第三章3 4相互独立随机变量

一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广三、小结第四节

相互独立的随机变量一、相互独立的随机变量1.定义设F

(x,y)及FX

(x),FY

(y)分别是二维随机变量(X

,Y

)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,

y

有P{

X

£

x,Y

£

y}

=

P{

X

£

x}P{Y

£

y},F

(

x,

y)

=

FX

(

x)FY

(

y),则称随机变量

X

和

Y

是相互独立的

.即2.说明(1)若离散型随机变量(X,Y

)的联合分布律为P{

X

=

i,Y

=

j}

=

pij

,

i,

j

=

1,2,

.X

和Y

相互独立P

{

X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

P

{

X

=

xi

}P

{Y

=

y

j

}

,p•j

.pij

=

pi•即f

(

x,

y)

=

f

X

(

x)

fY

(

y).X

和

Y

相互独立(2)设连续型随机变量(X

,Y

)的联合概率密度为f

(x,y),边缘概率密度分别为f

X

(x),fY

(y),则有(3)X

和

Y

相互独立

,

则

f

(

X

)

和

g(Y

)也相互独立

.例1

对于第一节例2中的随机变量

X和Y，由于

f

X

(

x)

=

2e-2

x

,x

>

0,其他，0,f

(

y)Y

=

e-

y

,y

>

0,其他，0,f

(

x,

y)

=

f

X

(

x)

fY

(

y),因而X和Y是相互独立的.得Y

X01P{Y

=

j}11

62

61

221

62

61

2P{x

=

i}1

32

31例2

若X,Y具有联合分布率则有

P{X

=0,Y

=1}=

1

6

=

P{

X

=

0}P{Y

=

1},P{X

=0,Y

=2}=

1

6

=

P{

X

=

0}P{Y

=

2},P{X

=1,Y

=1}

=

2

6

=

P{

X

=

1}P{Y

=

1},P{X

=1,Y

=2}=

2

6

=

P{

X

=

1}P{Y

=

2},二、二维随机变量的推广1.分布函数n

维随机变量(X1

,X

2

,

,Xn

)的分布函数定义为F

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

=

P{

X1

£

x1

,

X

2

£

x2

,

,

Xn

£

xn

},其中x1

,x2

,

,xn

为任意实数.2.概率密度函数

-¥ -¥xnxn-1f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)d

x1

d

x2

d

xn

,

x1-¥=若存在非负函数

f

(

x1

,

x2

,

,

xn

),

使对于任意实数

x1

,

x2

,

,

xn

有F

(

x1

,

x2

,

,

xn

)则称f

(x1

,x2

,

,xn

)为(X1

,X

2

,

,Xn

)的概率密度函数.3.边缘分布函数设(X1

,X

2

,

,Xn

)的分布函数F

(x1

,x2

,

,xn

)为已知,则(X1

,X

2

,

,Xn

)的k(1

£

k

<n)维边缘分布函数就随之确定.例如(X1

,X

2

,

,Xn

)关于X1、关于(X1

,X

2

)的边缘分布函数分别为FX

(

x1

)

=

F

(

x1

,

¥

,

¥

,

,

¥

)1FX

,

X

(

x1

,

x2

)

=

F

(

x1

,

x2

,

¥

,

¥

,

,

¥

).1

24.边缘概率密度函数若f

(x1

,x2

,

,xn

)是(X1

,X

2

,

,Xn

)的概率密度,则(X1

,X

2

,

,Xn

)关于X1

,关于(X1

,X

2

)的边缘概率密度分别为f

X

(

x1

)1f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)d

x2

d

x3

d

xn

,

¥

¥-¥

-¥¥-¥=f

X

,

X

(

x1

,

x2

)1

2f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)d

x3

d

x4

d

xn

.

¥

¥-¥

-¥¥-¥=同理可得(X1

,X

2

,

,Xn

)的k(1

£

k

<n)维边缘概率密度.5.

相互独立性若对于所有的

x1

,

x2

,

,

xn

有F

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

=

FX

(

x1

)FX

(

x2

)

FX

(

xn

),1

2

n则称

X1

,

X

2

,

,

Xn

是相互独立的

.若对于所有的

x1

,

x2

,

,

xm

,

y1

,

y2

,

,

yn

有F

(

x1

,

x2

,

,

xm

,

y1

,

y2

,

,

yn

)=

F1

(

x1

,

x2

,

,

xm)F2

(

y1

,

y2

,

,

yn

).其中F1

,F2

,F依次为随机变量(X1

,X

2

,

,Xm

)、(Y1

,Y2

,

,Yn

)和(X1

,X

2

,

,Xm

,Y1

,Y2

,

,Yn

)的分布函数,

则称随机变量(

X1

,

,

Xm

)和(Y1

,

,Yn

)是相互独立的.6.重要结论定理

设(

X1

,

X

2

,

,

Xm

)

和

(Y1

,Y2

,

,Yn

)

相互独立,则Xi

(i

=1,2,

,m)和Yj

(j

=1,2,

,n)相互独立.又若

h,

g是连续函数

,

则h(

X1

,

X

2

,

,

Xm

)

和

g(Y1

,Y2

,

,Yn

)相互独立.f

(

x,

y)

=

f

X

(

x)

fY

(

y).X

和Y

相互独立P{

X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

P{

X

=

xi

}P{Y

=

y

j

}.X

和Y

相互独立三、小结2.设连续型随机变量(X

,Y

)的联合概率密度为f

(x,y),边缘概率密度分别为f

X

(x),fY

(y),则有1.

若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P{

X

=

i,Y

=

j}

=

pij

,

i,

j

=

1,2,

.Y

X4.设(X

,Y

)是二维连续型随机变量

-¥=xY[

f

(

x,

y)

f

(

y)]d

x.

-¥=yX[