高数泰勒公式(课件)

Dr.Feng高数泰勒公式高数泰勒公式Dr.Feng高数泰勒公式高数泰勒公式1二、几个初等函数的麦克劳林公式第八节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)

第二章高数泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式第八节一、泰勒公式的建立三、2特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x

的一次多项式若是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式来近似表示高数泰勒公式特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:3由误差即为一次多项式＋的高阶无穷小试问是否成立？即是否求出特例：高数泰勒公式由误差即为一次多项式＋的高阶无穷小试问是否成立？即是否求出特4即为抛物线与更为接近问类似方法可得右边的多项式在0的附近可以无限的接近于如何用高次多项式来近似表示已给函数，并给出误差公式呢?高数泰勒公式即为抛物线与更为接近问类似方法可得右边的多项式在0的附近可以51.求

n

次近似多项式要求:故令则高数泰勒公式1.求n次近似多项式要求:故令则高数泰勒公式62.余项估计令(称为余项),则有高数泰勒公式2.余项估计令(称为余项),则有高数泰勒公式7高数泰勒公式高数泰勒公式8公式①称为的n

阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当高数泰勒公式公式①称为的n阶泰勒公式.公式9公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项

.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*

可以证明:④式成立高数泰勒公式公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.10特例:(1)当n=0

时,泰勒公式变为(2)当n=1

时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差高数泰勒公式特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当11称为麦克劳林（Maclaurin

）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式高数泰勒公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式12二、几个初等函数的麦克劳林公式其中高数泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中高数泰勒公式13其中高数泰勒公式其中高数泰勒公式1442246420246泰勒多项式逼近高数泰勒公式42246420246泰勒多项式逼近高数泰勒公式1542246420246泰勒多项式逼近高数泰勒公式42246420246泰勒多项式逼近高数泰勒公式16五、小结高数泰勒公式五、小结高数泰勒公式17五、小结高数泰勒公式五、小结高数泰勒公式18五、小结高数泰勒公式五、小结高数泰勒公式19五、小结高数泰勒公式五、小结高数泰勒公式20高数泰勒公式高数泰勒公式21高数泰勒公式高数泰勒公式22高数泰勒公式高数泰勒公式23高数泰勒公式高数泰勒公式24高数泰勒公式高数泰勒公式25高数泰勒公式高数泰勒公式26高数泰勒公式高数泰勒公式27高数泰勒公式高数泰勒公式28高数泰勒公式高数泰勒公式29高数泰勒公式高数泰勒公式30高数泰勒公式高数泰勒公式31高数泰勒公式高数泰勒公式32高数泰勒公式高数泰勒公式33高数泰勒公式高数泰勒公式34高数泰勒公式高数泰勒公式35高数泰勒公式高数泰勒公式36类似可得其中高数泰勒公式类似可得其中高数泰勒公式37其中高数泰勒公式其中高数泰勒公式38已知其中类似可得高数泰勒公式已知其中类似可得高数泰勒公式391.利用泰勒公式求极限例1计算解:原式三、泰勒公式的应用高数泰勒公式1.利用泰勒公式求极限例1计算解:原式三、泰40例2求解：用函数的麦克劳林展开式求此极限高数泰勒公式例2求解：用函数的麦克劳林展开式求此极限高数泰勒公式41解:由于用洛必塔法则不方便

!用泰勒公式将分子展到项,例3.

求高数泰勒公式解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,例3.42例4

设求解高数泰勒公式例4设求解高数泰勒公式432.利用泰勒公式证明不等式例4.

证明证:高数泰勒公式2.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:高数泰勒公式44例5

设当，有证明在时，至少有一个实根。在处展开成一阶泰勒公式因此，根据连续函数零点而此使得的一个实根。证明将定理可知，至少存在一点为2.利用泰勒公式证明方程根的存在性高数泰勒公式例5设当，有证明在时，至少有一个实根。在处展开成一阶泰勒公45内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.高数泰勒公式内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.高数泰勒462.常用函数的麦克劳林公式

(P139~P140)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,高数泰勒公式2.常用函数的麦克劳林公式(P139~P140)47作业P1411（2）;3；4;5;6；7高数泰勒公式作业P1411（2）;3；4;高数泰勒公式48泰勒

(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.高数泰勒公式泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派49麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.高数泰勒公式麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流504、设，且，证明证明由已知极限式得利用泰勒公式有从而高数泰勒公式4、设，且，证明证明由已知极限式得利用泰勒公式有从而高516.

设函数在上三阶可导,且设使证:

因因因此试证存在利用二阶泰