2022-2023学年河南省开封市五县联考高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设的实部与虚部相等，其中为实数，则等于()

A.B.C.D.

2.下列结论正确的是()

A.底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥

B.所有几何体的表面都能展开成平面图形

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥

D.一个直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥

3.某学校共有名学生，其中高一的学生有名，高二的学生有名，其余都是高三的学生，为了解该校学生的体育锻炼时间，按照高一、高二、高三三个级段进行分层抽样，如果样本容量为，那么应在高三的学生中抽取()

A.名B.名C.名D.名

4.九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著，其第五卷商功中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？“这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是丈尺，高丈尺，问它的体积是多少？若取，估算该圆堡的体积为立方尺丈尺．()

A.B.C.D.

5.，为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法正确的是()

A.若，，则B.若，，则

C.若，，则D.若，，则

6.如图，在正方体中，为中点，过且与平行的平面交平面于直线，则直线与所成角的余弦值是()

A.

B.

C.

D.

7.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”设为三角形内一点，且满足，则()

A.B.C.D.

8.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值是()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列情况不适合抽样调查的有()

A.调查一个县各村的粮食播种面积

B.了解一批炮弹的杀伤直径

C.了解高一班名学生在校一周内的消费

D.调查一批鱼苗的生长情况

10.要考察某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按，，，进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的颗种子中一个的是________下面抽取了随机数表第行至第行()

A.B.C.D.

11.在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是()

A.，，B.，，

C.，，D.，，

12.已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，，为内部含边界的动点，则()

A.平面

B.球的表面积为

C.的最小值为

D.若与平面所成角的正弦值为，则点轨迹长度为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知总体划分为层，通过分层随机抽样，得到各层的平均数分别为，，，各层的样本量分别为，，，估计总体平均数为______．

14.向量，，，向量与的夹角为，则．

15.水平放置的的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______．

16.如图在三棱锥中，，且，、分别是和的中点．则异面直线与所成的角的余弦值为，直线与面所成角大小为．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

在复平面内有一个矩形，点在第二象限，点所对应的复数是，求另外两个顶点，所对应的复数．

18.本小题分

平面内给定三个向量．

Ⅰ求；

Ⅱ求满足的实数和；

Ⅲ若，求实数．

19.本小题分

如图，是直角三角形斜边上一点，．

若，求角的大小；

若，且，求的长．

20.本小题分

如图，在三棱柱中，，，，．

证明：平面平面；

若为的中点，求到平面的距离．

21.本小题分

如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面．

证明：平面；

若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

22.本小题分

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为正三角形，点，分别在线段和上，且设二面角为，且．

求证：平面；

求直线与平面所成角的正弦值；

求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念及复数的乘法的运算法则，考查计算能力，属于基础题．

利用复数的乘法运算法则，根据复数的概念求解即可．

【解答】

解：的实部与虚部相等，

可得：，

解得．

故选：．

2.【答案】

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于，底面是正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，A错误；

对于，球的表面不能展开成平面图形，B错误；

对于，因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，C错误；

对于，由圆锥的定义，一个直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥，D正确．

故选：．

根据题意，由棱锥、圆锥的结构特征，依次分析选项，综合可得答案．

本题考查棱锥、圆锥的结构特征，注意棱锥、圆锥的定义，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：高三学生有名，

所以根据分层抽样的抽样比可知，

应在高三学生中抽取名．

故选：．

根据分层抽样的定义，计算即可．

本题考查分层抽样的应用，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：设圆柱形圆堡的底面半径为，则由题意得，

尺，又圆堡的高尺，

圆堡的体积立方尺．

故选：．

根据周长求出圆堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．

本题考查了圆柱的体积计算，属基础题．

5.【答案】

【解析】解：若，，则或，故A错误；

若，则垂直内的两条相交直线与，又，，，则，故B正确；

若，，则或与异面，故C错误；

若，，则或，故D错误．

故选：．

由直线与平面的位置关系判断；由直线与平面垂直的性质判断与；直线与平面平行的定义及性质判断．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，得到过且与平行的平面就是平面，延长，，交于点，推导出直线就是直线，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．

【解答】

解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，平面，平面，

过且与平行的平面就是平面，

延长，，交于点，

平面，平面，平面平面，

又平面平面，过且与平行的平面交平面于直线，

直线就是直线，

设正方体的棱长为，，

在正方体中，为中点，

，，

，

，，

，

解得，，，，

，，，，

设直线与所成角为，

则直线与所成角的余弦值是：

．

故选D．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量的基本运算以及“奔驰定理”的应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．

直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．

【解答】

解：为三角形内一点，且满足，

，

．

，

故选：．

8.【答案】

【解析】解：中，，

，

，

解得，

，

由正弦定理得：，

，，

由得，

，且，

，

，，可得，

，

则的最大值是．

故选：．

由余弦定理化简已知等式即可得解的值，由正弦定理得，，利用三角函数恒等变换的应用化简可求，由范围，可求，利用正弦函数的图象和性质即可得解的最大值．

本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，

对于，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，运用抽样调查，

对于，了解高一班名学生在校一周内的消费，运用全面调查，

对于，调查一批鱼苗的生长情况，运用抽样调查．

故选：．

根据已知条件，结合全面调查、抽样调查的定义，即可依次判断．

本题主要考查收集数据的方法，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：从随机数表第行第列的数依次开始向右读，

第一个小于的数字是，符合题意，

第二个数字是，舍，

第三个数字是，也符合题意，

第四个数字是，也符合题意，

第五个数字是，也符合题意，

故选：．

从随机数表第行第列的数开始向右读第一个小于的数字是，以此类推，把大于舍去，把符合条件的写出来，得到这一个样本，即可求出结论．

本题考查简单随机抽样中的随机数表法，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为在随机数表中，每个数字在每一个位置出现的几率相等．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了解三角形的应用问题，考查了数学运算能力及数据分析能力，是中档题．

中，由正弦定理求出、的值，判断有唯一解；

中，由正弦定理求出，根据判断为锐角，有唯一解；

中，由正弦定理求出，根据判断的值有个，有两解；

中，由余弦定理求出的值只有个，判断有唯一解．

【解答】

解：对于，，，，所以，

由正弦定理得，

所以，

所以有唯一解；

对于，，，，

由正弦定理得，所以，且，

所以为锐角，有唯一解；

对于，，，，

由正弦定理得，

所以，且，

所以的值有个，有两解；

对于，，，，

由余弦定理得，即，

整理得，解得，

只取，所以有唯一解．

故选：．

12.【答案】

【解析】解：对于，如图，设底面对角线交于点

由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故A，，，共面，

又面面，而面面，

面面，故A，即；

由平面几何易得，即；

所以四边形是平行四边形，故AA，

而面，面，所以平面，故A正确；

．

对于，如图，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则，

在等腰梯形中，易得，即，

为方便计算，不妨设，，则由，

即，即，

又，解得，即与重合，故，

故球的表面积为，故B正确；

．

对于，由图易得，，，、面，故BD面，

不妨设落在图处，过作，则面，故E，

故在中，直角边小于斜边；同理，，

所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；

再看图，由关于对称点为可知，

故，故C错误；

．

对于，由选项C可知，面，面，故面面，

在面内过作交于，如图，

则面，面面，故AF面，故为与平面所成角，

在中，，，，故为正三角形，即，故，

在中，，，即点在以为圆心，为半径的圆与所交的圆弧，

而，故圆弧所对圆心角为如图所示平面图，所以轨迹长为，故D正确．

故选：．

对于，由条件先证线线平行，进而证得线面平行；

对于，先假设球心的位置，利用勾股定理与半径相等建立方程组进而确定的位置，可求得球的表面积；

对于，先判断落在上，再进一步判断与重合时，取得最小值；

对于，利用面面垂直的性质作出面，故为与平面所成角，再利用得出长，继而判断点轨迹为圆弧．

本题考查四棱台的外接球问题，与动点相关的最值问题，线面角的求解，化归转化思想，属难题．

13.【答案】

【解析】解：各层的平均数分别为，，，各层的样本量分别为，，，

总体的平均数为．

故答案为：

根据已知条件，结合加权平均数公式，即可求解．

本题主要考查加权平均数公式，属于基础题．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

推导出，利用向量数量积公式能求出．

【解答】

解：向量，，，向量与的夹角为，

，

解得．

故答案为．

15.【答案】

【解析】解：如图所示，

，

的面积为，

，

，

，

．

故答案为：．

根据题意画出图形，结合图形求出、的长，

再用余弦定理求出的长．

本题考查了斜二测画法的应用问题和三角形边长与面积的计算问题，是中档题．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查线线角、线面角，考查余弦定理，考查学生的计算能力，正确作出线线角、线面角是关键．

连接，取中点为，连接，，则和平行，或其补角即为和所成的角，利用余弦定理可得结论；由题意，为直线与面所成角，即可求解．

【解答】

解：连接，取中点为，连接，

则和平行，或其补角即为和所成的角．

设，则

因为，是正三角形，、、是中点

所以：，，，

，

异面直线与所成角的余弦值为，

由题意，为直线与面所成角，，，

故答案为，．

17.【答案】解：点所对应的复数是，，

点在第二象限，设，，

四边形为矩形，且，

，解得：，

顶点对应的复数是，

，

，

，解得：，

顶点对应的复数是．

【解析】设，，由四边形为矩形，且，得到关于，的方程组求解即可求点，由可建立关于，的方程组求解可得点．

本题考查复数的几何意义，属于基础题．

18.【答案】解：Ⅰ根据题意，向量．

则，故；

Ⅱ若，即，

则有，解可得，

故，；

Ⅲ根据题意，，，

若，则，

解可得，

故．

【解析】Ⅰ根据题意，求出的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；

Ⅱ根据题意，由向量的坐标计算公式可得若，必有，求出、的值，即可得答案；

Ⅲ根据题意，求出与的坐标，由向量数量积的计算公式可得，求出的值，即可得答案．

本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标和向量模的计算，属于基础题．

19.【答案】解：在中，由正弦定理得，

所以，．

又

所以，．

由，且知：，

所以，直角三角形中，．

在中，由余弦定理得，

所以，．

【解析】直接利用正弦定理的应用求出结果；

直接利用余弦定理的应用求出结果．

本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

20.【答案】证明：如图，连接，在中，，，，

由余弦定理得，

所以，所以．

同理．

又因为，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

解：过作于，连接，．

由知平面，所以平面．

因为，，所以，．

因为，所以．

因为，所以，所以．

在中，因为，，，

所以．

因为为的中点，所以，．

在中，因为，，，

所以，

所以，于是的面积为．

因为，

所以三棱锥的体积为．

设到平面的距离为．

因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相同，

所以，解得，

即到平面的距离为．

【解析】连接，证明推出平面然后证明平面平面．

过作于，连接，通过，转化求解到平面的距离即可．

本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的证明，空间点、线、面距离的求法，等体积法的应用，是中档题．

21.【答案】证明：在平面内过点作，垂足为，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，

则，

过点，分别作，垂直于点，，，，，

所以，即，

因为，且，平面，

则平面，

又平面，

所以，又，，，平面，

故平面；