高数无穷级数复习课件

常数项级数函数项级数正项级数幂级数收敛半径R泰勒展开式数或函数函数数任意项级数泰勒级数在收敛级数与数条件下相互转化一、主要内容1常数项级数函数项级数正幂级数收泰勒展开式数或函数函数数1、常数项级数级数的部分和定义级数的收敛与发散21、常数项级数级数的部分和定义级数的收敛与发散2性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质1、常数项级数3性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛4常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件定义2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法5定义2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法5(2)比较审敛法的极限形式6(2)比较审敛法的极限形式67788定义

正、负项相间的级数称为交错级数.3、交错级数及其审敛法9定义正、负项相间的级数称为交错级数.3、交错级数及其定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4、任意项级数及其审敛法10定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4、任意项级5、函数项级数(1)定义(2)收敛点与收敛域115、函数项级数(1)定义(2)收敛点与收敛域11(3)和函数12(3)和函数12(1)定义6、幂级数13(1)定义6、幂级数132、幂级数(1)收敛性142、幂级数(1)收敛性14推论15推论15定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.16定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数a.代数运算性质:加减法(其中(2)幂级数的运算17a.代数运算性质:加减法(其中(2)幂级数的运算17b.和函数的分析运算性质:18b.和函数的分析运算性质:183、幂级数展开式(1)定义193、幂级数展开式(1)定义19(2)充要条件(3)唯一性20(2)充要条件(3)唯一性20(3)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:b.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.21(3)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:b.间接法(4)常见函数展开式22(4)常见函数展开式222323(5)应用a.近似计算b.欧拉公式24(5)应用a.近似计算b.欧拉公式24二、例题例1解根据级数收敛的必要条件，原级数发散．25二、例题例1解根据级数收敛的必要条件，原级数发散．25解根据比较判别法，原级数收敛．26解根据比较判别法，原级数收敛．26解原级数收敛；原级数发散；原级数也发散．27解原级数收敛；原级数发散；原级数也发散．27例２解即原级数非绝对收敛．28例２解即原级数非绝对收敛．28由莱布尼茨定理：知此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．29由莱布尼茨定理：知此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．29例３解两边逐项积分30例３解两边逐项积分303131例4解32例4解323333