第三章-泛函分析初步课件

第三章泛函分析初步§3.1线性空间§3.2线性子空间§3.3距离空间§3.4Banach空间§3.5Hilbert空间§3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开1第三章泛函分析初步§3.1线性空间1§3.1线性空间线性空间：设W≠Ø（W为非空集合）(1)W中元对“+”构成交换群，即对

X,Y,Z

W,有ⅰ.ⅱ.ⅲ.ⅳ.ⅴ.2§3.1线性空间线性空间：设W≠Ø（W为非空集合）2§3.1线性空间(2)对

X,Y

W，

α,β

C（复数域）有：ⅵ.ⅶ.ⅷ.ⅸ.称W为线性空间；若

α,β

C，则W为复线性空间；若α,β

R，则W为实线性空间。3§3.1线性空间(2)对X,YW，α,βC（复§3.1线性空间

4§3.1线性空间4§3.1线性空间线性空间W上的算子L为线性算子零状态线性系统

系统算子为线性算子5§3.1线性空间线性空间W上的算子L为线性算子5§3.2线性子空间线性子空间：设

Ø

≠V

W，V是W的线性子空间直和：设6§3.2线性子空间线性子空间：设Ø≠VW，V是§3.3距离空间（度量空间——MetricSpace）距离空间：设W≠Ø

，称W为距离空间，指在W中定义了映射：（包括0），

X,Y

W满足以下三条公理：

称为W上的距离，为度量空间。7§3.3距离空间（度量空间——MetricSpace）距§3.3距离空间例：例：8§3.3距离空间例：8§3.3距离空间例：9§3.3距离空间例：9§3.3距离空间－收敛收敛：定理：在中，每个收敛点列有唯一的极限点。10§3.3距离空间－收敛收敛：10§3.3距离空间－完备度量空间柯西序列——CauchySequence例：11§3.3距离空间－完备度量空间柯西序列——CauchyS§3.3距离空间－完备度量空间中任意收敛序列是柯西序列中的柯西序列未必收敛到中例：12§3.3距离空间－完备度量空间中任意收敛§3.3距离空间－完备度量空间完备度量空间——CompleteMetricSpace

称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。极限运算在完备时可行如何完备化？W不要求线性空间13§3.3距离空间－完备度量空间完备度量空间——Comple§3.4巴拿赫（Banach）空间14§3.4巴拿赫（Banach）空间14§3.4.1赋范线性空间赋范线性空间：设W≠Ø是线性空间，若对

X

W，

‖X‖

满足： 称为X的范数（Norm），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为。15§3.4.1赋范线性空间赋范线性空间：设W≠Ø是线性空间，§3.4.1赋范线性空间（广义）长度的推广：例1：

16§3.4.1赋范线性空间（广义）长度的推广：16§3.4.1赋范线性空间（广义）长度的推广：例2：17§3.4.1赋范线性空间（广义）长度的推广：17§3.4.1赋范线性空间Minkowski不等式：18§3.4.1赋范线性空间Minkowski不等式：18§3.4.1赋范线性空间

19§3.4.1赋范线性空间19§3.4.1赋范线性空间例20§3.4.1赋范线性空间例20§3.4.1赋范线性空间强收敛：弱收敛：依泛函收敛。注：强收敛

弱收敛。21§3.4.1赋范线性空间强收敛：21§3.4.1赋范线性空间度量空间与赋范线性空间的关系：

例22§3.4.1赋范线性空间度量空间与赋范线性空间的关系：22§3.4.2.Banach空间Banach空间：完备的称为Banach空间。是Banach空间。在中，取完备。

23§3.4.2.Banach空间Banach空间：完备的§3.4.2.Banach空间定理：若Hölder不等式：证明思路：24§3.4.2.Banach空间定理：若24§3.5Hilbert空间25§3.5Hilbert空间25§3.5.1内积空间内积：设W≠Ø为实或复线性空间，若对

X,Y,Z∈W,λ∈C，均有一个实数或复数与之对应，记为〈X,Y〉，满足：则称〈X,Y〉为X与Y的内积，定义了内积的空间为内积空间。26§3.5.1内积空间内积：设W≠Ø为实或复线性空间，若对§3.5.1内积空间注：

例子：

27§3.5.1内积空间注：27§3.5.1内积空间例子：

28§3.5.1内积空间例子：28§3.5.2Hilbert空间定义欧氏范数，则内积（线性）空间成为赋范线性空间。Hilbert空间：依欧氏范数完备的内积空间称为Hilbert空间。有限维内积空间必完备：完备。完备，定义内积。H空间是能量有限信号的集合。29§3.5.2Hilbert空间定义欧氏范数§3.5.2Hilbert空间Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间，

X,Y∈W，有注：1.在Hölder不等式中，取，就成为Cauchy-Schwarz不等式。2.在空间中，有Cauchy不等式：3.在空间中，有Schwarz不等式：30§3.5.2Hilbert空间Cauchy-Schwarz§3.5.3线性泛函算子—Operator：X,Y为线性空间，算子：

其中，为定义域，为值域。31§3.5.3线性泛函算子—Operator：X,Y为线性§3.5.3线性泛函泛函—Functional：值域是实／复数域的算子为泛函。注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普通）函数均为泛函。线性算子：X,Y为线性空间，，若对，有：则T为线性算子。32§3.5.3线性泛函泛函—Functional：值域是实／§3.5.3线性泛函线性泛函：线性算子T的值域为实／复数集。距离、范数是泛函，但非线性泛函。连续线性算子T线性算子：有界

连续内积为连续线性泛函积分算子33§3.5.3线性泛函线性泛函：线性算子T的值域为实／复数集§3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开34§3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开34§3.6.1正交—Orthogonal正交：在内积空间W中，若，满足：，则称正交，记为：。其中k为常数，为Kronecker符号－正交（子）集：中任意两个元正交。35§3.6.1正交—Orthogonal正交：在内积空间§3.6.1正交集正交：若正交补：规范正交完备集V：1.（完备性）2.（规范正交）36§3.6.1正交集正交：若36§3.6.1正交定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。定理：W是Hilbert空间，，V是W的正交子集。37§3.6.1正交定理：Hilbert空间存在规范正交完备集§3.6.2正交投影—OrthogonalProjection正交投影：W是Hilbert空间，在V上的正交投影或投影，记为：。注：的距离最小，即正交投影使均方误差最小化。38§3.6.2正交投影—OrthogonalProjecti§3.6.3广义傅里叶展开广义傅里叶展开：设是H空间W的规范正交完备集，则对为广义傅里叶系数。注：是Hilbert空间W的规范且完备的一组基。是X在上的投影。39§3.6.3广义傅里叶展开广义傅里叶展开：设§3.6.3广义傅里叶展开Parseval等式：设，则物理解释：信号的总能量＝各个分量的能量的和。几何解释：