(完整版)初中数学数与式总复习

(完整版)初中数学数与式总复习实数的组成实数可以分为有理数和无理数两类。有理数包括正整数、整数、正分数、负分数和有限小数或无限循环小数，可以表示为分数形式。无理数包括无限不循环小数，如π、最简根式、e等。数轴数轴是一条直线，规定了原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。相反数和绝对值实数的相反数是一对数，只有符号不同，叫做互为相反数，零的相反数是零。从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。倒数实数a(a≠0)的倒数是1/a，乘积为1的两个数，叫做互为倒数。零没有倒数。实数的运算实数可以进行加、减、乘、除、幂等运算。其中加法满足交换律、结合律和分配律，乘法满足交换律、结合律和分配律，除法满足除不尽的情况下可以化为分数形式，幂运算满足乘方的基本性质。知识点代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂。考查重点1.代数式的概念、值和分类。2.整式和单项式的概念，以及单项式的系数。3.同类项的概念，合并同类项的方法。4.幂的运算法则，包括正整数指数幂、零指数幂和负整数指数幂。5.整式的加减乘除乘方运算法则，以及乘法公式。代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。代数式的值是指用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p。求代数式的值可以直接代入计算，如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。代数式可以分为单项式、多项式和分式。单项式是由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。单独的一个数或字母也可以叫做单项式。例如，233a、-mn、abx、4x、9、a都是单项式。单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法（包括乘方）运算。单项式的系数是指单项式中的数字因数。例如，单项式2xy、-7xy2的系数分别是11、-7。当单项式系数是1或-1时，“1”通常省略不写，如ab就是1×ab，系数是1；-n就是-1×n，系数是-1。同类项是指含有相同字母并且各字母的指数分别相同的单项式。合并同类项的方法是将同类项的系数相加，字母部分不变。例如，将3a2b和-2a2b合并同类项，得到a2b。幂的运算法则包括正整数指数幂、零指数幂和负整数指数幂。正整数指数幂是指一个数的正整数次幂，例如2的3次幂等于8。零指数幂是指一个数的0次幂等于1，例如20=1。负整数指数幂是指一个数的负整数次幂等于这个数的倒数的正整数次幂，例如2的-3次幂等于1/(23)=1/8。整式是由单项式相加或相减得到的代数式。整式的加减乘除乘方运算法则和乘法公式需要根据实际情况进行运用。去括号与去括号法则是指将括号中的各项分别与括号外的项相乘，并将同类项合并。单项式的次数指的是单项式中所有字母的指数之和。例如4x的次数是1，3x2y3z的次数是2+3+1=6。在数学中，像3和-9这样的数字也可以被视为单项式。一个单项式的次数就是其中字母指数之和。例如，在a2b2中，a和b的指数和为4，所以a2b2是四次单项式。例1：指出下列各单项式的系数和次数：23a，223，πxy，-5ab，abc，37。需要注意的是，圆周率π是一个常数，当单项式中含有π时，π是单项式的系数。计算单项式的次数时，不要将π的指数加入其中。多项式是几个单项式的和，其中每个单项式被称为多项式的项。不含字母的项被称为常数项。例如3x2-2x+5是一个多项式，其中的项分别为3x2，-2x和5，其中5是常数项。多项式的次数是其中次数最高的项的次数。例如2y4-3x2+2的次数是3，即“2y4”的次数。一个多项式中含有几项，最高次数是几次，就被称为几次几项式。例如2y4-6y3+6被称为四次三项式。在多项式中，含有字母的项的次数是几次就被称为几次项。例如3a2b-2ab+b-5中，3a2b是三次项，-2ab是二次项，b是一次项，-5是常数项。单项式和多项式合称为整式。要判断一个式子是否为整式，需要注意以下几点：（1）分母不含字母；（2）根号内不含字母。要分析给出的单项式的系数和含有的字母及其指数。对于多项式，需要分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析。此外，还需要掌握多项式的降幂排列和升幂排列的方法。同类项指的是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项。同类项可以合并，例如ax+bx=(a+b)x，其中的x可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。整式的运算包括加减乘除，需要注意同类项的合并和降幂排列的处理。整式的基本运算和同类项的概念。根据题目所给的代数式a－b、a+b、a+b2、a2+b，对于任意的a、b，要求找到对应的代数式的值最大的那个。首先，需要使用整式的加减法和乘方法则，把每个代数式化简为最简形式。然后，根据同类项的概念，合并同类项，得到每个代数式的系数和字母的指数。最后，通过数学推导，可以得出对于任意的a、b，a+b2的值最大。因此，选项C为正确答案。例1中，给出了一个单项式2am+2nbn-2m+2和另一个单项式a5b7，要求求出它们是否为同类项，并求出nm的值。首先，需要使用同类项的定义，判断两个单项式是否为同类项。由于它们都含有a和b的幂次，因此它们是同类项。然后，根据同类项的概念，合并同类项，得到2am+a5b7+2nbn-2m+2。最后，根据题目所给的条件，列出方程组求解，得到m+2n=5和n-2m+2=7，解出nm的值为(1,3)。例2中，给出了一幢房屋的平面图，要求求出卫生间和厨房的面积和。首先，需要计算出卫生间和厨房的面积，分别为xy和2xy。然后，把它们相加，得到3xy。因此，选项B为正确答案。3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)这是一个关于立方的公式，可以用来化简一些复杂的算式。其中，a和b可以是任意实数。改写：立方公式为3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)，可用于简化复杂算式。其中，a和b为任意实数。2．因式分解的方法因式分解是将一个多项式表示为若干个简单的乘积的形式。常用的方法包括提公因式法、十字相乘法、分组分解法和求根公式法。改写：因式分解是将多项式表示为简单乘积的形式。常用方法有提公因式法、十字相乘法、分组分解法和求根公式法。3．分式的化简和求值分式的化简是将分式写成最简形式的过程，分式的求值是将分式中的变量用具体的数值代入后计算得到的结果。在解答有关习题时，要先化简后求值。改写：分式的化简是将其写成最简形式，求值是将变量代入后计算得到的结果。在解答有关习题时，先化简后求值。分式是由两个整式组成的形式，其中分母不为零。如果分子分母没有公因式，则称该分式为最简分式，否则需要进行约分化简。分式的基本性质包括乘除法的分式运算法则，以及加减法的通分运算法则。需要注意的是，分式的运算法则类似于分数的运算法则。另外，正整数幂的运算性质可以推广到整数指数幂。例4（1）中，当分式的值为零时，分子为零，因此解方程得到x=3。例4（2）中，根据分式的定义，分母不能为零，因此得到x≠2且x≠-1。例4（3）中，当x和y都扩大10倍时，分子和分母都扩大10倍，因此分式的值不变。例5中，需要进行分式的除法运算，即先求出分式的倒数，再与分子相乘得到结果。例6中，需要进行分式的除法和加法运算，先将分式化简为通分后再相加。例7中，根据条件得到a=4和b=9，代入原式得到结果为16/81。例8中，需要进行分式的通分和乘法运算，先将分式通分后再相乘得到结果。在应用中，可以利用因式分解和分式化简的方法来简化代数式和分式，从而更方便地进行运算。例2、有一道题“先化简，再求值：(小+2)/(2x+2x-4x-4)，其中x=-3。”玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？点评：化简可发现结果是(x-2)/(2x-4)，因此无论x=-3还是x=3其计算结果都是-1/2。可见现在的考试特别重视应用和理解。【回顾与思考】内容分析1.二次根式的概念：式子a(a≥0)叫做二次根式，被开方数只能是正数或0。2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。4.二次根式的性质：①非负二次根式的值非负；②二次根式相等的充要条件是被开方数相等。5.二次根式的运算：包括加减、乘法、除法。加减时先化为最简二次根式，再合并同类项；乘法时将各个因式的被开方数的积的算术平方根相乘；除法时先有理化分母，再约分或化简。【例题经典】理解二次根式的概念和性质例1：式子x/(2-x)有意义的x取值范围是x≤2且x≠2。例2：已知a为实数，化简-a^3-a^-1/a。要注意隐含条件a<0。【思考题】小明做了一道题，求(√3+1)/(√3-1)的值，他的计算过程如下：(√3+1)/(√3-1)=[(√3+1)/(√3-1)]*[(√3+1)/(√3+1)]=(4+2√3)/(2)=2+√3请你判断小明的计算结果是否正确，并说明理由。掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法。在例2中，要找出能与3合并的二次根式。根据最简二次根式的条件，我们知道只有