高等代数课件（北大版）第一章多项式

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式2023/8/12数学与计算科学学院§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元1一、不可约多项式二、因式分解及唯一性定理§1.5因式分解定理2023/8/12数学与计算科学学院一、不可约多项式二、因式分解及唯一性定理§1.5因式分解2因式分解与多项式系数所在数域有关如：（在有理数域上）问题的引入（在实数域上）（在复数域上）2023/8/12数学与计算科学学院因式分解与多项式系数所在数域有关如：（在有理数域上）问题的引3设，且，若不能表示成数域P上两个次数比低的多项式的

定义：乘积，则称为数域P上的不可约多项式.说明：①一个多项式是否不可约依赖于系数域.

②一次多项式总是不可约多项式.

一、不可约多项式2023/8/12数学与计算科学学院设，且4③多项式不可约的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.或

④多项式不可约，对有证：设则

或即或2023/8/12数学与计算科学学院③多项式不可约的因式只有非5不可约.，若

则或

证：若结论成立.若不整除，则

定理5：不可约，

则必有某个使得

推论：2023/8/12数学与计算科学学院不可约.6若，则可唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.

所谓唯一性是说，若有两个分解式

1.定理：则，且适当排列因式的次序后，有

其中是一些非零常数．

二、因式分解及唯一性定理2023/8/12数学与计算科学学院若，则7证：对的次数作数学归纳.

时，结论成立．下证

的情形.设对次数低于n的多项式结论成立．（一次多项式都不可约）

若是不可约多项式.

若不是不可约多项式，则存在

且使

结论显然成立．由归纳假设皆可分解成不可约多项式的积.

2023/8/12数学与计算科学学院证：对的次数作数学归纳.时，结论成立．8再证唯一性

.⑴可分解为一些不可约多项式的积.都是不可约设有两个分解式多项式.对作归纳法．

若则必有

2023/8/12数学与计算科学学院再证唯一性.⑴可分解为一些不可约多项式的积.都是不可约设9假设不可约多项式个数为时唯一性已证.

由(１)

不妨设则

使得

(1)两边消去由归纳假设有

即得2023/8/12数学与计算科学学院假设不可约多项式个数为时唯一性已证.由(10总可表成

对其中为的首项系数，为互不相同的，

首项系数为1的不可约多项式，的标准分解式.称之为2.标准分解式：2023/8/12数学与计算科学学院总可表成对其中为的首项系数，为互不相同的，11说明①若已知两个多项式的标准分解式,则可直接写出就是那些同时在的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在中所带的方幂指数中较小的一个．2023/8/12数学与计算科学学院说明①若已知两个多项式的标准分解式,则12例如，若的标准分解式分别为则有2023/8/12数学与计算科学学院例如，若的标准分解式分别为则有2023/8/1数学13

②虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法．