广东省广州市天秀中学高三数学文测试题含解析

广东省广州市天秀中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在R上可导，且满足，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．【解答】解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；∴==；∴；∴=；∴时，t取最小值．故选：C．3.设集合，则＝（

）A．

B．

C．

D．R参考答案：B4.设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是（）

A．1

B.-1

C.2

D.-2参考答案：A略5.等于(

)A．0 B．2sin1 C．2cos1 D．2参考答案：D【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】找出被积函数的原函数，计算定积分．【解答】解：=（x3+cosx）|=1+cos1+1﹣cos1=2；故选D．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数．6.参考答案：B略7.等差数列{an}中，a2=8，前6项和和S6=66，设，Tn=b1+b2+…+bn，则Tn=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列通项公式与求和公式可得an，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=8，S6=66，∴a1+d=8，6a1+d=66，解得a1=6，d=2．∴an=6+2（n﹣1）=2n+4．设==，Tn=b1+b2+…+bn=+…+=．故选：D．8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=(

) A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B考点：余弦定理；正弦定理．分析：由b2+c2+bc﹣a2=0，利用余弦定理可得cosA==﹣，A=120°．再利用正弦定理可得==，化简即可得出．解答： 解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知点的坐标满足，点的坐标为，点为坐标原点，则的最小值是A． B． C． D．参考答案：D10.在区间上随机取一个，则的值在到之间的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：几何概型，，答案A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为

参考答案：12.将一颗骰子向上抛掷两次，所得的点数分别为m和n，则n≤2m的概率是

。参考答案：13.已知

。参考答案：答案：-214.如图，已知，，，则圆的半径OC的长为．参考答案：略15.已知展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为

参考答案：答案：16.已知函数f（x）=|cosx|?sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；

②f（x）的一条对称轴为x=；③f（x）的最小正周期为π；

④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是

．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先化简函数解析式，根据函数的奇偶性判断①；根据诱导公式化简f（π﹣x）后，得到与f（x）的关系可判断②；根据函数周期性的定义判断③；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断④；根据诱导公式化简f（﹣π﹣x）后，得到与﹣f（x）的关系可判断⑤．【解答】解：函数f（x）=|cosx|?sinx=（k∈Z），①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|?sin（﹣x）=﹣|cosx|?sinx=﹣f（x），则f（x）是奇函数，①正确；②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|?sin（π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x），∴f（x）的一条对称轴为x=，②正确；③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|?sin（π+x）=|﹣cosx|?（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|?sinx=sin2x，且2x∈[，]，∴f（x）在区间[﹣，]上单调递增，④正确；⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|?sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x）≠﹣f（x），∴f（x）的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，⑤不正确；故答案为：①②④．17.已知实数满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为 .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，，.（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）求异面直线B1C与A1B所成角的大小；（3）点M在线段B1C上，且，点N在线段A1B上，若MN∥平面A1ACC1，求的值（用含的代数式表示）.参考答案：（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据三棱柱的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）由（1）得到，建立空间直角坐标系，求得向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由，得，设，得，求得向量的坐标，结合平面，利用，即可求解.【详解】（1）在三棱柱中，由平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，交线为.又因为，所以，所以平面.因为平面，所以又因为，所以，又，所以平面.（2）由（1）知底面，，如图建立空间直角坐标系，由题意得，，，.所以，.所以.故异面直线与所成角的大小为.（3）易知平面的一个法向量，由，得.设，得，则因为平面，所以，即，解得，所以.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，如何可使得三角形地块APQ面积最大？（2）已知竹篱笆长为50米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若AP≥AQ，求围墙总造价的取值范围．参考答案：【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）设AP=x米，则AQ=200﹣x，△APQ的面积S=x（200﹣x）sin120°，利用基本不等式，可得结论；（2）围墙总造价y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP，即可得出结论．【解答】解：（1）设AP=x（米），则AQ=200﹣x，所以三角形地块APQ面积S=x（200﹣x）sin120°≤2500（米2）当且仅当x=200﹣x时，取等号．即AP=AQ=100（米），三角形地块APQ面积最大为2500（米2）（2）由正弦定理AP=100sin∠AQP，AQ=100sin∠APQ．故围墙总造价y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP因为AP≥AQ，所以≤∠AQP＜，∴＜cos∠AQP≤所以围墙总造价的取值范围为（5000，15000]（元）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，正弦定理的运用，属于中档题．20.已知点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，且函数的图像经过点．（1）求函数的解析式；（2）在中，角的对边分别为，且，求的取值范围．参考答案：.(I)由题意知,，又

且，

从而

……6分（II）即

由，得,从而取值范围为

…12分略21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=ac，且b=c．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=1+cos（2x+B）﹣cos2x，求函数f（x）的单调递增区间．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数的最值．【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）利用余弦定理可得B，再利用正弦定理即可得出；（2）利用倍角公式、和差公式可得f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，因为，所以．…在△ABC中，因为，由正弦定理可得，所以，，，故…（2）由（1）得===…令，得即函数f（x）的单调递增区间为…【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性即，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=xlnx﹣ex+1（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得f（1）与f′（1）的值，代入直线方程的点斜式可得切线方程；（Ⅱ）要证f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立，即xlnx﹣ex+1﹣sinx＜0在（0，+∞）恒成立，也就是证xlnx＜ex+sinx﹣1在（0，+∞）上恒成立，然后分0＜x≤1与x＞1证明，当0＜x≤1时成立，当x＞1时，令g（x）=ex+sinx﹣1﹣xlnx，然后两次求导即可证明f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=lnx+1﹣ex，f（1）=1﹣e，f′（1）=1﹣e，故切线方程是：y﹣1+e=（1﹣e）（x﹣1），即（1﹣e）x﹣y=0；（Ⅱ）证明：要证f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立，即xlnx﹣ex+1﹣sinx＜0在（0，+∞）恒成立，也就是证xlnx＜ex+sinx﹣1在（0，+∞）上恒成立，当0＜x≤1时，ex+sinx﹣1＞0，xlnx≤0，故xlnx＜ex+sinx﹣1，也就是f（x）＜sinx；当x＞1时，令g（x）=ex+sinx﹣1﹣xlnx，g′（x）=ex+c