2021中考数学专题05 瓜豆原理中最值问题

2021中考数学专题05瓜豆原理中最值问题专题：瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题动点轨迹问题是中考的重要压轴点。由于学生解析几何知识和思维能力的限制，这个问题常常成为学生在中考中的难点，导致学生在中考中失分。掌握该问题的基本图形和解决问题的一般思路，是中考复习的重要途径。本文详细介绍了动点轨迹问题的基本图形，其基本类型为直线型和圆弧型。当动点轨迹为一条直线时，可以利用“垂线段最短”求最值。如果动点轨迹已确定，可以直接运用垂线段最短求最值。如果动点轨迹不易确定是直线时，可以通过以下三种方法进行确定：1.观察动点运动到特殊位置时，如中点、端点等位置时，是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变。若存在，则该动点的轨迹为直线。2.当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。3.当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。例如，图中的P是直线BC上的一个动点，连接AP，取AP的中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是一条直线。当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线。可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线。例如，图中的△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹。当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值时，P、Q轨迹是同一种图形。当确定轨迹是线段时，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）。结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）；P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）。练习题：1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为多少？解析：将F点看成是由点B向点A运动，作出G点轨迹。考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹。CG最小值即当CG⊥G1G2的时候取到，作CH⊥G1G2于点H，CH即为所求的最小值。根据模型可知：G1G2与AB夹角为60°，故G1G2⊥EG1。过点E作EF⊥CH于点F，则HF=G1E=1，CF=CE=√2，所以CH=√5/2，因此CG的最小值为√5/2。2、如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为多少？解析：由于△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AC=√2，BO=1，AP=PC=1。连接OM，由于P在AC上运动，所以OM⊥AC，且OM=1/2。当P运动到C时，Q运动到B，所以MQ=1/2，因此M经过的路线长为√2。3、如图，矩形ABCD中，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB=S△PCD，BC=6，AB=4，则PC+PD的最小值为多少？解析：由于S△PAB=S△PCD，所以PA/PC=PD/PB，即PA/PD=PC/PB。又因为ABCD是矩形，所以PB=AD-PC，PA=CD-PD，代入得(CD-PD)/(AD-PC)=PC/PB，化简得PD=(3/2)PC。又因为PC+PD=PC+(3/2)PC=5/2PC，所以PC+PD的最小值为4。4、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA。若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为多少？解析：由于PC=PA，所以△PAC是等腰三角形，所以∠PCA=∠PAC，又因为CD垂直于AB，所以∠PCA=∠ECD，所以△ECD与△PAC相似。设PE=x，则CE=6-x，ED=x，AC=6，所以PC/AC=ED/CE，即x/(6-x)=ED/CE，代入ED=x，CE=6-x，得x^2-6x+9=0，解得x=3。所以点E运动的路径长为3。5、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点。将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE。（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长。解析：（1）连接AC和BD，由于△ABC是等边三角形，所以AC=BC=4，∠ACB=60°，所以△ACB是等边三角形。设AD=x，则BD=6-x。在△ACD中，∠ACD=∠ECD=60°，所以△ACD与△ECD相似，所以ED/CD=AC/AD，即(4-x)/CD=4/x，解得x=2，所以AD=2，BD=4。在△BED中，∠EBD=∠ECD=60°，所以△BED是等边三角形，所以BE=BD=4，证毕。（2）连接CE，由于△ABC是等边三角形，所以CE=2。设CD=x，则DE=x，BE=4-x，AE=√(4-x)^2+2^2=√(x^2-8x+20)，所以(x^2-8x+20)取最小值时CD的长度最小。对(x^2-8x+20)求导得2x-8=0，解得x=4，所以CD的长度最小为4。2、等腰直角三角形ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，求点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长。解析：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，因为△ACB为等腰直角三角形，所以AC=BC=2，∠A=∠B=45°，因为O为AB的中点，所以OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，因为∠POQ=90°，∠COA=90°，所以∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中∵△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，所以PE=AP/2=CQ/2，QF=BQ/2，∴PE+QF=(AP+CQ)/2=BC/2=1，因为M点为PQ的中点，所以MH为梯形PEFQ的中位线，所以MH=(PE+QF)/2=1/2，即点M到AB的距离为1/2，而CO=1，所以点M的运动路线为△ABC的中位线，所以当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为1/2。所以答案为C。3、矩形ABCD中，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB=S△PCD，BC=6，AB=4，求PC+PD的最小值。解析：因为ABCD为矩形，所以AB=DC，又S△PAB=S△PCD，所以点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P在线段AD垂直平分线MN上，连接AC，交MN于点P，此时PC+PD的值最小，且PC+PD=AC=√(AB²+BC²)=√(4²+6²)=√52=2√13，所以PC+PD的最小值为2√13，即答案为213。4、在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA。若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为多少？解析：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，所以EE′=AC′=6，因为PC=PA，所以点P在线段AB的中点M处，所以ME′=MC′=3，所以点E运动的路径长为2×3=6。所以答案为6。题目：如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合），请证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长。解析：（1）补全图形如下，由于△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F，由于△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，在Rt△ACF中，CF=2AC+AF=4+2√3，∴CD=CF=27.知识精讲：确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:（1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。（2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆。例如，如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系。角平分线交于点D，点E在AB边上，且DE⊥AB，若点F在AC边上，且EF=2，求当F点在AC边上移动时，DE+DF的最小值．【分析】首先，根据题目条件可知，△ABC是等腰直角三角形，且AD为AB的中线，DE⊥AB，因此△ADE为等腰直角三角形，即DE=AE/√2=AB/2√2=1/√2．接下来，考虑点F在AC边上移动时，DE+DF的最小值．根据题目条件可知，EF=2，因此AE=AB-EF=2-2=0，即点A、E、F三点共线．因此，DE+DF=DE+AF=DE+AC-FC=1/√2+2-FC．因此，DE+DF的最小值即为FC的最大值．又因为AC对角线的角平分线经过点D，因此角ADC=60°，角ACD=30°．因此，△ACD是30°-60°-90°三角形，CD=AC/2=1，AD=AC√3/2=√3/2．由于EF=2，因此FC=AC-EF=AC-2．因此，DE+DF的最小值即为FC的最大值，即为AC-1/√2-2．由于AC=2√3，因此DE+DF的最小值为2√3-1/√2-2=2√3-√2-2．【精典例题】1、如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，点D为AB边上的动点，AD=4，点E在AC边上，且DE⊥AC，求当D点在AB边上移动时，DE+CE的最小值．【分析】首先，根据题目条件可知，△ABC是直角三角形，且AD为AB的中线，因此DE⊥AC，即△ADE为直角三角形，且AE=AC-AD=2．因此，DE=AE/2=1．接下来，考虑点D在AB边上移动时，DE+CE的最小值．根据题目条件可知，AC=6，因此CE=AC-DE=5．因此，DE+CE=1+5=6，即DE+CE的最小值为6．1、在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，O为AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，求MN的最小值和最大值之和。解析：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP-OF。因为AC=4，BC=3，所以AB=5。由于∠OPB=90°，所以OP∥AC。又因为点O是AB的三等分点，所以OB=8/3，OA=2/3。所以OP=5/3。因为⊙O与AC相切于点D，所以OD⊥AC，OD∥BC，所以ODOA=1/3。所以OD=1/3。所以MN最小值为OP-OF=8/5-1=3/5。当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值=10/3+1=13/3。所以MN长的最大值与最小值的和是6。2、在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到A'EF，则A'C的长的最小值是多少？解析：如图，连接AE，BE，CE，CF。则AE=1，BE=√5/2，CE=√13/2。因为A'EF与AEF全等，所以A'C=CE=√13/2。所以A'C的最小值为√13/2。所谓“瓜豆原理”，是指从动点的轨迹与主动点的轨迹相似，可以通过主、从动点与定点的连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比来确定从动点的轨迹。当主动点的轨迹是其他图形时，从动点的轨迹也是相应的图形。【精典例题】1、如图，在反比例函数y=-2/x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=k的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）。解析：根据瓜豆原理，当点A在反比例函数y=-2/x的图像上运动时，点C在直线y=k上运动。由于∠CAB为定值，因此tan∠CAB=2也是定值，可列出方程2=AC/AB=√(k^2+1)/√(1+4/x^2)，解得k=6。2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）。解析：由于点A在x轴上运动，因此可设点A的坐标为(x,0)，则点C的坐标为(0,4/x)，点B的坐标为(2x,0)。根据勾股定理，可列出B到原点的距离d=sqrt((2x)^2+4/x^2)，对d求导可得d'=4x^3/(x^4+1/4)，令d'=0，解得x=1/√2或x=-1/√2。由于x>0，因此最大距离为d=sqrt(8)。3、如图，在等边三角形ABC边长为23，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）。解析：由于等边三角形ABC，因此点C的坐标为(-23/2,-23sqrt(3)/2)，点O的坐标为(0,0)。设点A的坐标为(-x,0)，则点B的坐标为(0,23+xsqrt(3))，点C的坐标为(-23/2+x/2,-23sqrt(3)/2+(23+xsqrt(3))/2)=(x/2-xsqrt(3)/2-23/2,-23sqrt(3)/2+23/2+xsqrt(3)/2)，根据勾股定理，可列出OC的长度d=sqrt[(x/2-xsqrt(3)/2-23/2)^2+(-23sqrt(3)/2+23/2+xsqrt(3)/2)^2]，对d求导可得d'=(x-23sqrt(3))/(x^2+23xsqrt(3)-529)，令d'=0，解得x=23sqrt(3)，代入可得d=3。4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC=4，∠ABC=60°，则线段MN的最大值为（）。解析：将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，可得到三个全等三角形△ABC≌△B'CA，△A'BC≌△AC'B，△AB'C≌△A'CB，根据瓜豆原理，可知MN平行于AB，且MN=AB/2=2。1、在三角形ABC中，AB=5，AC=7，