【压轴必考】2023学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）二次函数中的定值与定点问题（解析版）

二次函数中的定值与定点问题类型一、定值问题例1．已知抛物线与x轴交于和B两点．(1)求出该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；(2)若，对于该抛物线上的任意两点，当时，总有．①求该抛物线的函数解析式；②若直线与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：mn为定值．【答案】(1)；(2)①；②见解析【解析】(1)解：∵抛物线与x轴交于，，，该抛物线的对称轴为，即．(2)，∴或．对于该抛物线上的任意两点，当时，总有，∴当时，y随x的增大而增大，∴．.又，．该抛物线的解析式为．该抛物线的解析式为．∵直线与抛物线交于P，Q两点，∴可设．，设直线AP的解析式为，由题意得，解得，直线AP的解析式为，令，则，∴；同理可得，直线AQ的解析式为，．∴．联立，得．∴，．例2.如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为，直线（）分别交抛物线于点，（点在点的左边），直线分别交轴、轴于点，，交抛物线轴右侧部分于点，交于点，且．(1)求抛物线及直线的函数表达式；(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点的坐标及面积的最大值；(3)求的值．【答案】(1)；；(2)点的坐标为时，面积有最大值为；(3)2【解析】(1)解：∵，，∵抛物线的对称轴为，∴，∴，∴抛物线的函数表达式为：，∵，∴，又∵，∴，∴，∴直线的函数表达式为．(2)过点作轴交于点，如图所示：联立，解得，，∴点的横坐标为，设点，则点，∴当时，即点的坐标为时，面积有最大值为．(3)分别过点A，，作，，垂直轴于点，，，设点，，则，，联立得，∴，，联立得，即，∵轴，轴，轴，∴，∴．【变式训练1】已知抛物线与x轴的两个交点为A，B（点B在点A的右侧），且，与y轴交点为C．(1)求该抛物线所对应的函数表达式；(2)若点M是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点M到直线的距离的最大值；(3)设直线（）与抛物线交于P，Q两点（点Ｑ在点P的右侧），与直线交于点R．试证明：无论k取任何正数，恒成立．【答案】(1)；(2)；(3)见解析【解析】(1)解：对称轴又抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），且，∴，∴，即，∴函数表达式为：；(2)解：设直线的函数表达式为，∵，在直线上，∴，解得，∴直线的函数表达式为；法1：如图1，过点M作轴于点E，交于点D，依题意，设，则点，设点M到的距离为d，∵轴，∴，则，即，则当时，．法2：如图1，过点M作轴于点E，交于点D，依题意，设，设，则点，设点M到的距离为d，连结，，，又，则，∴，当时，．法3：如图2，过点M作直线，当直线l与抛物线只有一个公共点时，点M到直线的距离最大．设直线l解析式为：，联立方程，得，由，得，∴此时直线l：，则直线l与y轴交点，∴，又，∴，即，即，∴；(3)如图3，设点，点，联立方程，得，则，，联立方程，∴，法1：∴，，，∴，又，，∴无论k取何正数，成立；法2：如图4，过P，Q，R分别作轴于F，轴于G，轴于H，由，则，可设，则，，，则，又，即，∴无论k取何正数，成立．【变式训练2】如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，(1)直接写出点B的坐标（_____，_____）和直线BC的解析式_______；(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的横坐标；(3)如图2，直线，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为、，求证：的值为定值．【答案】(1)4，0，；(2)或或；；(3)证明见解析【解析】(1)解：对抛物线与来说，当y＝0时，，解得，由图像可知，点B的横坐标大于0，∴点B的坐标是（4，0），点A的坐标是（﹣1，0）当x＝0时，得y＝﹣2，即点C的坐标是（0，﹣2），设直线BC的表达式是y＝kx＋b，将B、C两点坐标代入，得解得∴直线BC的解析式为，故答案为：4，0；(2)解：由题意和（1）可知，抛物线的对称轴为，设点D的坐标为（，），当四边形CBED是平行四边形时，CBDE且CB＝DE，则点C（0，﹣2）向右平移4个单位，向上平移2个单位到点B（4，0），∴点D向右平移4个单位，向上平移2个单位到点E，∴点E坐标是（+4，+2）即（，+2）∵点E在抛物线上，∴+2＝，∴＝∴点E坐标是（，），即点E的横坐标是；当四边形CBDE是平行四边形时，CBED且CB＝ED，则点B（4，0）向左平移4个单位，向下平移2个单位到点C（0，﹣2），∴点D向左平移4个单位，向下平移2个单位到点E，∴点E坐标是（－4，－2）即（﹣，－2）∵点E在抛物线上，∴－2＝，∴＝∴点E坐标是（﹣，），即点E的横坐标是﹣；当四边形CEBD是平行四边形时，BC是对角线时，DBCE且DB＝CE，则点D（，）向左平移个单位到，向下平移（+2）个单位，到点C（0，﹣2），∴点B（4，0）向左平移个单位到，向下平移（+2）个单位，到点E（，），∴点E的横坐标是∵点E在抛物线上，∴＝，∴点E的坐标是（，﹣）即点E的横坐标是；综上所述，点E的横坐标是或或；(3)解：由（1）知，直线BC的解析式为，点A的坐标是（﹣1，0）设直线l的表达式为，联立得方程组得设点M的坐标是（，），点N的坐标是（，）由一元二次方程根与系数关系得＋＝4，＝﹣4，∵点M、N在直线l上，∴，设直线AM的解析式为，把点A、点M坐标坐标代入，并联立得，解得即直线AM的表达式y＝x+，令x＝0，得y＝，即＝同理，设直线AN的解析式为，把点A、点N坐标坐标代入，并联立得得，即直线即直线AN的表达式y＝x+令x＝0，得y＝，即＝故＋＝＋＝∵＋＝4，＝﹣4，∴＋＝，即＋＝-2，∴＋为定值．【变式训练3】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）．（1）若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为线段AB上的两个点，MN＝2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明是否为一个定值．【答案】（1）；（2），，2,0；（3）见解析【详解】（1）根据题意，设，将代入，即，解得抛物线的解析式（2）由y＝﹣x+4，令，则，令，则设与轴交于点,则，是等腰直角三角形，则①当，则,设，则，，则，在线段上，，即又点在上，即，解得（舍）此时点与点重合，点与点重合，如图，则,②当，同理,设，则，其中又点在上，即，解得（舍）则此时点与点重合，点与点重合，如图，则③当时，如图，由，解得，，是等腰直角三角形，,轴设，则，其中又点在上，即，解得的横坐标为，，综上所述的横坐标为，，2,0（3）设直线PC：y＝mx+n，则，直线，则，直线的解析式为由y＝ax2+bx+c，令，则，即，即，，，即联立抛物线y＝ax2+bx+c，，即：则，，同理可得：，，+=，，，同理可得：，即，，【变式训练4】如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点（在左边），交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线上一动点，，求点的坐标；（3）如图2，交抛物线于两点（不与重合），直线分别交轴于点，点，试求此时是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在点D；（3）是，7【详解】（1）将代入，得（2）取作轴于，，在和中，，∴，，∴，，，∴，∴，而，，∴，∴∵，∴重合，∴此时不存在，∴无解；（3），设，，，，∴：，同理：：∴【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：①求二次函数的表达式；②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．【答案】（1）①y＝x2﹣8x+12；②线段MQ的最大值为9．（2）m+n的值为定值．m+n＝6．【详解】（1）①由题意，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），∵B（6，0），C（0，12），∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，∵MQ⊥x轴，∴Q（m，﹣2m+12），∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．（2）结论：m+n的值为定值．理由：如图2中，将B（6，0）代入二次函数解析式中，得，解得：∴二次函数解析式为∴C（0，﹣36﹣6b），设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，把（6，0）代入得到：k＝6+b，∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，∵MN∥CB，∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，∴x1+x2＝6，∵点M、N的横坐标为m、n，∴m+n＝6．∴m+n为定值，m+n＝6．类型二、定点问题例．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．(1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为；(2)或；(3)是，【解析】(1)根据题意，得，整理得到，解方程，得，当x=-3时，y=-9；当x=1时，y=-1；∵点在点的左侧，∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）．(2)∵A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，），当k＞0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；当k＜0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；综上所述，k的值为或．(3)直线A一定过定点（0，3）．理由如下：∵A，B是抛物线图像上的点，∴设A（m，），B（n，），则（-n，），根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，故直线A一定过定点（0，3）．【变式训练1】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）（﹣6，10）；（3）见解析，定点坐标为（，﹣）【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，得，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）延长DC交x轴于点M，∵∠DCA＝2∠CAB，∴∠CAB＝∠CMA，∴CA＝CM，过点C作CQ⊥AM于点Q，则QM＝AQ＝8，∴点M坐标为（14，0），设直线DM的解析式为，将，代入得，解得直线DM的解析式为：y＝x+7，令y＝x+7＝x2﹣x﹣2；解得x＝﹣6或6，x＝﹣6，y＝×（﹣6）+7＝10，∴点D坐标为（﹣6，10）；（3）设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点代入，解得b＝4﹣6k，故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4，则点M（0，﹣6k+4），x2﹣x﹣2＝kx﹣6k+4，整理得x2﹣（+k）x+6k﹣6＝0，∴xC+xE＝2+4k，∴xE＝4k﹣4①，同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4，则点N（0，﹣6t+4），即xF＝4t﹣4②，由x2﹣x﹣2＝mx+n，整理得x2﹣（+m）x﹣2﹣n＝0，∴xE+xF＝4m+2③，xE•xF＝﹣8﹣4n④，将①②代入③④，得，又OM•ON＝3，∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3，∴n＝m﹣，∴y＝mx+n＝mx+m﹣＝m（x+）﹣，当x＝时，y＝﹣，∴直线EF经过定点且定点坐标为（，﹣）．【变式训练2】已知抛物线经过点，与轴交于，两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大