设，，，，联立，整理可得：，，，由题意可得，，所以直线的方程为：，令，可得，所以直线恒过轴上的一定点．8．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）设，，，，联立，整理可得：，所以可得，，进而可得，由，可得：，即，可得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，，，，，，由，，三点共线可得，，即，整理可得：，所以，同理可得，，三点共线，，所以直线的方程：，整理可得：，将，的值代入直线方程可得：，所以解得：，所以直线过定点．9．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，四点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）因为动点到点的距离为，到直线距离为，且，则动点到点的距离等于到直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，其焦点坐标为，故曲线的方程为；（2）设，的方程分别为，，联立方程组，可得，所以，则，同理可得，所以，由，所以，则直线的方程为，整理可得，故直线恒过定点．10．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（1）设，根据题意可得，化简得曲线的方程为．（2）证明：设，，，，①若直线，都存且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，由，得，当时，这个方程变为只有一解，直线与曲线只有一个交点，不合题意，当时，△，直线与曲线恒有两个交点，由韦达定理，，故线段的中点为，，同理，线段的中点为，，若，则，直线的方程为，即，此时，直线恒过点．若，则，或，，直线的方程为，此时直线过点，②若直线，中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在，不妨设的斜率为0，则直线，，此时，直线的方程为，此时，直线也过点，综上，直线也过点．11．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点．【解答】（Ⅰ）解：因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为；（Ⅱ）证明：设直线，，，，，联立方程组，可得，所以，，所以，，，因为线段为直线的圆过点，所以为直角三角形，故有，所以，化简可得，又因为，，所以，所以，因为，，所以，所以，解得或，因为直线不过原点，所以，故，所以直线，令，则，所以直线恒过定点．12．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．（1）求双曲线的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由离心率为，且，得，，即双曲线方程为．又点在双曲线上，，解得，，双曲线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，设，，，，则由，得，即，解得，不符合题意，故直线的斜率存在．不妨设直线的方程为，代入，整理得，△．设，，，，则，由，得，即，整理得，，整理得：，即，或．当时，直线的方程为，经过定点；当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意．综上，直线过定点．13．设是椭圆上异于长轴顶点，的任意一点，过作的切线与分别过，的切线交于，两点．已知，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否过轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由．【解答】解：（1）由题可知，解得，，所以，所以的方程为．（2）设，，由于是异于长轴顶点，的任意一点，故切线斜率存在．设过的椭圆的切线为，联立方程，得，△，结合，解得过点的切线方程为．由于分别过，的切线分别为，，解得，的坐标为，，在轴上取点，则，，所以，当时，，所以，以为直径的圆过轴上的定点为，．14．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．【解答】解：（1）椭圆的焦距为，离心率为，，即，又椭圆离心率为，，，，故椭圆的方程为：．（2）设，，，，联立，消去整理得：，所以△，，所以，，因为，所以，，，所以，整理得：，解得：或（舍去），所以直线过定点．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，设点，在△中，，周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【解答】（1）解：由，，①又△的周长为，，②联立①②，解得，椭圆方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，，，，由，，，得，此时，重合，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程：，交点，，，，由．，依题：，，，，．直线方程为：，则过定点．16．已知斜率为的直线经过点与抛物线，为常数）交于不同的两点，，当时，弦的长为．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）斜率为的直线经过点，直线方程为，联立，得，△，即（舍或．设，，，，则，，弦的长为，，整理，得，解得或（舍，抛物线的标准方程为．（2）设的方程为，代入抛物线的方程，可得设，，，，，，则，由，直线的方程为，，可得，，直线的方程为可得，，，直线过定点．17．过点的动直线与抛物线相交于、两点，已知当的斜率为时，．（1）求抛物线的方程；（2）设圆，已知，是抛物线上的两动点，且直线，都与圆相切是坐标原点），求证：直线经过一定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（1）由题意可得直线的方程为，设，，，，联立，整理可得，所以，，所以，①，②因为，所以，，，所以③由①②③可得，所以抛物线的方程为；（2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，，，联立直线与抛物线的方程可得，所以，，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，因为直线，都与圆相切，圆心到直线，的距离相等，所以，整理可得，代入可得，所以，所以直线的方程为，所以直线恒过定点．18．从抛物线上任意一点向轴作垂线段，垂足为，点是线段上的一点，且满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设直线与轨迹交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）设，，，则点的坐标为，．因为，所以，，，（2分）即，（3分）因为点在抛物线上，所以，即．所以点的轨迹的方程为．（5分）（2）以为直径的圆过轴上的定点和．理由如下：设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得，．（7分）设点，则．所以直线的方程为．令，得点的坐标为．（9分）同理可得点的坐标为．（10分）如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．因为．所以．即，解得或．故以为直径的圆过轴上的定点和．（12分）19．已知椭圆的右焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的右焦点为，且经过点．可得，，则椭圆方程为；（Ⅱ）证明：与椭圆方程联立，可得，设，，，，△，，，的方程为，令，可得，即，；的方程为，令，可得．即，．，，即为，即有，由，解得，满足△，即有直线方程为，恒过原点．20．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上，又的横坐标为1，椭圆必不过，，，三点在椭圆上．把，代入椭圆，得：，解得，，椭圆的方程为．证明：（2）证法一：①当斜率不存在时，设，，，直线与直线的斜率的和为，，解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设，，，，，，联立，整理，得，，，则，又，，此时△，存在，使得△成立，直线的方程为，当时，，过定点．证法二：将坐标系向上平移一个单位，如图：椭圆方程化为，即，设直线对应的直线为，则化齐次联立，得：，整理得，结合两直线斜率之和为，得，，直线恒过点，在原坐标系中，直线过点．21．已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左，右焦点，过斜率不为零的直线交椭圆于，两点，△的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于，两点，试判断以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由．【解答】解：（1）由题意，，因为，所以，而，所以，故椭圆的方程为：，（2）由（1）知，设的方程为：，代入得：，设，，，，则，，因为，所以，所以直线的方程为：，令，得，所以，同理可得，若以为直径的圆过长轴上定点，则，设，，则，，于是对任意实数恒成立，所以，而所以，解得或，因为，所以，以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，且定点为．22．已知平面内的两点，，，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为．（1）求的方程．（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，，若直线，斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）设，由直线与直线的斜率乘积为，可得，化为，即为；（2）证明：设直线，则，即，设，，，，而，，，则由，得，则，即，整理得，解得或（舍去），所以直线，知直线恒过点，．23．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且直线，的斜率之积是．（1）是否存在定点，，使得为定值？（2）设点的轨迹为，点，，是上互异的三点，且，关于轴对称，．求证：直线恒过定点．【解答】解：（1）设，由已知得，，，，则，得，化简得：，由椭圆的定义可知，存在定点定点，，使得为定值．（2）证明：由于，，是上互异的三点，所以，，斜率存在，由条件，．得．设的方程为，，，，，将代入，消去得，即，得，，由，展开，整理得，解得（舍去）或．所以过定点，．专题17圆锥曲线常考题型04——定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．1．过抛物线的焦点为且斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）．求证：为定值；2．已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点．当点异于、时，直线，的斜率分别为，，则是否为定值？请说明理由；

3．椭圆，的离心率，点在上．（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值．4．已知抛物线与双曲线有相同的焦点．（1）求的方程，并求其准线的方程；（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，，，，证明：，均为定值．

专题17圆锥曲线常考题型04——定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．1．过抛物线的焦点为且斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）．求证：为定值；【解答】证明：依题意直线的方程为，代入，得，△，则，．为定值；2．已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点．当点异于、时，直线，的斜率分别为，，则是否为定值？请说明理由；【解答】解：由椭圆的方程及题意可得：，设，，因为在椭圆上，所以，所以则，所以由题意可得是为定值，且定值为；3．椭圆，的离心率，点在上．（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值．【解答】（1）解：椭圆，的离心率，点在上，可得，，解得，，所求椭圆方程为：．（2）证明：设直线，，，，，，，，把直线代入可得，故，，于是在的斜率为：，即．直线的斜率与的斜率的乘积为定值．4．已知抛物线与双曲线有相同的焦点．（1）求的方程，并求其准线的方程；（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，，，，证明：，均为定值．【解答】（1）解：双曲线，，可得双曲线的右焦点为，，则，即，故的方程为，其准线的方程为；（2）证明：由题意直线过点且斜率存在，设其方程为，联立，整理得，，，，，为定值，则为定值．5．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为．（1）求与的方程；（2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在．①求的取值范围；②试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）因为的离心率为，所以，解得，则的方程为．因为的焦点与的焦点相同，所以，所以，则的方程为．（2）①联立得，其中△，解得．又直线，的斜率都存在，所以，故的取值范围是．②设，，，，则，，则，故直线，的斜率之积不是定值．6．设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．【解答】解：（1）由双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合，得，解得，，，所以双曲线的方程为．（2）设点坐标为，，过点与渐近线平行的直线分别为，，方程分别为，，联立，解得，同理联立，解得，又渐近线方程为，则，所以，又点在双曲线上，则，所以，所以平行四边形的面积为定值，且定值为．7．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得，解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得：，因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以△，即，由方程组得，则△，设，，，，则，，设直线，直线的斜率为，，所以，将，代入上式得，要使得以为定值，则，即，所以当圆的方程为时，圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，此时圆与的交点，也满足以为定值，综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值．8．已知抛物线的准线过点．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，证明：为定值．【解答】（1）解：由题意可得，抛物线的准线方程为，，故抛物线的方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，联立，得．．则．为定值．9．已知平面上的动点及两定点，，直线，的斜率分别是，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于不同的两点，．①若为坐标原点），证明点到直线的距离为定值，并求出这个定值②若直线，的斜率都存在并满足，证明直线过定点，并求出这个定点．【解答】解：（1）由题意得，，即．动点的轨迹的方程是．（2）设点，，，，联立，化为，△．，．，①若，则，，，化为，此时点到直线的距离．②，，，，代入化为，化简得，解得或．当时，直线恒过原点；当时，直线恒过点，此时直线与曲线最多有一个公共点，不符合题意，综上可知：直线恒过定点．10．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则有，解得，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由条件得直线的斜率必存在，设方程为，又，设，，，，则由，解得，所以，因为，则有，，，所以，同理可得，所以，即是定值．11．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为3，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）试探究，的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：点，，的面积为3，，又，，，解得，，椭圆的方程为：；（2）由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，点，，，，则直线的方程为，令，得点的横坐标，直线的方程为，令，得点的横坐标，，把直线代入椭圆得：，，，12．已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点、的点，△是边长为4的等边三角形．（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点满足：，．求证：△与△的面积之比为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为△是边长为4的等边三角形，所以．所以．所以，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设直线，的斜率分别为，，则直线的方程为．由，直线的方程为．将代入，得，因为是椭圆上异于点，的点，所以．所以．由，所以直线的方程为．由，得．所以．13．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．若椭圆的离心率，点在上．求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，且，，分别交其“卫星圆”于点，，证明：弦长为定值．【解答】解：（Ⅰ）由条件可得：解得所以椭圆的方程为，（3分）卫星圆的方程为（4分）证明：①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，所以，所以线段应为“卫星圆”的直径，所以（7分）②当，都有斜率时，设点，，其中，设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，则，联立方程组，消去，整理得，（9分）所以（10分）所以（11分）所以，满足条件的两直线，垂直．所以线段应为“卫星圆”的直径，所以综合①②知：因为，经过点，，又分别交其“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段为“卫星圆”的直径，所以为定值（12分）14．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16．（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，圆与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值．【解答】解：（1）由题意和椭圆的定义得，则，由，解得，则，所以椭圆的方程为；（2）证明：由条件可知，，两点关于轴对称，设，，，，则，，由题可知，，，所以，．又直线的方程为，令得点的横坐标，同理可得点的横坐标，所以，即为定值．15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点，，解得，，椭圆的方程为．（2）是定值．证明如下：设过的直线：或者①时，代入椭圆，，令，，，，．②代入椭圆，设，，，．则，，，，，，．16．如图，椭圆经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，结合，解得，椭圆的方程为；（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得，由已知△，设，，，，，则，，从而直线与的斜率之和：．17．已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点（Ⅰ）当时，求面积的最大值；（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．【解答】解：（Ⅰ）当时，将代入，解得：，．当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值3，面积的最大值是．（Ⅱ）设，两点坐标分别为，，从而．设，，则有，，．直线的方程为，令，得，从而．直线的方程为，（10分）令，得，从而．所以，，．为定值．18．如图，已知点是抛物线上一点，过点作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于、两点，直线的斜率为．（Ⅰ）若直线、恰好为圆的切线，求直线的斜率；（Ⅱ）求证：直线的斜率为定值．并求出当为直角三角形时，的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，由直线与圆相切，可得，解得．（Ⅱ）设，，，，联立直线与抛物线方程，消去可得：，，，．用代替可得：，．因此，，即直线的斜率为定值，当时，由得，此时，，，求得，，，当时，可得，此时，，，求得，，，当时，无解．综上所述，当为直角三角形时，的面积为或12．19．已知椭圆的两个焦点是，，点，在椭圆上，且（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得，即．（2分）将点，的坐标代入，得，解得：．（4分）椭圆的方程是．（5分）（Ⅱ）证明：由关于轴于对称，得，．设，，则有，，．（6分）直线的方程为，（7分）令，得，（8分）．直线的方程为：，（9分）令，得，（10分）．（12分）为定值．（14分）20．椭圆焦点在轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，的面积，则是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得，即有椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设，，，（1）当斜率不存在时，，两点关于轴对称，，又，解得，；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入，得，即有，则，到距离，则，解得，满足△，则，即有，综上可得为定值5．21．已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交于、两点，直线，的斜率分别是，，试探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，，所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆，由，得，所以曲线的方程为．（2）设，，，，，由已知直线的斜率存在，设直线，联立方程组，得，．（定值）．22．如图，已知动圆过点，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由圆的方程知，圆心为，半径为．设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且．因为圆过点，则，于是，所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆．因为，则，又，则，所以曲线的方程：．（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，即．设点，，，，则，．设点，则，，则．若为定值，则，解得，此时为定值．当直线与轴重合时，点，．对于点，则．，此时．综上分析，存在点，使得为定值．23．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为．设过点的直线与椭圆相交于不同两点，，周长为8．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点，证明：当直线变化时，总有与的斜率之和为定值．【解答】解：由题意知，，所以．因为，所以，则．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）证明：当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，，，，，，整理得：，△恒成立，，，由，，的斜率存在，由，两点的直线，故，，由，，直线与的斜率之和为0，综上所述，直线与的斜率之和为定值，定值为0．24．在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（1）能否出现的情况？说明理由；（2）证明过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线与轴交于、两点，可设，，，，由韦达定理可得，若，则，即有，即为这与矛盾，故不出现的情况；（2）证明：设过、、三点的圆的方程为，由题意可得时，与等价，可得，，圆的方程即为，由圆过，可得，可得，则圆的方程即为，另解：设过、、三点的圆在轴上的交点为，则由相交弦定理可得，即有，再令，可得，解得或．即有圆与轴的交点为，，则过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值3．25．已知椭圆过点，两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．【解答】（1）解：椭圆过点，两点，，，则，椭圆的方程为，离心率为；（2）证明：方法一、如图，设，，则，所在直线方程为，取，得；，所在直线方程为，取，得．，．．四边形的面积为定值2．方法二、由题意设，其中，则，取，得，同理求得，．5．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为．（1）求与的方程；（2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在．①求的取值范围；②试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．6．设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．

7．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线的准线过点．（1）求抛物线的标准方程；（2）