补充-持续期课件

补充1：持续期一、金额持续期（DollarDuration）（一）定义与数学解释金额持续期——是指市场利率发生一个百分点的变化，债券价格变化的金额。补充1：持续期一、金额持续期（DollarDuration11、如果到期收益率曲线呈水平状，那么债券价格如果到期收益率发生微小变化，债券价格变化为1、如果到期收益率曲线呈水平状，那么债券价格如果到期收益率发22、如果到期收益率曲线不是水平状，那么债券价格计算公式为：其中，Ct——债券在第t期获得的现金流量；dt——折现因子。如果到期收益率发生微小变化，债券价格变化为2、如果到期收益率曲线不是水平状，那么债券价格计算公式为：其3如果到期收益率曲线是平行移动的，即各期利率都是波动dy，那么：不做严格的数学推导，求取债券价格变化的近似公式：这样，在到期收益率曲线不是水平的时候，估计市场利率发生微小变化引起债券价格变化的等式，与到期收益率曲线为水平的情况下估计债券价格变化的等式是相同的。如果到期收益率曲线是平行移动的，即各期利率都是波动dy，那么43、金额持续期的计算公式其中：△金额——金额持续期；t——现金流量距离0时点的长度；V(Ct)——债券的现金流量的现值；Ct——债券在第t期获得的现金流量；dt——折现因子。3、金额持续期的计算公式其中：5例题:20年债券,面值100,票面利率10%,1年支付.例题:20年债券,面值100,票面利率10%,1年支付6期限（年）到期收益率（%）折现因子现值 t倍现值 0 1 1 8.5056 0.9216 9.2161 9.2161 2 8.6753 0.8467 8.4672 16.9343 3 8.8377 0.7756 7.7564 23.2693 4 8.9927 0.7086 7.0862 28.3446 5 9.1404 0.6458 6.4576 32.2881 6 9.2807 0.5871 5.8714 35.2282 7 9.4136 0.5327 5.3272 37.2906 8 9.5391 0.4824 4.8244 38.5955 9 9.657 0.4362 4.3619 39.2568 10 9.7675 0.3938 3.9379 39.3788 11 9.8705 0.3551 3.5507 39.0572 12 9.9659 0.3198 3.1982 38.3782 13 10.0537 0.2878 2.8783 37.4182 14 10.134 0.2589 2.5888 36.2433 15 10.2067 0.2327 2.3274 34.9117 16 10.2718 0.2092 2.0920 33.4725 17 10.3292 0.1880 1.8805 31.9677 18 10.379 0.1691 1.6906 30.4310 19 10.4212 0.1521 1.5206 28.8906 20 10.4557 0.1368 15.0532 301.0648 合计 100.0866911.63 金额持续期 911.63 期限7二、比率持续期（麦考利久期）由于所以将比率持续期定义为：二、比率持续期（麦考利久期）由于所以将比率持续期定义为：8三、修正持续期修正持续期在比率持续期的基础上考虑短期利率的影响。如果半年支付1次利息，那么三、修正持续期修正持续期在比率持续期的基础上考虑短期利率的影9计算题一个债券的金额持续期为15.5，债券价格为144.46元，1年期利率为4.5056%，请计算修正持续期。计算题一个债券的金额持续期为15.5，债券价格为144.4610解先计算比率持续期=15.5/144.46=10.73%再计算修正持续期=10.73%/(1+4.5056%)=10.27%解先计算比率持续期=15.5/144.46=10.73%再计11四、有效持续期有些证券（例如MBS）的现金流是不确定的，无法使用标准的持续期公式，为了估计这类证券价格受利率波动的影响程度，可以使用有效持续期的概念。有效持续期定义如下：四、有效持续期有些证券（例如MBS）的现金流是不确定的，无法12例题：票面利率为9%，期限20年的非含权债券，价格134.67，到期收益率6%。让到期收益率上升或下降20个基点，债券价格将分别为131.84和137.59，求该债券的有效持续期。例题：票面利率为9%，期限20年的非含权债券，价格1313解解14五、关键利率持续期（一）传统持续期指标的不足无论是金额持续期、比率持续期，还是修正持续期，都假定到期收益率曲线水平移动。如果到期收益率曲线不是水平移动的，应用传统的持续期指标就会产生问题。解决这一矛盾的工具，是使用关键利率持续期。传统的持续期指标主要是为了分析非含权证券的，而由于含权证券的现金流量与市场利率有关，含权证券的价格风险也不能简单使用传统持续期指标，关键利率持续期会有助于解决这一问题。五、关键利率持续期（一）传统持续期指标的不足15（二）关于持续期的一般方法持续期的一般方法是指考虑到多种因素发生变化后，债券价格变化的总量。用线性数学模型表示为:（二）关于持续期的一般方法持续期的一般方法是指考虑到多种因素16（三）几个概念1、利率持续期（RateDuration）——指即期利率的一定幅度变化导致债券价格变化的金额。注意：对应即期利率曲线上的每一点都存在一个即期利率持续期。如果全部即期利率都变化相同的基点，那么债券价格变化的总金额就是金额持续期。（三）几个概念1、利率持续期（RateDuration）—172、关键利率持续期（KeyRateDuration）——指关键即期利率的一定幅度的变化所产生的债券价格的变化。ThomasHo定义了11个关键利率，包括3个月、1、2、3、5、7、10、15、20、25、30年。当得到了关键利率持续期后，其他利率持续期可以用线性回归估计得到。2、关键利率持续期（KeyRateDuration）——18例题有三个关键利率，期限分别为2年、16年、30年。由于关键利率持续期就是零息债券的持续期，而零息债券的期限就是关键利率的期限。有两个组合，如表4-14所示。组合2年债券16年债券30年债券A50050B01000D2=2;D16=16;D30=30例题有三个关键利率，期限分别为2年、16年、30年。由于关键19则组合A的关键利率持续期D2=(50/100)×2=1D16=0D30=(50/100)×30=15DA=1+15=16而组合B的关键利率持续期D2=0D16=(100/100)×16=16D30=0DB=16则组合A的关键利率持续期而组合B的关键利率持续期20当市场利率水平移动的时候，组合A和组合B没有什么区别。全部即期利率下降10基点组合A2年关键利率下降10个基点，组合价值上升0.1%30年关键利率下降10个基点，组合价值上升1.5%总共上升1.6%，这与使用有效持续期（Deffective=16）来计算的结果相同组合B16年关键利率下降10个基点，组合价值上升1.6%总共上升1.6%，与这与使用有效持续期（Deffective=16）来计算的结果相同当市场利率水平移动的时候，组合A和组合B没有什么区别。全部即21当市场利率不是水平移动的时候，组合A和组合B就会产生很大的区别。2年即期利率上升10个基点，30年即期利率下降10个基点组合A2年关键利率上升10个基点，组合价值下降0.1%30年即期利率下降10个基点，组合价值上升1.5%总共上升1.4%，这与使用有效持续期（Deffective=16）计算出来的结果不同组合B没有变化!当市场利率不是水平移动的时候，组合A和组合B就会产生很大的区222年即期利率下降10个基点，30即期利率上升10个基点组合A2年即期利率下降10个基点，组合价值上升0.1%30年即期利率上升10个基点，组合价值下降1.5%总共下降1.4%，与使用有效持续期（Deffective=16）计算出来的结果不同组合B没有变化!2年即期利率下降10个基点，30即期利率上升10个基点23六、债券组合的持续期组合持续期是单个债券持续期的加权总和（金额）或加权平均（有效等）注意：如果债券间的到期收益率不同，这意味着组合中每个债券的持续期计算所依据的到期收益率是不同的。六、债券组合的持续期组合持续期是单个债券持续期的加权总和（金24例题：由两个债券构成构成的组合，P(1)=$8,000，DM(1)=4.3；P(2)=$12,000，DM(2)=3.6Dportfolio=(8/20)(4.3)+(12/20)(3.6)=3.88例题：由两个债券构成构成的组合，P(1)=$8,0025补充2：凸性凸性的定义与特征凸性的计算补充2：凸性凸性的定义与特征26凸性的定义与特征凸性衡量的是收益率-价格曲线弯曲的程度。非含权证券都有正的凸性正的凸性是受欢迎的，会给投资者带来额外的利益。凸性会随着到期收益率的增加而降低。凸性的定义与特征凸性衡量的是收益率-价格曲线弯曲的程度。27凸性的几何解释正凸性负凸性凸性的几何解释正凸性28凸性的计算（一）金额凸性(经济含义?)凸性——是债券价格变化曲线的曲度，也就是说，凸性是利率一个微小的变化而引起的债券持续期的变化比率。金额凸性——是指利率一个微小的变化而引起的债券价格的额外变化，这一额外变化是基于持续期引起债券价格变化之上的。凸性的计算（一）金额凸性(经济含义?)29补充-持续期ppt课件30（二）比率凸性（三）修正凸性（二）比率凸性（三）修正凸性31（四）有效凸性（四）有效凸性32有效凸性的几何意义P+为利率上升△时的价格，P-为利率下降△时的价格，P++P--2P0为弯度，但却是由于2△引起的，利率发生一个单位△的变化，引起的弯曲程度为（1/2）×（P++P--2P0）。实际上，根据泰勒扩展公式，由凸性引起的债券价格波动为，而可以理解为利率发生变化引起持续期发生怎样的变化。在利率分别为y0-(1/2)△和y0+(1/2)△时，;在y0一点，凸性。这样，我们就可以理解有效凸性的来历了。有效凸性的几何意义P+为利率上升△时的价格，P-为利率下降△33例题一个债券的期限为20年，票面利率为9%，1年支付1次利息，该债券属于非含权债券。该债券的价格为134.67元，到期收益率为6%。在到期收益率分别上升或下降20个基点的情况下，债券价格分别为131.84元和137.59元。请计算该债券的有效持续期。例题一个债券的期限为20年，票面利率为9%，1年支付1次利息34yield=6%,V0=134.67,yield=6.2%,V+=131.84,yield=5.8%,V-=137.59

yield=6%,V0=134.67,35当yield6%增加到8%当yield6%增加到8%36补充3：持续期与凸性在风险管理中的应用持续期与平衡点免疫避险持续期与凸性在投资组合风险管理中的应用补充3：持续期与凸性在风险管理中的应用持续期与平衡点37（一）持续期与平衡点平衡点——指债券投资者面临的价格风险与再投资收益率风险刚好相等，因而投资者所获得的收益基本稳定，而不管利率如何变化。（一）持续期与平衡点平衡点——指债券投资者面临的价格风险与再38例题你在0时点上购买票面利率7%的债券，价值$1000。该债券期限10年，一年支付利息一次。你的投资期为7.5年。该债券持续期为7.5年。在时点7.5,你累积的财富将大致相等,而不管在0时点市场利率发生了怎样的变化.例题你在0时点上购买票面利率7%的债券，价值$1000。39时间t（期数）到期收益率折现因子现金流量现值t倍现值17%0.93467065.465.427%0.87347061.1122.337%0.81637057.1171.447%0.76297053.4213.657%0.71307049.9249.567%0.66637046.6279.977%0.62277043.6305.187%0.58207040.7325.997%0.54397038.1342.7107%0.50831070543.9543.931000.00价格1000.00751.52比率持续期7.51时间t到期折现现金现值t倍17%0.93467065.46540如果在零时点利率为7%:如果在债券购买(零时点)后利率立即降到4%：如果在零时点利率为7%:如果在债券购买(零时点)后利率立即降41如果在债券购买(零时点)后利率立即上升到10%：问题：为什么投资者在投资期末的时候，累积的财富基本相等呢？如果在债券购买(零时点)后利率立即上升到10%：问题：为什么42主要原因在于投资者面临的价格风险被再投资风险抵消。主要原因在于投资者面临的价格风险被再投资风险抵消。43二、免疫免疫的目标是让来自投资组合的收益满足负债的支付,而在投资后不必再增加额外资本.简单地,免疫就是使资产和负债的现金流量相吻合(“cashmatching”)在债券投资理论中，免疫就是通过让资产的持续期与负债的持续期相等，以确保权益资本价值的稳定。二、免疫免疫的目标是让来自投资组合的收益满足负债的支付,而在44谁来应用退休基金、寿险公司、商业银行注意：退休基金、寿险公司、商业银行要进行免疫，但不是说这些机构始终都要免疫。免疫是为了预防某种不利情况的发生。如果能够预测到未来利率的变化趋势，这时不需要免疫，而需要积极的主动投资策略，从而实现更大的收益；如果能够判断利率变化，但不知道利率往什么方向变，那就需要进行免疫；如果一个机构什么都不知道，最好的办法就是采取被动的投资策略，持有债券到偿还期。谁来应用退休基金、寿险公司、商业银行45免疫步骤(1)找到负债的持续期；(2)选择一个组合，该组合持续期等于前面负债的持续期；(3)选择每个证券投资的数量，使得组合的现值等于负债的现值；(4)当市场利率发生变化，或者负债偿还，组合中短期债券到期等情况发生后，要调整投资组合。注意：投资者可以从修正持续期、比率持续期、金额持续期出发，来寻找免疫的策略，但无论利用哪种持续期，资产与负债持续期的定义要保持一致！免疫步骤(1)找到负债的持续期；46例题1:单一负债的免疫假定你10年后必须偿还$1931,到期收益率是水平的,为10%.负债的现值=负债的持续期=10years20年期债券,面值$1000,票面利率7%(一年支付),价格$745,持续期大约为10年.投资者可以选择这一债券实现负债的免疫。因为当利率发生变化后，这一债券的价值可以足够满足负债的价值。换句话说，投资者可以随时卖掉手里的债券，偿还负债。例题1:单一负债的免疫假定你10年后必须偿还$1931,到47市场利率变化对债券和投资者负债的影响，如下表所示：如果到期收益曲线在投资后立即发生变化:YieldBondValueLiabilityValue4%$1409$13056%111510788%902895_________________________________10%745745_________________________________12%62762214%53652116%466438市场利率变化对债券和投资者负债的影响，如下表所示：如果到期收48现在假定利率不是一次性的变化,而是:a)利率立即降到4%,并一直保持9年.b)在9.5年后利率涨到16%.你可以看到,组合与负债不能很好匹配了.这能证明免疫这种策略不行吗?当然不能!一旦市场利率发生变化,组合就得重新免疫.现在假定利率不是一次性的变化,而是:49在利率变化后,债券价格与持续期为为了再免疫:出售债券买新债券或者债券组合,其持续期为10年在利率变化后,债券价格与持续期为50用债券组合免疫一组负债目标:找到最高到期收益率的债券组合来免疫一组已知负债投资组合的修正持续期和现值,必须与负债的修正持续期和现值相匹配用债券组合免疫一组负债目标:找到最高到期收益率的债券组合来免51例题2：免疫一组负债负债:1year$1002years$2003years$50【第一步】根据当期市场中债券的到期收益率计算出负债的现值和持续期，从而得到免疫曲线（immunizationcurve）。如下表所示：例题2：免疫一组负债负债:52IRRPV持续期修正持续期6%$314.321.8331.7297%$308.961.8301.7108%$303.751.8261.6919%$298.691.8221.67210%$293.761.8181.653IRRPV持续期修正53【第二步】分析哪些债券可以用来构建组合,对于每一种债券,都计算出到期收益率和持续期：利率期限IRR持续期修正持续期81101.416.5%10.9396.72100.736.3%1.9371.82295107.347.2%4.2683.9818.58102.878.0%6.14755.692价值（面值100）（%）（年）【第二步】分析哪些债券可以用来构建组合,对于每一种债券,都计54第三步:将债券和免疫曲线画出

(修正持续期vs.到期收益率).第三步:将债券和免疫曲线画出

(修正持续期vs.到期收55本图可以告诉我们哪种债券组合可以产生最大的IRR.在本例中,1年期债券与8年期债券的组合或许会产生最高的到期收益率.也可以采用其他组合.你建议哪个组合?剩下的事情是决定每种债券投资的数量,使得:

(1)组合的现值等于负债的现值.(2)组合的持续期等于负债的持续期.本图可以告诉我们哪种债券组合可以产生最大的IRR.在本例中56根据已知的到期收益率,负债修正持续期大约为1.7年.1年期和8年期债券的组合权重为:X(0.939)+(1–X)(5.692)=1.7得：X=0.84这意味着84%投资于1年期债券,而16%投资于8年期债券.根据已知的到期收益率,负债修正持续期大约为1.7年.1年期57例题3我们假设1年期债券的票面利率为6%,每年支付一次;4年期债券的票面利率为8%,每年支付一次.即期利率（折现率为10%）。投资者负债是5年期分期付款，每年支付100。如何免疫负债?例题3我们假设1年期债券的票面利率为6%,每年支付一次;4年58解：首先计算负债的金额持续期：timecashflowdiscoutf.PVt*PV 0 0 1 0 01 100 0.909190.91 90.91 2 100 0.826482.64 165.29 3 100 0.751375.13 225.39 4 100 0.68368.3 237.21 5 100 0.620962.09 310.46 Total 379.07 1029.26

解：首先计算负债的金额持续期：timecashflow591年期债券的持续期timecashflowdiscoutf.PVt*PV 0 0 1 00 1 106 0.9091 96.36 96.36 1年期债券的持续期604年期债券的持续期timecashflowdiscoutf.PVt*PV 0 0 100 1 8 0.9091 7.277.27 2 8 0.8264 6.6113.22 3 8 0.7513 6.0118.03 4 108 0.6830 73.77295.58 total 93.66334.1 4年期债券的持续期61负债的现值为$379.07，所以$111.21投资于1年期债券,$267.86投资于4年期债券.负债的现值为$379.07，所以$111.21投资于1年期债62三、避险（一）避险（Hedging）——是指利用一种证券给另外一种证券的价格变化提供保护。在债券市场中，有些证券的流动性较差，或者由于各种各样的原因，投资者不想出售这种证券。而他又担心这种证券价格下降，给他带来损失。怎么办？投资者有一种办法，是卖空市场中流动性较高的另外一种债券。如果市场利率上升，债券价格下降。投资者持有的那种债券价格下降了，他当然遭受了损失。但他卖空另外一种债券会给他带来收益。这样一来，投资者的总体收益就得到了保证。三、避险（一）避险（Hedging）——是指利用一种证券给另63（二）利用持续期避险【例题4】做市商的资产组合的避险一公司债券做市商在某交易日末尾拥有5年期公司债券面值100万元，票面利率6.9%（半年支付），价格为平价。该债券流动性很差，因此出售该债券会遭受很大的损失。而隔夜持有该债券也有很大风险，因为如果市场利率上升，该债券价格会下降。替代出售该公司债券的做法有不少，其中之一是卖空流动性很强的国债。（二）利用持续期避险【例题4】做市商的资产组合的避险64市场中有下面债券:10年期，利率8%的国债，价格P=$1,109.0（面值$1,000）3年期，利率6.3%的国债，价格P=$1,008.1（面值$1,000）a.为了避险，应该卖空多少10年期国债？如果卖空3年期国债，卖空多少？b.如果所有债券到期收益率一夜之间上升1%，该做市商在了解自己的卖空头寸之后，自己的交易结果如何？c.如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少？市场中有下面债券:65为了回答(a):1.找到被避险债券的修正持续期2.找到卖空债券的修正持续期3.找到避险系数（hedgeratios）对于5年期公司债券而言，票面利率6.9%,平价交易,因此y=6.9%，修正持续期Dm=4.1688；对于10年期国债而言，票面利率8%,价格1109.0,y=6.5%，修正持续期Dm=7.005对于3年期国债而言,票面利率6.3%,价格1008.1,y=6.00%，修正持续期Dm=2.70010年期国债卖空数量x,则:x(7.005)=1000000×(4.1688).x=593,861.53年期国债卖空数量y,则:y(2.7)=1000000×(4.1688).y=1,540,720为了回答(a):66(b):如果全部债券的到期收益率一夜之间都上升了1%,看一看做市商了解卖空头寸后的交易结果：5年期公司债券yield=7.9%,=>P=$959.344（面值$1000）.多头损失=$1mm(1-0.959344)=$40,65610年期国债yield=7.5%=>P=1034.74（面值$1000）.相当于原来价格的93.3%，因为1034.74/1109=0.933.(1-0.933)×593,861.5=$39,765.7(赢利).3年期债券yield=7%=>P=981.35（面值$1000）.相当于原来价格的97.346%，因为981.35/1,008.1=0.97346.(1-0.97346)×1,540,720=$40,891(赢利.)(b):如果全部债券的到期收益率一夜之间都上升了1%,67c.如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少？为了避险,被避险公司债券的价值应该等于避险债券价值,而且资产和负债的持续期应该相等:x(7.005)+(1-x)(2.7)=4.1688x=34.12%;1-x=65.78%就是说，10年期国债卖空的比重为34.12%，价值为34.12万元；3年期国债卖空的比重为65.78%，价值为65.78万元。c.如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空68四、持续期与凸性在投资组合风险管理中的应用其他因素都一样,凸性被认为是好的,对投资者是有价值的.如何获得?Barbellsvs.BulletsBulletpayment=一次性支付Barbellpayments=现金流量两头分布给定到期收益率和修正持续期,票面利率越低,凸性越小.与此相关,bullets的凸性比barbells来得小这导致一种投资策略,即在其他因素都相同的情况下,选择barbells要优于bullets.四、持续期与凸性在投资组合风险管理中的应用其他因素都一样,凸69例题:Bullet与Barbell策略有以下国债,均为平价交易:债券票面利率偿还期收益率修正持续期修正凸性

BondCoupon(%)Maturity(yrs)YieldsDmΓmA8.558.54.0019.81B9.5209.58.88124.2C9.25109.256.4355.45例题:Bullet与Barbell策略有以下国债,均70

两种国债组合策略:

(a)只投资于C(bulletstrategy)(b)投资于A和B,组合的持续期等于C.也就是A投资50.2%,B投资49.8%,因为:0.502(4.00)+0.498(8.88)=6.43

两种国债组合策略:

(a)只投资于C(bullet71组合经理期望在市场利率变化后,barbell表现得好一些.所以该经理或许愿意舍弃一点收益率,而获得较高的凸性.因此,bullet的到期收益率为9.25%.假定barbell的到期收益率是两个债券的加权平均,因此barbell的到期收益率为:0.502(8.5%)+0.498(9.5%)=8.998%在本例中,该经理为获得凸性已经舍弃了一些收益率.注意：债券组合的到期收益率一般不等于债券到期收益率的加权平均，但在证券到期收益率差别不大的情况下，用组合现金流计算得到的到期收益率与用加权平均方法计算的到期收益率不会有太大的差别。组合经理期望在市场利率变化后,barbell表现得好一些.72表：Bullet与Barbell策略的比较利率波动水平移动变平缓变陡%yieldch.levelshiftflatteningSteepening-5.0-7.19-10.69-3.89-4.0-4.00-6.88-1.27-3.5-2.82-5.44-0.35-2.0-0.59-2.551.25-1.00.06-1.541.570.00.25-1.061.482.0-0.31-1.180.492.75-0.73-1.46-0.053.00-0.88-1.58-0.243.75-1.39-1.98-0.85表：Bullet与Barbell策略的比较利率波动73Flattening意思是5年期到期收益率比水平移动多涨25个基点,而20年期到期收益率比水平移动少涨25个基点Steepening意思是5年期到期收益率比水平移动少涨25个基点,而20年期到期收益率比水平移动多涨25个基点上表说明的是在6个月的持有期间,bullet收益金额减去barbell收益金额后的结果。如果为负数，说明bullet策略较差；如果为正数，则说明bullet策略较好。注意barbell策略不是永远好于bullet,为什么?Flattening意思是5年期到期收益率比水平移动多涨274图：Bullet与Barbell策略的比较图：Bullet与Barbell策略的比较75Barbell策略在一般情况下要好于Bullet，因为Barbell策略更能够获得凸性利益。但Barbell策略不是永远好于Bullet，在利率变化比较小而且到期收益率曲线变陡的情况下，Barbell策略会更好些。因为凸性越大，时间效应越低。注意：债券的凸性与时间效应是一对矛盾。当债券的凸性效应高时，时间效应就比较差。而当凸性效应较差时，时间效应就比较好。因此，不能简单讲，凸性越大越好。Barbell策略在一般情况下要好于Bullet，因为B76凸性的引入与利率风险回避例如，有这样两种债券A、B。

偿还期票面利率 价格到期收益率金额持续期比率持续期金额凸性投资额 面值额

A10 10%1026.859.6%6935.96.7512520745.21 44.03B1 10%1013.768.5%1013.81.0 101419.37 19.11

组合 64.58

凸性的引入与利率风险回避例如，有这样两种债券A、B。77投资者有100万元的负债，5年后到期，可以计算出这笔负债的现价为64.58。负债的持续期为5。投资者用A、B两种债券进行避险，那么

因此，A债券投资45.21万元，B债券投资19.37万元。那么A债券购买面值为44.03万元，B债券购买面值19.11万元。投资者有100万元的负债，5年后到期，可以计算出这笔负债的现78组合的价值与负债的价值相等，组合持续期与负债的持续期也相。那么能否实现避险呢？

当到期收益率