九年级暑假上册（教师版）

目录

第一讲整式的恒等变形2

第二讲因式分化

第三讲数与式29

第四讲一元二次方程（一）48

第五讲一元二次方程（二）66

第六讲一元方程83

第七讲方程组107

第八讲不等式121

第一讲整式的恒等变形

【常识概述】

乘法公式也叫做简乘公式，是在多项式乘法的根本上，将多项式乘法的一样法则应

用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有有效性的具体结论.它既是对

“多项式乘多项式”的应用，也是学习后续常识因式分化、解一元二次方程、分式、根式等

的根本，在复杂的数值计算、代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证

明等方面有着广泛的应用，在初中阶段占有很重要的地位.

除了常见的平方差公式与完全平方公式外，还有包罗立方和差公式、完全立方公式等在

内的一些乘法公式也是数学中常用公式之一，在初中数学、高中数学，甚至高等数学中常

常见到.本讲主要包含两个模块，在对一些根基的乘法公式作温习和巩固的根本上，对乘

法公式进行必然程度的拓展和延伸，进而引申出整式恒等变形的一些常见方式和思路.

【常识结构】

模块一：乘法公式

【常识精要】

1.立方和、立方差公式：

(«+-ab+O?)=1+Z?；

(a-b^a2+ab+b2^-a3-b^；

其中要注重以下几点：

(1)成果是立方和仍是立方差由第一个因式是和仍是差决意；

(2)这两个公式还能进一步推广：

(a+3(〃"_/■力+合”斤----加，I+户)=白+1+户用.

(a-b)(a"-'+a'-2b+---+abn-2+b"-')=/—6".

2.完全立方公式：

(a+b'f=a3+3a2b+3ab2+b'；

(a-bf=a}-3a°b+3ab2-b,；

其中要注重以下几点：

(1)运用完全立方公式计算时，成果平常按一个数(或字母)降塞布列;

(2)完全立方公式也有两个常见变形：

(a+短=(?+/?+3at>(a+b),

,3+by=(«+-3ab(^a+b).

3.除了上述这些公式外，一下一些公式也对照常见:

(a+6+c)-=a2+b2+c2+lab+2bc+2ac；

(。+匕+。)(储+b2+c2-ab-bc-caj-a1+b^+<?3-3abc；

(a+6)(6+c)(c+a)=a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+labc；

(a-6)(。-c)(c-a)=crc+b2a+c2b-a2b-b2c-c2a.

其中要注重以下几点:

(1)在一些乘法公式中，参加把a-b懂得成a+(-b),则无数公式的记忆和懂得会变

得很方便;

(2)第一个公式(一样称作三项和的平方公式)有如下两个常见变形:

a2+b2

【典型例题】

1.补全将下列乘法公式：

(1)()(«2+2a/>+4Z>2)=；

(2)()+()-64；

(3)(3x-2yy=；

(4)(x+y)'(x-=-

2

【答案解析】(1)a-2b,“3一汕3；(2)a-4,12a,48a；(3)

27x3-54%2y+36xy2-8y3；(4)/-3x4y2+3x2/.

【试题解答】(1)a2+2ab+4b2=a2+a-2b+(2/>)2,

.•.(4-%)(储+2"+46,="一助3；

(2)•.,/-()+()-64=/-()+()-4,，

:.(a-4)'=/_12/+48a-64；

(3)原式=27x3-54x2y+36xy2-8,y3；

(4)原式=(/-J，=d_3》4丫2+3彳2,4_.

2.化简下列各式并求值:

(1)(x+2乂x2-2x+4)+(x-l乂x?+x+l),其中x=-l；

(2)1+-+(3x-y乂9/+3盯+力，其中x=-l,y=2.

【名师点拨】考查代数式的化简与求值.

【答案解析】(1)5；(2)-39.

【试题解答】(1)原式=丁+23+丁一/=2/+7,

代入x=-1可得，原式=-2+7=5；

(2)原式=2%.y+(3x)3一J=27X3-y3+2xy,

代入x=-1,y=2可得,原式=-27-8-4=-39.

2244

3.(1)已知x+y=3,x+y=5,则d+y3=,x+y=

+y'=；

(2)已知x+y=10,x3+y3=100,贝1」/+9=.

(3)已知x+y+z=2,x24-y2+z2=6,x3+y3+z3=8,则xyz=

x4+y44-z4=.

【答案解析】(1)9,17,33；(2)40；(3)-2,18.

【试题解答】(1)・・・x+y=3,f+y2=5,

D=g[(x+y)2-(d+y2)]=2,

/.x3+y3=(工+以工2-Ay+y2)=3x(5-2)=9,

x4+y4=(f+力-^2x2y2=25-2x4=17,

x5+y5=(x+y)(x。-xiy+j^y2-xy3+力

=(x+y)[x。+y4―9卜2+y2)+12y2]

=3x07-2x5+4)=33；

(2)vx+y=10,x3+y3=100,

x3+/=(x+y)(x2f+y

...孙=30,x2-xy+y2=10,x2+y2=40；

(3)(3)vx+y+z=2,x2+y2+z2=6,

/.与,+yz+zr=；［(x+y+z)2-(x2+y2+z2)J=-l,

又x，+_/+z，=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zxj=8,xyz--2,

又Yy?+y2z2+z2x2=(xy+yz+zx)--2xyz(x+y+z)=9,

X4+/+Z4=(X2+y2+z2)2_2(/y2+^^2+.

1-------(a+6)°

11-------(a+“

121-------(a+6)2

1331-------S+城

14641(a+6『

（2?J好艮据贾宪三角直接写瓶ft）"［、（"+"的展开式:

（2）请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的S+b）"的成果.

【答案解析】(1)a4+4a}b+6a2b2+4ab}+。4,

o,+5a4b+IOa3b2+1Oa2b3+5ab4+b5；

(2)略.

【试题解答】(1)根据系数规律，对于(。+3”的展开式，

〃=4时，系数为1、4、6、4、1,

〃=5时，系数为1、5、10、10、5、1,

(a+6)4=a4+4a3b+6a2b2+4加+bA,

(a+=/+5a4b+10«V+10a2//+5ah4+b5；

(2)(a+〃)4=(a+6)，+/?)~

=(a?+2ab+b1)(/+lab+/)=a4+4a%+602bl+4ab3+b4.

5.己知一个正整数〃恰好等于另一个正整数。的平方，则称正整数a为完全平方数.如

64=82,64就是一个完全平方数.

(1)若m=4刈6+2刈7+1,求证：机是完全平方数；

(2)若加=20©+20162x2017?+20*2,求证：m是完全平方数.

【名师点拨】考查二项与三项的完全平方式及配方式.

【答案解析】(1)略；(2)略.

【试题解答】(1)由题意可知，

...租=42016+22017+1=(22016)2+2X220,6+]=(2刈6+]丫，

：.m是完全平方数；

(2)由题意可知，

•.•m=20162+20162x20172+20172,

令x=2016,则有：

m=x2+x2-(x+1)-+(x+1)-

=x"+2*+3x~+2x+1=x+x~+1+2*+2x~+2x

=(x2+x+l)2=(20162+2016+l)2,

m是完全平方数.

6.已知26=52+E,53=72+22,26x53=1378,1378=372+32,察看可知26、53

可示意为两个平方数的和，将这两个数相乘，乘积依然是两个平方数的和，数学

中将26、53如许的数称为“不变心的数”.

(1)试找出另外两个“不变心的数”；

(2)请说明其中的事理.

【名师点拨】考查完全平方数和配方式的运用.

【答案解析】(1)任取，如5和25；(2)略.

【试题解答】(1)另找两个“不变心的数”，

如5=0+22,25=32+42,

5X25=125=112+22；

(2)设机n=c2+d2,

贝I］加=(〃+〃)卜2+屋)+//+b2d+a2d2

=(a2c2+2abed+b2d2^+(b2c2-2abcd+a2J2)

=^ac+bd)~+{bc-ady.

7.(1)已知a、b为正实数，S.a+b=i,求证：/+从之工；

2

(2)己知p3+g3=2,求证：p+q<2.

【名师点拨】考查配方式与完全平方公式在非负数性质中的运用.

【答案解析】(1)略；(2)略.

【试题解答】(1)\,a+b=1,

要证即证/+622色叫_,

22

即证：2(a2+&2)>(a+6)2,

即证：a2+h2>2ab,

即证：(a20,得证；

(2),••p3+q3=(p+q)(p2-内+/)

=；(2+/(4p2-4pq+4q?

=?P+q)(P°+2pq+#+3p2_6pq+3q)

=*+4)[(0+/+3(p-q)[M(p+4);

(p+^)3<8,即p+”2得证.

8.求证:

(x+y-2z)3+(y+z-2x)*+(z+x-2»=3(x+y-2z)(y+z-2x)(z+x-2y).

【名师点拨】套用乘法公式

/+//+c3-3abc=(^a+b+c^a2+b2+c2-ab-bc-ca^,整体换元*

【答案解析】略.

【试题解答】T^a=x+y-2z,b=y+z-2x,c=z+x-2y,

则有a+6+c=0,

•/a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)^a1+b2+c2-ab-bc-ca^=O

.'.o'+b)+c3=3abc,即原式得证.

模块二：整式的恒等变形

【常识精要】

当然参加遇到不能直接使用乘法公式的问题，可以恰当创造前提使之吻合乘法公式的特

点，这种通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形.常见的

恒等变形的方式如下：

(1)整体代入(换元法)：

当整式中字母的值求出对照贫穷困难甚至无法求出时，需要把注重力和着眼点放在问题

的整体结构上，把紧密联系的量作为一个整体来处理(或用一个新设的未知数示意)，

运用“整体思想”可以使问题简化.

(2)消元降次:

一元一次，二元一次的问题我们会解，这是解题的基石.在解答问题时，参加未知数

的次数较高，就要思量降次，降为一次大概是二次，相对来说就简单多了，同样的，

当未知数多的时辰就要想到消元(代入消元、加减消元)，消掉未知数，变为一元的

问题即可.

举一个例子：若X2+%-1=0,求/+1+》-5的值.

x2=1-X,则*3=X。♦x=(1-x=x-x?=x-(l-x)=2x-1,

x4=x3-x=x(2x-l)=2x2-x=2(l-x)-x=2-3x(即反复操纵Y=1_犬进行降次)，

故原式=2-3x+3x-1+x-5=1—5=-4；

(3)配方式：

配方式的应用十分广泛，既可以配方后操纵非负性得到未知数满足的前提，也可以配

方后联合所给前提进行求值，关键是要找到符合的平方项和交叉项，有效地进行配方.

具体变形步骤如下:

2.(2t)C

ax+bx+c=a\x+—x+—

\aa

（4）对称式:

随意率性两字母交流时，代数式连结不变，称如许的代数式为对称式，对称式中有几个

未知数即称为几元对称式.对称式的一个最重要的性质是二元对称式中一样只需已知其

中两个对称式的值即可求出其余所有的二元对称式的值；三元对称式中一样只需已知其

中三个对称式的值即可求出其余所有的三元对称式的值，以此类推；求值时一样根据次

数从底到高的次序进行，例如二元对称式中一样起首求出（或已知）x+y,冲的值再求

X1+y2,x3+y3,---

【典型例题】

9.正整数4、b、C满足“3+匕3+d=3必C,且4+6=2,求（a-b+c户”的值.

【答案解析】1.

【试题解答】〃3+"+。3_3而。=0,即

(<a+h+c^a2+h2+c2-ab-bc-ac^-0,

而正整数。、b、c,贝ljQ+Z?+CWO,

所以/-by+(a-c)~+=0,

是以a=A=c,联合Q+Z?=2,得到。=b=c=L(^-/2+c)2017=1.

10.(1)已知4/-39=7,3/+2y2=19,求代数式14/-2丁的值；

(2)(2021上海交中初级中学初一期中)已知a+b=8,劭=-33,若

a2+3b=\\2,求"+3“的值；

(3)在等式y="2+bx+c中，当x=l时，y=3；当》=一1时，_y=5,

求34-4b2+3c的值.

【答案解析】(1)52；(2)42；(3)8.

【试题解答1(1)14/3=2(7X2-7)=2[(4x2-3/)+(3x2+27)]

=2(7+19)=52；

(2)+3b+人-+3a=(a+/?)—2a/?+3(a+6)

=64+66+24=154,

所以Z?+3a=154-+3。)=154—112=42；

(3)由题意得，

=〃+：+'解得+

[5=a-b+c[b=-1

故3a-4廿+3C=3(4+C)-4/=12-4=8.

11.(I)若/+3苫-1=0,求x'+x'+x—5的值；

(2)若f+Bx-JO,求*3+5/+51+20的值；

(3)若x?+3x+l=0,求3d+(f+5)(x?-l)-x(5x+6).

【答案解析】(1)-4;(2)22；(3)-3.

【试题解答】(1)由题意得，x2=l-x,

则f+x3+X-5=X2(1-X)+X3+x-5

=x2-x3+x3+x-5=x2+x-5=1-5=-4；

(2)由题意得，x2=—3x+I,

则原式=x(-3x+l)+5(-3x+l)+5x+20

=-3x2-9X+25=-3(X2+3x)+25

=-3(f+3x)+25=-3+25=22；

(3)由题意得，x2+3x=—1,

则原式=x4+3/-x2-6x-5=4£+3x)-x2-6x-5=-2x2-6x-5

=-2(d+3x)-5=-3.

12.(1)若x2=x+l,y2=y+[,且求V+y，的值；

(2)若一一X2"+1=0,求/'+x"+2017的值.

【答案解析】(1)11；(2)2021.

【试题解答】(1)两式相减有V—V=x-y,可得x+y=i,

x5=xxx2xx2=x(x+l)-=xfx2+2x+l)=x(3x+2)=3x2+2x=5x+3,

同理可得＞=5y+3,

所以d+旷=5(x+y)+6=ll；

(2)由已知得，x3n=x2n-1,

x5"+x"+2017=x2"(x2"-1)+V+2017

=x4n-x2,,+y,+2017=y,(x2"-l)-x2n+Z+2017

=x3,,-x"-x2"+x"+2017=x2n-\-x2n+2017=2016.

13.(1)已知/+--4/2>+5=0,求(x+yf^的值；

(2)若实数a、6满足“62+/+户一4"+1=0,求a+2匕的值；

(3)已知x-y=a,z-y=10,求代数式x?+y?+z?-yz-zx的最小值;

(4)已知a+>+c=3,a2+b2+c2=3,求/。"+层。《+C237的值.

【答案解析】(1)1;(2)±3；(3)75；(4)3.

【试题解答】(1)*2+9_4》+2)，+5=0可化简为(x-2)2+(y+l)2=0,

:.x=2,y=-1,

/\20131

「.(x+y)=1；

(2)//+々2+从一4必+1=0可化简为(〃一人丫+("一[)2=0,

.•・4=。=1或。=。=一1,

。+2/?=3或-3；

(3)因为x-y=a,z-y=\0,所以z_%=(z_y)-(x_y)=10-a,

所以％2+9+

=^a2+102+(10-a)2]=a2-10a+K)0=(a-5)2+75,

明显当a=5时，原式取最大值75；

（4）由已知有（4-1）2+（匕-1）2+（o—1）2=（/+/+。2）—2（4+匕+。）+3=3—6+3=0,

则a=6=c=l,所以-7+谬7+c刈7=3.

14.（1）已知2a6+2尸—4a=0,〃一65+5=0,求a+后的值;

（2）已知a4+//+c4+d4=4o/?cd,且a、b、c、d都是正数,

ivci—2b+3c—4d

求------------------的值.

4。+38一2c-d

【答案解析】（1）2；（2）

2

【试题解答】（1）由题意得，a2+2ab+b2-4a+4+b2-6b+l=0,

整理得，a2+2ah+h2-4a-4b+4+b2-2b+l=0,

配方得，（〃+匕一2）2+伍-1）2=0,

..\a+b—2=0Er\a=]„,.

故V,,c,解出，,则a+从=2；

[o-l=0[o=1

（2）因为a4+b4+c4+d4^4abcd,

所以a，+b4—2a2b2+cA+d4-2c2d2=-2（a2b2+c2d2-2abcd）,

配方得（/一从丫+卜2-/J+2@一cd）?=0,

a』

由非负性可得”2=解，

ab=cd

解出a=b=c=",a=b=—c——d,a=—b=c=-d,a=-b=-c=d,

因为a、b、c、d都是正数，故a=〃=c=d,

匚匚a—2Z?+3c—4d1

所以-------------=——.

4a+3b-2c-d2

【课堂练习】

1.(10分)若x-y=2,f+y=4,则/J产6的值是()

A.4B.20162C.22016D.42016

【答案解析】C.

【试题解答】•••x-y=2,一+—=4,

/.2xy=(x2+=0,

.,.x=0,y=-2或x=2,y=0,

.-6+浮6=o+22S6=22。，

故答案选C.

2.(10分)轻便计算：

(1)99.8?；(2)492+512；

【答案解析】(1)9960.04；(2)5002.

【试题解答】(1)原式=(1()()-0.2)2=10000-4()+0.()4=9960.04；

(2)原式二(50-1)2+(50+]『=2x502+2x1=5002.

3.(10分)计算：

(1)(<4ah+3c)(12ahc-16a2h2-9c2)；

(2)(〃一〃)[(〃+/?『一aZ?]+2(〃+Z?)[(Q-b)2+〃/?].

【答案解析】(1)-64a3b3-21c3；(2)3a3+b3.

【试题解答】(1)原式=-(4〃0+3C)[(4〃/?)2-4ab-3c4-(3c)~J=-Ma,b3-27c3；

(2)原式=(〃-/?)(/+ab+62)+2(〃+Z?)(〃2-"+/)

=〃3-b3+2(Q3+//)=3Q3+匕3

4.(20分)已知a、b>c,为正实数，且a+Z?+c=l,求证：a2+b2+c2>-.

3

【答案解析】略.

[试题解答],/a+b+c=l,

，要证：a-+b+c2—，艮[J要证Q-+/r+c~之^------------,

33

即证：3(tz2+Z?2+c2)>(tz+Z?+c)2,

即证：+b1+c1-ab-be-ca>0,

即证：^[(a-^)2+(Z>-c)2+(c-a)2]>0,得证.

b2+lac=14

5.(25分)(1)已知三个正实数。、b、c满足,/+2〃。=29,则a+》+c=

a2+2bc=2\

(2)已知。、b、c、d是正实数，且满足〃+从=62+屋=5,ad=bc,则

ac+bd=•

【答案解析】(1)8；(2)5.

h2+lac=14…①

【试题解答】(1)・・・</+2〃〃=29…②，

«2+2Z?c=2b..(3)

①+②+③可得：

cr+b2+c2+2ab+2bc+2ca=+b+。)一=64,

.,.q+Z?+c=8；

(2),/a2+b2=c2+d2=5,ad=be,

+尸)/2+/)=(ac『+(ad/+仅。)2+(bd)?

=+2(ad)2+(bd)2=(〃c『+2abcd+(bd)〜=(ac+bciy=5x5=25,

又,/ac+bd>0,;ac+bd=5.

6.（25分）察看下列各式，你发觉了什么规律?

-i61x2x3

1~=1=—=---------

66

12+22=5=22=2x3x5

66

3+323。牛手,

（1）填空：I2+22+32+42+■••+（«-1）2+M2=；

（2）试操纵立方差公式证明这个公式.

【名师点拨】本题考查寻找规律及立方差公式在裂项相消中的运用.

【答案解析】（1）X廿叭2"型）；⑵略.

6

【试题解答】（1）察看可知，

,6lx（l+l）x（2xl+l）

12=1=——-------------------------

66

2x（2+l）x（2x2+l）

6

12223214^-X（3+1）X（3X2+1）

++==6=6

.•・F+22+32+4+（〃-炉+〃2/（〃+?伽+1）；

（2）由立方差公式可知，

n3--1)，=3n2-3〃+1,

(n-l)3-(n-2)3=3(n-l)2-3(n-l)+I,

(n-2)3-(n-3)3=3(n-2)2-3(n-2)+l,

...J

23-f=3x22-3x2+l,

13-()3=3X12-3X]+I,

累加可得,=3(1'+2?+…)-3(1+2+…+〃)+〃，

.•.12+22+32+42+...+(”1)2+〃2=2〃3+3〃2+“=9+1)(2"1).

V'66

【课后作业】

1.(15分)计算：

(1)(x-2y)2(-x2-2xy-4>,2；(2)[in+-n)'+/WJ-mn"+/?6)；

(3)(x6-/丫(x6-xV+/)2(x6+x>3+y6y.

【名师点拨】考查立方和与立方差公式的计算.

336l886

【答案解析】(1)/-16X/+64/；(2)/+/；⑶x-2xy+/.

【试题解答】(1)原式=[—任一8y3)了=(炉一8丫3)2=*6-16力3+64丫6；

(2)原式=+〃乂M-mn+n2—m3n3+叫

=(加3+)(，〃6_帆>3+“6)=,7+“9；

(3)原式=[(1+力16-x3/+>,6)(x3-y3)(x6+%3/+/)]-

=.+力，_y9.=(—『="2/u+尸.

2.(10分)(1)已知a-b=-2,b-c=5,则a?+/+c?-ab-bc-ca=

(2)已知a*+a2+b2+]=4",则a+6=.

【答案解析】(1)19；(2)—2或2.

【试题解答】(1)a-b=-2,h-c=5,

ci—c=a-h-\~b—c=3,

/.a1+/72+c2-ab-bc-ca

(2)a2/72+O2+b2+1=4ab,

;.(ab)2-lab+1+<72-lab+/?2=0,

B|J(«Z?-1)~+(a-/?)~=0,

:.a=b=—\^a=b=\,.,.a+b=—2或2.

3.(20分)察看下列各式，寻找规律：

1x2x3x4+1=52,

2x3x4x5+1=112,

3x4x5x6+l=192,

..............J

(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明;

（2）根据（1）的结论，计算：2016x2017x2018x2019+1.（用完全平方数示意）

【答案解析】(1)n(n+l)(M+2)(/?+3)4-l=(M2+3/7+l)2；(2)40703052.

【试题解答】(1)察看可知，

等式左边=〃(〃+1)(〃+2乂〃+3)+1

=〃(〃+3)G+l)(〃+2)+l=(”2+3”“"2+3〃+2)+1

=(〃2+3”)+2(〃2+3〃)+1=(〃2+3"+])[

+1)(”+2)(〃+3)+1=(〃2+3〃+1)；

(2)由(1)可得，

2016x2017x2018x2019+1

=(20162+3x2016+1)2=40703052.

4.(20分)参加一个正整数能示意为两个接连的偶数的平方差，那么称这个正整数

为“神秘数”，如：4=2=。2,12=42-22,20=62-42,是以4、12、20都是这

种“神秘数

(1)28和2021这两个数是“神秘数”么？试说明来由；

(2)试说明“神秘数”能被4整除；

(3)两个接连奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明来由.

【答案解析】(1)28是“神秘数”，2021不是“神秘数”；⑵略；(3)不是.

【试题解答】(1)28=82-62,是“神秘数”，

2021无法示意成两个接连偶数的平方差，不是“神秘数”；

(2)设神秘数为M,可以示意为两个接连偶数2(〃+1)、2〃的平方差(”为整

则〃=4(〃+1)2—4/=8〃+4=4(2/2+1),

「神秘数”能被4整除;

(3)设两个接连奇数为2〃+1、2〃-1,

则(21+1)--(2/z-l)~=8/7=4x2n,

••.两个接连奇数的平方差不是“神秘数”.

5.(15分)若a+b+c=/+/+。2=2,求证：a(\-a^=c(l-c)2.

【答案解析】略.

【试题解答】d3(67+Z?+c)~=a2+b~+c2+2ab4-2bc+2ac,可得ab+be+ca=l,

(x——(x—c)=Ji?一(〃+人++(ab+be+ca)x-abc

=x3-2x2+x-abc,

是以x(l-x)-=(x-a)(x-〃)(x-c)+〃/?c,

故=/?(l-Z?)2=c(l-c)2=abc.

6.(20分)若〃、b、c、d满足a+/?=c+d,a3+b3=c3+d3,求证：对于随意率性

正奇数n,都有a1+bn=cn+d".

【答案解析】略.

【试题解答】因为a+b=c+d,所以(。+切3=化+")3,

B|Ja3+Z?3+3ab(a+/?)=/+/+3cd(0+〃),

又因为a3+Z>3=c3+J3,所以H>(a+b)=cd(c+d),

i.当a+b*O时，ab=cd,所以(a-bf=(a+6)2-4a6=(c+d)2-4cd=(c-d)2,

所以a—6=c—"或a—/?=d—c,

所以a=c,b=d或a=d,b=c,

此时a"+〃"=c"+"",

ii.当a+b=O时，c+d=O,因为〃为正奇数，所以屋+b"=c"+d"=O,

综上所述，对于随意率性正奇数%都有a"+〃'=c"+d".

第二讲因式分化

【常识概述】

把一个多项式在一个范畴化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分化，也

叫作分化因式，是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具.

因式分化方式机动，本领性强，学习这些方式与本领，对于培育学生的察看、摸索、解运算

和综合解析解决问题的功底都有着十分特殊的作用.既可以温习整式的乘法运算，又可为接

下来学习分式、根式打好根本.

多项式理论是代数学的重要组成部分，它在理论上和方式上对现代数学都有深刻的

影响.与多项式有关的问题除了出此刻函数、方程、不等式等代数领域中，还涉及到几何、

数论等常识，是一个综合性的工具，也是自招与竞赛中的热点问题.

本讲将重点介绍因式定理和有理根定理、待定系数法与主元法等新的因式分化的工具,

阐述常见的差别类型的多项式若何因式分化.

【常识结构】

模块一因式定理与有理根定理

【常识精要】

形如/(x)=%x"+4X*'+…+c*x+a"(”为非负整数，%#0)的代数式叫做关于x的

一元"次多项式.…M,,称为多项式的系数，"称为此多项式的次数.

对于随意率性两个多项式“X),g(x)(g(x)xO),总存在两个多项式4(x)和厂(x),

使得〃x)=g(x)p(x)+r(x),其中叫做被除式，g(x)叫做除式，q(x)叫做商式,

r(x)叫做余式，余式厂(x)的次数小于除式g(x)的次数.当r(x)=O时,有/(x)=g(x)-q(x),

此时称作〃x)被g(x)整除，或f(x)被g(x)整除，g(x)和g(x)叫做〃x)的因式.

参加g(x)是一次式x-a,则r(x)的次数小于1,是以，r(x)只能是常数(0或非零常

数)，这时，余式也叫余数，记为r,即有/(x)=(x-a)y(x)+r；

令x=a得，/(〃)="；是以，有以下重要定理：

余数定理：多项式“X)除以(x-a)所得的余数等于/(a).

由上述可知，参加“X)能被x-a整除，那么必有r=0,反之，参加r=0,那么”x)

能被整除，是以，得到以下重要定理：

因式定理：参加多项式/(x)能被x-a整除，亦即有一个因式x-a,那么/(a)=0,

反之，参加/(〃)=0,那么x-a必为多项式“X)的一个因式.

有理根定理：若〃x)=aK+a,i/+…+平+%是一个整系数多项式,而C是“X)的

S

一个有理根，其中八s互质，那么必有s|a.，r|g；特殊地，参加〃x)的首项系数为=1,

那么“X)的有理根都是整根，并且是即的因子.

有理根定理的一个常见应用即是操纵这本性质进行试根，联合因式定理对多项式进行因式分

化，具体步骤如下：

1)对于一个整系数一元高次多项式〃x)=a"x"+a”T/+…+平+%,找到&的所有

an

因数；

2)将所有因数依次代入多项式，若存在一个因数a,使得/(«)=0,则。为多项式

/(%)的一个根；

3)由因式定理可知，“力必有一个因式为x-a,是以可写为〃x)=(x-a)g(x)；

对于多项式g(x)可以继续操纵试根法进行因式分化，也可操纵其它方式进行因式分化,

终极将〃x)因式分化.

备注：多项式的根即为其所对应的方程的根，故对于求解一个一元整式方程，参加可

以将其所对应的多项式因式分化，即可求出该方程的根.

【典型例题】

1.已知多项式2x3-d+〃?有一个因式是2x+l,求机的值.

【答案解析】m=-.

2

【试题解答】因为多项式2/—x?+机有一个因式是2x+l,故该多项式有一个根-1,

2

即-(-；)+m=Q,解得，〃?=；.

2.分化因式：/一8丁+19犬-20.

【答案解析】(8一乂%2—3x+4).

【试题解答】由有理根定理，有理根大概为±1,+2,±4,±5,±10,±20,且

明显随意率性x<0使得多项式为负，故不大概为有理根，

'.'/(5)=0,故有一个有理根x=5,

Xs—8x2+19x—20=(丁—5炉)—(3x——15x)+(4x—20)=(x—5)(x?—3x+4),

•JX2-3X+4在实数范畴内无法因式分化，r.x3—8£+19X—20=(X-5)(X2-3X+4).

3.分化因式：d+gd+Ux+lO.

【答案解析】(x+l)(x+2)(x+5).

【试题解答】根据有理根定理，可知多项式丁+8/+17》+10的有理根只大概是±1,

±2,±5,±10,因为当x=T,-2,一5时，x3+8x2+17x4-10=0,

所以所+8/+17x+10必含有因式(x+l)(x+2)(x+5),

对照最高次系数，得X3+8X2+17X+10=(X+1)(X+2)(^+5).

4.求整系数多项式/3=炉-炉+51-15/+2》+8的所有有理根.

【答案解析】1和-2.

【试题解答】4=1，故“X)的有理根都是整数，且都是&的因子，

故“X)大概的有理根是±1,±2,±4,±8,

代入，检验得只有/.(1)=0、_/(-2)=0,故/.(X)的有理根只有1和—2.

模块二待定系数法

【常识精要】

待定系数法：

将一个多项式示意成另一种含有待定系数的新的形式，根据得到的恒等式的性质得

出对应项系数应满足的方程或方程组，再通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出

某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方式叫做待定系数法.

有些复杂的多项式因式分化可以借助于待定系数法.

用待定系数法因式分化，步骤如下：

(1)设原多项式分化为含待定系数的因式的积；

(2)依据等式恒等，对照等式两边同类项的系数，得到方程或方程组；

(3)解方程或方程组求出待定系数的值；

(4)将多项式因式分化.

其中假定未知系数时，可通过察看原多项式的结构，判断确定因式中的一些项，削减待

定系数的个数，从而降低解决问题的难度.

待定系数法作为最常用的解题方式，可以运用于因式分化、确定方程系数、解决应用问

题等各种场所.其指导作用贯穿于初等数学、中等数学甚至高等数学，卖力学好并掌握待定系

数法对于解决无数问题都大有裨益.

【典型例题】

5.分化因式：x4-X3+6x2-X+15.

【答案解析】任+8+3)任一2^+5).

【试题解答】假定原多项式可分化为两个二次式的积,

设X，-x3+6x2-x+15=(x2+ax+b^(^+cx+d^,

则原式+(6Z+c)x3+{b+d+tzc)x2+(〃d+bc)x+hd,

对照两边对应项的系数可得：

a+c=-la=1

b+d+ac=6b=3

解得■

ad+be=-\c=-2

hd=i5“二5

X，-V+6x〜-x+15=(X?+%+3)(d—2x+5).

6.分化因式：

(1)x4-%3+4%24-3x4-5；(2)x4——Sx2-6x—4；

【答案解析】(1)(x2+x+l)(f-2x+5)；(2)(%2+工+1)(工2一2%一4).

【试题解答】(1