陕西省安康市汉滨区七校2022-2023学年高二下学期期末联考数学（理）试卷（含解析）

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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知i是虚数单位，则等于()

A.B.C.D.

2、用分析法证明：要使①，只需②，这里①是②的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3、如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为BC延长线上一点，，则()

A.B.C.D.

4、“猜想”又称“角谷猜想”、“克拉茨猜想”、“冰雹猜想”，它是指对于任意一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终总能够得到1.已知正整数数列满足上述变换规则，即：.若，则()

A.1B.2C.3D.16

5、动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点P的轨迹是()

A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线

6、设双曲线：的离心率为，则C的渐近线方程为()

A.B.C.D.

7、如图，阴影部分的面积是()

A.B.C.D.

8、函数的图象大致是()

A.B.C.D.

9、王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该钉钉群人数的最小值为()

A.-18B.20C.22D.28

10、已知，直线与曲线相切，则()

A.B.-1C.-2D.-e

11、如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率()

A.B.C.D.

12、已知函数（e为自然对数的底数），若在上有解，则实数m的取值范围是()

A.B.C.D.

二、填空题

13、命题“，”的否定是“________”.

14、北京冬奥会短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，已知比赛结果没有并列名次，记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若是真命题，是真命题，则得第一名的是________.

15、已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则________.

16、设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积是________.

三、解答题

17、已知复数（，i是虚数单位）.

（1）若z是纯虚数，求m的值；

（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围.

18、计算：，；所以；又计算：，，；所以，.

（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题；

（2）判断该命题的真假，若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由.

19、已知数列中，.

（1）求，，的值；

（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明.

20、已知四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，，，，.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）求二面角的余弦值.

21、已知椭圆C：的离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l经过C的左焦点且与C相交于B、D两点，以线段BD为直径的圆经过椭圆C的右焦点，求l的方程.

22、已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，是否恒成立，并说明理由.

参考答案

1、答案：A

解析：已知i是虚数单位，则

故选A

2、答案：B

解析：分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立，即，所以①是②的必要条件，故选B.

3、答案：B

解析：如图所示，取BC的中点F，连接，

则且，

四边形是平行四边形

且，，

又，

，故选B.

4、答案：D

解析：根据题意，止整数经过4次运算后得到1，

所以正整数经过3次运算后得到2，

经过2次运算后得到4，

经过1次运算后得到8或1(不符合题意，舍去)，

可得正整数的值为16，

故选:D

5、答案：D

解析：依题意可知动点在直线的右侧，设P到直线的距离为d，则，所以动点P到点的距离与它到直线的距离相等，其轨迹为抛物线.

6、答案：C

解析：由题意，双曲线的离心率为，即，所以，所以C的渐近线方程为.故选:C.

7、答案：C

解析：试题分析:直线与抛物线，解得交点为和，抛物线与x轴负半轴交点，设阴影部分的面积为

，故选C.

8、答案：A

解析：令，得，解得.因此选项D，C中的图象不正确;，令，得，解得，因此，是函数的唯一的极大值点.因此，当时，，当时，，故B错误，A正确.故选A.

9、答案：C

解析：设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，则，，，则，又教师人数的两倍多于男学生人数，，，当时，，此时总人数最少，为22.

10、答案：B

解析：因为直线与曲线相切，

所以设切点为，则，

因为，所以，

则切线方程为，

因为过点，代入可得.

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，且，所以切点为，

则，故选B.

11、答案：B

解析：如图所示，设双曲线方程为，

则，，，所以，.又因为，所以，所以，所以，所以或(舍去).

12、答案：C

解析：由在上有解，可得，在上有解，

令，则，

则，

则当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，

故当时，函数取德最小值.

故.

故选:C.

13、答案：，

解析：全称命题“，”的否定是“，”，所以命题“，”的否定是“，”

14、答案：乙

解析：因为第一名只有一个，所以由是真命题，可得命题p与命题q有且只有一个为真命题，则r必为假命题，又因为是真命题，则为真命题，故p为假命题，故q为真命题.故答案为:乙.

15、答案：

解析：

16、答案：4

解析：如图:

由得，，

，，

由题意:，

，

所以，

故答案为:4

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）.

因为z是纯虚数，所以且，解得.

（2）因为是z的共轭复数，所以.

所以.

因为复数在复平面上对应的点在第一象限，

所以

解得，即实数m的取值范围为.

18、答案：（1）答案见解析

（2）答案见解析

解析：（1）一般性的命题：n是正整数，则

（2）命题是真命题.

要证：，

只需证明：

只需证明：

整理得：

只需证明：

只需证明：，而此式显然成立，所以原不等式成立.

19、答案：（1），，

（2）

解析：（1）因为，，

所以，

同理，，

即，，；

（2）猜想，

证明如下：

①当时，，显然满足题意，

②设，（且）时，，

则，

即当时，等式也成立，

综上可得.

20、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）在等腰梯形ABCD中，，

，

，所以，即，

又因为，且，平面PBD，平面PBD.所以平面PBD，

又因为平面ABCD，因此平面平面ABCD.

（2）如图，连接PO，由（1）知，平面PBD，所以，

所以，

所以，即，

又，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面PAD的法向量为，因为，，

所以即

令，则，，所以平面PAD的一个法向量，

平面PBD，平面PBD的一个法向量，

所以，

所以二面角的余弦值为.

21、答案：（1）

（2）或

解析：（1）由题意得，，，解得，

椭圆C的方程为；

（2）由题目可知l不是直线，且、，

设直线l的方程为，点、，

代入椭圆方程，整理得：，

①，②，

由，得：③，④，

，，由题