立体几何（亮点练）-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（新高考专用）（原卷版）

专题08立体几何

提升绦I

1.一个菱形的边长为4cm,一个内角为60。，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向,

则此菱形的直观图的面积为（）.

A.8x/3cm2B.4y/3cm2C.2>/6cm2D.>/6cm2

2.如图，四棱锥AC[}BD=O,M是PC的中点，直线交平面PBD于

点N,则下列结论正确的是（)

A.O,N,P,M四点不共面B.四点共面

C.O,N,M三点共线D.RMO三点共线

3.如图，在四面体ABCD中，E,尸分别是AC与8。的中点，若C£>=2AB=4,EF1BA,贝帕尸

与C£>所成的角为（）

C.60°D.30°

4.如图所示，在棱长为"的正方体ABCD-A/8/C/。/中，E是棱。Q的中点，尸是侧面CQDQ

上的动点，且"/〃平面A/BE,则F在侧面CDDG上的轨迹的长度是（）

A.aB.-C.缶D.叵

22

5.直四棱柱ABC。-4gG2的底面是菱形，其侧面积是8夜，若该直四棱柱有外接球,

则该外接球的表面积的最小值为（）

A.3万B.5万C.6万D.8乃

6.如图在正方体A8CD-AB'C'Q'中，点M为A8的中点，点N为BC的中点，点尸在

底面A8CD内，且。妒//平面C'MN,与底面ABC。所成的角为&,则sina的最

大值为（）

7.在如图所示的直三棱柱ABC-4瓦储中，A4,=4,A8_LAC,过点4作平面a分别

交棱AB,AC于点。，E,且AF1DE，ZA4,F=60o,则截面△4。石面积的最小值

为（）

A.16#>B.32A/3C.3673D.48K

8.正方体ABCD-A4aA中，E,尸分别是棱sc,a。的中点，则正方体被截面码o分

成两部分的体积之比为.

9.如图，在直三棱柱ABC-44G中，AB±AC,A\^BC=2,则当四棱锥C-A8gA

的体积最大时，三棱柱ABC-4AG外接球的体积为.

10.如图，在四棱锥P-43CD中，AB//CD,ABA.AD,CD=2AB,平面皿＞_L底面

ABCD,PAA.AD,E和尸分别是C。和PC的中点.

求证：(1)尸底面ABCD；

(2)3E〃平面PAO；

(3)平面3EF1.平面「CD

蟆揪缔一

—.单选题：

1.4,B,C表示不同的点，”，/表示不同的直线，a,4表示不同的平面，下列推理表述不

正确的是（）

A.4G/,AGa,BGl,BGanlua

B.AGa,AR}BRp,Bda=ariA=直线AB

C.A,B,CGa,A,B,C&p,且A,B,C不共线=a与£重合

D./ua,〃ua,/Cl"=A=/与〃不能确定唯一平面

2.已知圆锥的顶点为P,母线24,PB,PC两两垂直且长为3,则该圆锥的体积为

（）.

A.y/3nB.瓜式C.2y/3nD.2瓜式

3.设加，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，且mua,nu0,则下列

命题正确的为（）

①若加///，nlla,则a///?；

②若mr/3,nA.a，则a1■尸；

③若a//，，则加//£,ntla-,

④若a1/3,则机_L〃_La.

A.①③B.①④C.②③D.②④

4.如图，圆台。。的上底面半径为。4=1，下底面半径为。4=2,母线长AA=1,过

OA的中点B作OA的垂线交圆。于点c,则异面直线oq与AC所成角的大小为（）

B.45°C.60°D.90°

5.正方体A8CO-ABCQ中，M、N分别为A。、AC上的点，且满足4。=3〃。,

AN=2NC,则异面直线用N与GA所成角的余弦值为（）.

旦

AC.孚D

-T4-T

6-如图,正方体4B8-A冉CQ的棱长为1,线段他上有两个动点E,F,且EF嗤,

则三棱锥A-8EF的体积为（)

-J1

C.D.不确定

~T2

7.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3</<3^,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

'811「27811八「2764]

A.18,—B.—C.~-D.[18,27]

L4J144」L43J

二、多选题：

1.如图，四棱锥S-A88底面为正方形，底面A8CO,则下列结论中正确的有

B.48〃平面SC£>

C.SA与平面A8CD所成的角是NSAQ

D.AB与SC所成的角等于。C与SC所成的角

2.如图所示，在正方体A88-ABC。中，。为08的中点，直线A,C交平面CB。于点

则下列结论正确的是（）

O.

B.G，M,0,C四点共面

C.c,,o,A,〃四点共面D.A,D,0,也四点共面

3.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为26，则下列叙述正确的是（）

B.正三棱锥的斜高为当

A.正三棱锥高为3

C正三棱锥的体积为竽》正三棱锥的侧面积为零

4.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是（）

A.8M〃平面AOEB.CN〃平面BAF

C.平面8DW〃平面AFND.平面BOE〃平面NC尸

5.如图，在四面体A8CZ）中，点凡Q，M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，截面

PQMN是正方形，则下列结论正确的是（）

A.AC±BDB.AC//截面PQMN

C.AC=CDD.异面直线PM与20所成的角为45

三、填空题:

1.周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径

R的球0（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面PBG与正方体底面A蜴所成二面

角为8,则tane=

2.在三棱锥P-ABC中，平面PAC1.平面ABC,AB1BC,△ft4C为等边三角形，若

AB=BC=2扣，则三棱锥P-ABC外接球的体积为.

3.如图所示，AABC和夕C的对应顶点的连线A4，，BB',CC交于同一点。，且

AO_BOCO=\,Vo-ABC=

4.已知直三棱柱ABC-A向。中，ZABC=90°,AB=2,BC=CC/=1,则异面直线AB/与

BG所成角的正弦值为.

5.已知四面体ABC。中，AB,BC,8。两两垂直，BC=BD=五,A8与平面AC。所成角的

正切值为：，则点B到平面4CO的距离为.

四、解答题：

1.如图，正方体ABCQ-A4CQ中，E,尸分别为GR,B£的中点.

(1)求证：B,D,E,尸四点共面；

(2)若ACI=AC.IEF=Q,4G与平面£7初交于点R,求证：？,。小三点共

线.

2.如图，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形ABC。是菱形且

AB=BC=2网,448c=120。，若异面直线43和4。所成的角为90。，试求的的长.

3.在正方体ABC。一A/8/C/。中，E是棱88/的中点.

(1)求证：囱。〃平面4CE.

(2)若尸是棱C0的中点，求证：平面8/£＞尸〃平面ACE.

COBP2

4.已知正方体ABC。-44GA中，p、Q分别为对角线8。、C。上的点，=—=-.

(1)作出平面PQC和平面抽。。的交线(保留作图痕迹)，并求证：P。〃平面4QD4；

4/?

(2)若R是48上的点，当弁的值为多少时，能使平面R2昭/平面AROA?请给出证明.

AB

5.如图，三棱台OEF-A8C中，AB=2DE,G,“分别为AC,8c的中点.

(1)求证：平面ABED〃平面FG”；

(2)若CF_L8C,ABLBC,求证：平面8C£)_L平面EG”.

6.如图，在直三棱柱ABC-AgG中，D,E分别是A8,的中点，已知相=2,

A4,=AC=C8=7L

(1)证明：BC”平面A.C。；

(2)求C£＞与平面4CE所成角的正弦值;

⑶求。到平面4CE的距离.

真题缔7

1.【2022年全国甲卷理科07】在长方体4BCD-4/〃/中，己知名。与平面4BCD和平

面44//所成的角均为30。，则（）

A.AB=2ADB.A8与平面ZBiCR所成的角为30。

C.AC=CBrD,8/与平面BBRIC所成的角为45。

2.【2022年全国甲卷理科09】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和

SV

为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为。和忆若寸=2,则鼻（）

A•5B.2.C，口D.9

3.【2022年全国乙卷理科07】在正方体/BCD中，E,F分别为力B,BC的中点,

则（）

A.平面8声尸_L平面B.平面B]EF平面&BD

C.平面B/F〃平面为4CD.平面B]EF〃平面&Ci。

4.【2022年全国乙卷理科09】已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点

均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.-C.FD.F

32TT

5.【2022年新高考1卷04】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部

分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.Oku?；水位

2

为海拔1575m时，相应水面的面积为180.0km,将该水库在这两个水位间的形状看作

一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（/°

2.65）（）

93939393

A.1.0x10mB.1.2x10mC.1.4X10mD.1.6x10m

6.【2022年新高考1卷08】已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球

的体积为36兀，且3WIW3,，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A邛吗B.[猾C.洋,舅D.晔7]

7.【2022年新高考2卷07】已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为35和4&其

顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

A.100nB.1287tC.144TID.192K

8.【2021年全国甲卷理科8】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高

程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测

量法的一个示意图，现有4,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影满足

ZA'C'B'=45%AA'B'C=60°.由C点测得B点的仰角为15。，BB,与CC'的差为100；由8点

测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面4'B’C’的高度差44,-C水约为（^3«1.732）

（）

A.346B.373C.446D.473

9.【2021年全国甲卷理科11】已如A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且4C_L

BC,AC=BC=1，则三棱锥。一力8C的体积为（）

10.【2021年新高考1卷3】已知圆锥的底面半径为小2,其侧面展开图为一个半圆，则该

圆锥的母线长为（）

11.【2021年全国乙卷理科5】在正方体中，P为与。1的中点，则直线

PB与AD1所成的角为（）

C.2

12.【2021年全国乙卷理科9】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其

中第一题是测海岛的高.如图，点E,H,G在水平线4c上，CE和FG是两个垂直于水平面

且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和都称为“表目距”，GC与

EH的差称为“表目距的差”则海岛的高48=（）

A表高X表距,主盘表高X袋距主直

、表目距的差*表网BD.表口距的差表高

芭遢注丝上右匹我高…—表距

C.表月屈耽麦+表距,表目距的差衣此

13.【2021年新高考2卷4】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫

星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km

（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r为6400km

的球，其上点A的纬度是指CM与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地

球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=

27rr2（l-cosa）（单位：kn?），贝达占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

14.【2021年新高考2卷5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体

积为（）

B.28〃C谓

A.20+123

15.【2022年全国甲卷理科18】在四棱锥P-4BCD中，PD1J^^ABCD,CDIIAB,AD

DC=CB=1,AB=2,DP=3

(1)证明：BD1PA,

(2)求P3与平面P4B所成的角的正弦值.

16.【2022年全国乙卷理科18］如图，四面体/BCD中，AD1CD,AD=CD.Z.ADB=

乙BDC，E为ZC的中点.

(1)证明：平面BED，平面4CD；

(2)设4B=BD=2,乙4c8=60。，点尸在BD上，当△4FC的面积最小时;求CF与平面4BD

所成的角的正弦值.

17.【2022年新高考1卷19］如图，直三棱柱ABC-的体积为4,AABC的面积为

⑴求4到平面&BC的距离；

⑵设。为41c的中点，AA^AB,平面A］BC_L平面求二面角力一BD-C的正弦

值.

18.【2022年新高考2卷20］如图，P。是三棱锥P-4BC的高，PA=PB,AB1AC,E是

PB的中点.

(1)证明：OE//平面PZC；

(2)若乙4BO=NCB。=30。，PO=3,PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值.

19.【2021年全国甲卷理科19】已知直三棱柱ABC-中，侧面44//为正方形,

AB=BC=2,E,尸分别为力C和CC］的中点，。为棱4B］上的点.BF1&B］

(1)证明：BF1DE；

(2)当名。为何值时，面BBiGC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

20.【2021年新高考1卷20］如图，在三棱锥4一BCD中，平面ABDJ_平面BCD,ABAD,

。为BD的中点.

(1)证明：。41CD；

(2)若AOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱4。上，DE=2EA，且二面角E—8C-

。的大小为45。，求三棱锥A-BC。的体积.

21.【2021年全国乙卷理科18］如图，四棱锥P-/BCD的底面是矩形，P。_L底面4BCD,

PD=DC=1，M为BC的中点，且PB14M.

(1)求BC