大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试题(含答案)大一第二学期高数期末考试一、单项选择题1.设$f(x)=\cosx(x+\sinx)$，则在$x=0$处有（B）$f'(0)=1$。2.设$\alpha(x)=\frac{1-x}{2.1+x}$，$\beta(x)=3-33x$，则当$x\to1$时，（C）$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小。3.若$F(x)=\int_{0}^{x}(2t-x)f(t)dt$，其中$f(x)$在区间$(-1,1)$二阶可导且$f'(x)>0$，则（C）函数$F(x)$在$x=0$处没有极值，但点$(0,F(0))$为曲线$y=F(x)$的拐点。4.设$f(x)$是连续函数，且$f(x)=x+2\int_{1}^{4}f(t)dt$，则$f(x)$等于（B）$2x+7$。二、填空题5.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1+3x}{x}\sinx=3$。6.已知$\cosx/x$是$f(x)$的一个原函数，则$\intf(x)\cosx/xdx=\ln|x|+\frac{\cosx}{x}+C$。7.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\cos^2(\frac{k\pi}{n})=\frac{1}{2}$。8.$\int\frac{-1}{1-x^2}dx=-\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}+C$。三、解答题9.设函数$y=y(x)x+y$由方程$e+\sin(xy)=1$确定，求$y'(x)$以及$y'(0)$。解：对方程两边求导，得到$$y'(x)x+y(x)+xy'(x)\cos(xy)=0$$整理得$$y'(x)=-\frac{y(x)}{x+\cos(xy)}$$当$x=0$时，$y(0)=e-1$，代入上式可得$y'(0)=-(e-1)$。10.求$\int\frac{1-x^7}{x(1+x^7)}dx$。解：分解分式，得到$$\frac{1-x^7}{x(1+x^7)}=\frac{1}{x}-\frac{x^6}{1+x^7}$$对第一项进行积分，得到$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C_1$$对第二项进行积分，令$t=1+x^7$，则$$\int\frac{-x^6}{1+x^7}dx=-\frac{1}{7}\int\frac{dt}{t}=-\frac{1}{7}\ln|1+x^7|+C_2$$综上所述，$$\int\frac{1-x^7}{x(1+x^7)}dx=\ln|x|-\frac{1}{7}\ln|1+x^7|+C$$11.设函数$f(x)=\begin{cases}xe,&x\leq0\\2x-x^2,&0<x\leq1\end{cases}$，求$\int_{-3}^{1}f(x)dx$。解：$$\int_{-3}^{1}f(x)dx=\int_{-3}^{0}xedx+\int_{0}^{1}(2x-x^2)dx=\frac{9}{2}$$12.设函数$f(x)$连续，$g(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt$，且$g(0)=0$，求$g'(x)$并讨论$g(x)$在$x=0$处的连续性。解：对$g(x)$求导，得到$$g'(x)=\int_{0}^{1}f'(xt)tdt$$当$f(x)$连续时，$f'(xt)$在$[0,1]$上一致连续，因此$g'(x)$在$x=0$处连续。当$f(x)$不连续时，$f'(xt)$不一定在$[0,1]$上一致连续，$g'(x)$在$x=0$处可能不连续。g'(x)=xf(x)-∫f(u)du/x(x≠0)g'(0)=limx→0∫f(u)du/x^2=limx→0f(x)/2x=A/2g'(x)iscontinuousatx=0.-----y''+y=lnxy=e^(∫(lnx)dx)*(Ax+B)y=x(Alnx-A-1)+By(1)=-2/3,B=1/3y=x(Alnx-A-1)+1/3-----y'=2∫ydx+y/xy''=2y'+y'/x=4∫ydx+3y/xr^2-r-2=0r1=-1,r2=2y=C1e^(-x)+C2e^(2x)y(0)=1,C1+C2=1y'=-C1e^(-x)+2C2e^(2x)y'(0)=1,-C1+2C2=1C1=1/3,C2=2/3y=(1/3)e^(-x)+(2/3)e^(2x)-----(1)Thetangentlinepassesthrough(x,lnx)andtheorigin,soitsequationisy=xlnx.Theintersectionpointsofthecurvey=lnxandthetangentlineare(e,1)and(1,0).TheareaoftheregionbetweenthecurveandthetangentlineisA=∫(lnx-xlnx)dxfrom1toe.A=[x(lnx-1/2)]from1toe=e-3/2.(2)Theregionbetweenthecurveandthelinex=eisboundedbyy=lnx,y=0,andx=e.Thevolumeofthesolidgeneratedbyrevolvingthisregionaroundthelinex=eisV=∫π(e-y)^2dyfrom0tolne.V=π∫(e^2-2ey+y^2)dyfrom0to1=π(e^2-2e+1/3).(3)ThesolidDisgeneratedbyrevolvingtheregionbetweenthecurveandthex-axisaroundthelinex=e.Bytheshellmethod,V=∫2πx(lnx-x)dxfrometo∞.V=2π[∫xlnxdx-∫x^2dx]frometo∞=2π(e-3/2)(e^2-1/3).ThedesiredvolumeisV-V1+V2=π(5e^2-12e+3)/6.-----∫f(x)dx-q∫f(x)dx=(1-q)∫f(x)dx-q∫f(x)dx=(1-2q)∫f(x)dxBythemeanvaluetheorem,thereexistsξ1∈[0,q]andξ2∈[q,1]suchthat∫f(x)dx=qf(ξ1)+(1-q)f(ξ2)Hence,∫f(x)dx≥q∫f(x)dx.根据题设，可以得到以下公式：F(π)=F(θ)+∫sinx⋅F(x)dxπ∫f(x)cosxdx=∫cosxdF(x)=F(x)cosx+∫sinx⋅F(x)dx0根据积分中值定理，存在θ∈(0,π)，