高等量子力学-密度算符和密度矩阵课件

§14密度矩阵§14-1纯态和混合态§14-2密度算符和密度矩阵§14-3例§14密度矩阵§14-1纯态和混合态1§14-1纯态和混合态(14.1)

这个状态也是纯态.

§14-1纯态和混合态(14.1)这个状态也是纯态.2

(14.2)

(14.2)3

(14.3)

(14.4)

(14.3)(14.4)4以上的说法若在X表象中说,纯态的函数为而混合态的态函数可以写成而在混合态中为相干叠加

不相干叠加

以上的说法若在X表象中说,纯态的函数为而混合态的态函数可以5高等量子力学-密度算符和密度矩阵ppt课件6高等量子力学-密度算符和密度矩阵ppt课件7§14-2密度算符和密度矩阵

我们希望找到一个单一的数学量去描写混合态,这个量就是本节要介绍的密度算符.先从纯态开始.一、密度算符的定义

物理量A的平均值：

密度算符：

注意构造密度算符时必须使用归一化的态矢量.

(14.5)

(14.6)

§14-2密度算符和密度矩阵我们希望找到8(14.7)

(14.7)9下面看混合态.取一个比(14.2)式更一般的混合态如下：(14.8)

物理量A在这个混合态中的平均值：

混合态的密度算符或统计算符：

(14.9)

(14.10)

下面看混合态.取一个比(14.2)式更一般的混合态如下：(10

(14.11)

(14.9)和(14.11)二式与纯态情况(14.5)和(14.7)二式完全一样；而混合态的密度算符是参与混合态的那些纯态的密度算符的加权平均.(14.11)(14.9)和(14.11)11

(14.12)

而在薛定谔绘景中,密度算符则是一个含时算符：

(14.13)

(14.14)

这是密度算符的运动方程,称为刘维方程.与海森伯绘景不同.二、刘维方程(14.12)而在薛定谔绘景中,密度算符则是一个含时算12

(14.15)

(14.15)13密度算符在一个具体表象中的矩阵称为密度矩阵.在薛定谔绘景中的密度矩阵是含时的,而在海森伯绘景中,密度矩阵则是不含时的.密度矩阵中的“密度”一词是历史上形成的,并不贴切,不必深究.

(14.16)密度算符在一个具体表象中的矩阵称为密度矩阵.14

(14.17)

对于这样的矩阵,其迹是

(14.18)

(14.17)对于这样的矩阵,其迹是(14.18)15三、密度算符的一些性质

我们研究一个一般的混合态：

(14.19)

1、(14.20)

三、密度算符的一些性质我们研究一个一般的混合态：(14.162、

(14.21)

(混合态)

2、(14.21)(混17(纯态)

3、密度算符是厄米的：

(纯态)3、密度算符是厄米的：18

(14.22)证明：

(14.22)证明：19非正交的：正交的：非正交的：正交的：20式中式中21

(14.24)

(14.25)

(14.26)由以上三式可见,用一组正交基表现一个系统的全部混合态是可能的.一个系统的任何混合态都可以用任何一组正交基表示成如下形式：

(14.27)

(14.28)(14.24)(14.25)(14.22高等量子力学-密度算符和密度矩阵ppt课件23四、约化密度矩阵

(14.29)四、约化密度矩阵(14.29)24(14.30)(14.31)(14.30)(14.31)25

令

(14.32)令(126(14.33)这一表式完全与粒子2无关,是一个只在粒子1空间中的关系.(14.33)这一表式完全与粒子2无关,是一个只在粒子127高等量子力学-密度算符和密度矩阵ppt课件28由(14.32)和(14.31)式知

(14.34)这是一个(14.27)式类型的密度算符.由(14.32)和(14.31)式知(14.34)这是一29§14-3例我们来看几个自旋态的例子,自旋态很能说明问题,而且空间维数少,比较简单.纯态混合态§14-3例我们来看几个自旋态的例子,自旋态很30(14.35)（1）纯态由此可算出

(14.35)（1）纯态由此可算出31（2）混合态由此算出

讨论：首先，由所得结果可明显看出，混合态确是两个态的不相干叠加。在混合态中，保存了原有两态的特点。（2）混合态由此算出讨论：首先，由所得结果可明显看出，混32则纯态的密度矩阵发生很大变化平均值也发生了很大变化，显然已经不是原来哪个纯态了，而混合态的密度矩阵则无变化。可见，在相干叠加构成纯态时，两态的相因子非常重要。则纯态的密度矩阵发生很大变化平均值也发生了很大变化，显然已经33下面看一个非正交态构成的混合态：例2：我们来研究下列混合态（14.36）这个态的密度矩阵为（14.37）下面看一个非正交态构成的混合态：例2：我们来研究下列混34（14.38）（14.38）式所表示的混合态，其密度矩阵是（14.37）式，与（14.36）式所表示的混合态密度矩阵相同。通常认为14.36）式与（14.38）式是相同的混合态。前者的参与态不是正交的，而后者则是正交的。（14.38）（14.38）式所表示的混合态，其密度矩阵是35

现在取这个双粒子系统的一个纯态：求其中电子自旋的平均值。

36解：首先用整个系统的密度矩阵来做，然后再用约化矩阵来做。系统的态矢量的矩阵形式是基矢的矩阵形式是解：首先用整个系统的密度矩阵来做，然后再用约化矩阵来做。系统37密度矩阵是密度矩阵是38于是得同理，得于是得同理，得39高等量子力学-密度算符和密度矩阵ppt课件40与前