概率论与数理统计(龙永红)课件

一、随机变量的概念从直观上讲，随机变量就是基本结果的数量特征。这些数值因试验结果的不确定性而带有随机性，因此称为随机变量。随机变量是概率论的重要概念，把试验的基本结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究。有的基本结果本身就是由数值来表示，如掷骰子的点数、灯泡的使用寿命等。而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现正面时用1表示，出现反面时用0表示。随机变量的直观定义一、随机变量的概念从直观上讲，随机变量就是基本结果的数量特例1将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次数，那么，对样本空间Ω={ω}中的每一个样本点ω，X都有一个值与之对应，即有样本点X的值HHHHHTHTHHTTTHTTTHTTT3221110例1将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三次投掷中随机变量的数学定义都是随机事件。RωΩ设E是一个随机试验，Ω是其样本空间。我们称样本空间上的函数为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合随机变量X生成的事件域：随机变量X所包含的信息集：随机变量的数学定义都是随机事件。RωΩ设E是一个随机试验，Ω事件域:(1)Ω∈F；(2)若A∈F，则A∈F；

(3)若A1，A2，…，An，…

∈F

，则

∈F。(信息集)由一些事件组成的满足以下三个条件的集合F：

事件域的数学定义事件域:(1)Ω∈F；(2)若A∈F，则A∈F；说明(4)概率在随机变量值域上的分配情况称为随机变量的概率分布。概率分布完整地描述了随机变量取值的

统计规律性。说明(4)概率在随机变量值域上的分配情况称为随机变量例2

掷一颗骰子，用X表示出现的点数。则X就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6。则

表示掷出的点数不超过4这一随机事件；

表示掷出的点数为偶数这一随机事件．在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．例如我们可以定义：例2掷一颗骰子，用X表示出现的点数。则X就是例3

上午8:00～9:00在某路口观察，用Y表示该时间间隔内通过的汽车数。则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…。

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件．

注意Y的取值是可列无穷个！例3上午8:00～9:00在某路口观察，用Y表示例4

观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生物的寿命。则Z就是一个随机变量。它的取值为所有非负实数。表示该生物的寿命大于3000小时这一随机事件．表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件．注意Z的取值是无界的区间！例4观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生物的二、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的定义如果随机变量X的全部不同取值是有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的所有可能取值为则称为离散型随机变量X的概率分布或二、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的定义如果随机变量例5

投掷一枚均匀硬币，设X为一次投掷中出现正面的次数，即于是X的概率分布为或者表示为例5投掷一枚均匀硬币，设X为一次投掷中出现正面的次数离散型随机变量概率分布的性质

离散型随机变量概率分布的性质例6设离散型随机变量X的概率分布为分别求上述各式中的常数a。例6设离散型随机变量X的概率分布为分别求上述各式中的常数如果给定离散型随机变量X的概率分布，那么用X表示的任何一个事件的概率都可由这个概率分布计算。也就是说，这个概率分布定义了一个事件域σ(X)上的一个概率测度。离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量的统计规律性提供了一目了然的描述。如果给定离散型随机变量X的概率分布，那么用X表示的任例7设X的概率分布为例6的(1)给出，即求下列各事件的概率{X<1}、{X≤1}、{X<2}、{X<2.5}、{X≤3}、{X≤4}。例7设X的概率分布为例6的(1)给出，即求下列各事件的概率三、分布函数

定义

设X

是一个随机变量，x

是任意实数，函数称为X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX随机变量的分布函数定义了事件域σ(X)上的一个概率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提供了直观的描述。三、分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实例8等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布函数例8等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为落10F(x)是一个不减的函数．

分布函数的性质01231F(x)x10F(x)是一个不减的函数．分布函数的性质0例设随机变量X

的概率分布为：求

X的分布函数.

01Xpk解：当

x<0

时，四、离散型随机变量的分布0

1x1例设随机变量X的概率分布为：0例设随机变量X的分布函数为0

123

x1Xpk123例设随机变量X的分布函数为01分布函数概率分布离散型随机变量概率分布与分布函数的关系分布函数概率分布离散型随机变量概率分布与分布函数的关系

例一个靶子是半径为2

米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：若x<0,则{X≤

x}是不可能事件，于是（2）X五、连续型随机变量及其概率密度例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上（3）若,则是必然事件，于是（3）若,则01231F(x)x01231F(连续型随机变量的概念与性质定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量X的分布函数是连续函数．连续型随机变量的概念与性质定义如果对于随机变量X由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：f(x)0x1由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：f(x)0f(x)x0f(x)x0由这个性质可知由这个性质可知注意

连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量概率分布的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！连续型随机变量的一个重要特点注