同济版大一高数下第十二章第四节函数展开成幂级数课件

高等数学第三十一讲1高等数学第三十一讲1第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十二章2第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:3一、泰勒(Taylor)级数其中(在x为f(x)

的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,4为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒定理1

.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有5定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:

设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.6定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式二、函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开7二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,例1.

将函数展开成x的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数8例1.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对例2.

将展开成x的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足9例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为42246420246泰勒多项式逼近1042246420246泰勒多项式逼近1042246420246泰勒多项式逼近1142246420246泰勒多项式逼近11类似可推出:(P281)12类似可推出:(P281)12例3.

将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.(P283)解:易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,13例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.(则为避免研究余项,设此级数的和函数为14则为避免研究余项,设此级数的和函数为14例3附注P28415例3附注P28415称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得16称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与对应的二项展开式分别为(P285)17对应的二项展开式分别为(P285)172.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例1将函数展开成x的幂级数.解:因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.182.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例219例219例3.

将展成x－1的幂级数.解:

20例3.将展成x－1的幂级数.解:20例4将下列函数展开成x的幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,因此21例4将下列函数展开成x的幂级数解:x＝±1时,此级数例5.

将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛22例5.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积例6.

将展开为x的幂级数.解:因此23例6.将展开为x的幂级数.解:因此23例7.

将展成解:

的幂级数.24例7.将展成解:的幂级数.24例825例825内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式(以后可直接引用)式的函数.26内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰当