【微专题】2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版） 已知k求面积（解析版）

已知k求面积1．如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积．【答案】S△AOB＝．【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．【详解】解：∵AB⊥y轴，∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2，∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型．2．如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴负半轴上，，求△ACO的面积．【答案】9【分析】作于点B，设点，根据题意可得，，且，最后根据三角形的面积公式计算求解即可．【详解】解析：如图，过点A作轴，垂足为点B，设点A坐标为，则．又∵．∴，∴，∴．又∵点A在反比例函数的图象上，∴代入得，∴．故答案为9．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义、等腰三角形的性质等，熟悉掌握反比例函数的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积．【答案】3【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．【详解】解：∵点D是函数y2＝（x＞0）图象上的一点，∴△AOD的面积为，∵点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形，∴矩形ABCO的面积为4，∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义．4．如图，点M是反比例函数图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数图像于点N．(1)若点M（，3），求点N的坐标；(2)若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．【答案】(1)(2)不变，5【分析】（1）将y=3代入，求得点N的坐标；（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变．（1）∵MNy轴，∴点M、N的y值相等，将y=3代入，得，∴；（2）不变，如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，∵MNx轴，点M和点N分别在函数和函数图象上，∴，∴，∴S△PMN=5，∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+b与双曲线交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．(1)求a，b，k的值；(2)求△OAB的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)a=-1，b=4，k=3(2)4(3)存在，P（-2，0）或（10，0）【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积求得△AOB的面积；（3）根据题意得到PC•OD=12，即=12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．（1）将点A（1，3）代入y=得：3=，解得k=3，故反比例函数的表达式为：y=，将点B（3，m）代入y=得：m=1，故点B（3，1），将点A（1，3），B（3，1）代入y=ax+b，得，解得；故a=-1，b=4，k=3；（2）由一次函数y=-x+4可知，D（0，4），C（4，0），则△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积=-=4；（3）∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．∴PC•OD=12，即=12，∴PC=6，∴P（-2，0）或（10，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．6．已知点为函数（）图象上任意一点，连接并延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接．(1)如图1，若点的坐标为，求及点的坐标；(2)如图2，过点作，垂足为，求四边形的面积．【答案】(1)(2)4【分析】（1）先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点C的横坐标，即可解决；（2）设出A点坐标，由得到B点坐标，由于轴，，可以得到轴，由此写出点D坐标，由于轴，且点C在图象上，求出点C的坐标，故可以得到BC和BD的长度，进而求得和的面积，进而求解．（1）解：将点坐标代入到反比例函数中得，，∴，∴点的坐标为．∵，，∴点的坐标为．∵轴，∴点的纵坐标为2，令，则，∴，∴点的坐标为；（2）解：设．∵，∴点的坐标为．∵轴，∴轴，又∵，∴轴，∴点的坐标为．∵轴，且点在函数图象上，∴∵，．∴四边形的面积为．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．7．如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由轴，轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入即可得出点A、C的坐标；（2）设，由（1）同理得，即可得出△ABC的面积；（3）延长BC交x轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题．（1）解：（1）∵轴，B（1，2），∴当x＝1时，y＝1，即C（1，1），∵轴，∴当y＝2时，x＝，即；（2）解：当点B是（x＞0）的图象上任意一点时，设，由（1）同理得，∴S△ABC＝AB×BC＝；（3）解：延长BC交x轴于D点，∵轴，轴，则∠ABC＝90°，∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴CD⊥x轴，∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，∴∠CB'O＝∠ABC＝90°，∴CB'⊥OA，∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA，∴CD＝CB'，在Rt△OCD和Rt△OCB'中，，∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），∴，由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝，∴四边形OABC的面积为．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练的运用反比例函数的性质是解本题的关键．8．如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，求△ABO的面积．【答案】4【分析】设A（a，），则C（a，），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得结果．【详解】解：设A（a，），则C（a，），∵CA＝2，∴，解得a＝1，∴A（1，3），C（1，1），∴B（3，1），作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE，∴S△ABO＝S梯形ABED=（1＋3）（3﹣1）＝4；故答案为：4.【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，准确计算是解题的关键．9．如图是反比例函数与反比例函数在第一象限中的图象，点P是图象上一动点，PA⊥X轴于点A，交函数图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数图象于点D，点D的横坐标为a．（1）用字母a表示点P的坐标；（2）求四边形ODPC的面积；（3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形．【答案】（1）P（2a，）；（2）2；（3）见解析【分析】（1）先求出点D的纵坐标得到点P的纵坐标，代入解析式即可得到点P的横坐标；（2）利用矩形的面积计算公式及反比例函数k值的几何意义，利用，即可求出答案；（3）证明△DPC≌△EAC，即可得到结论．【详解】解：（1）∵点D的横坐标为a，且点D在函数图象上，∴点D的纵坐标，又PB⊥y轴，且点P在图象上，∴点P的纵坐标，∴点P的横坐标为x＝2a，∴P（2a，）；（2）∵，，∴；（3）∵PA⊥x轴于点A，交函数图象于点C，∴点C的坐标为（2a，），又P（2a，），∴PC＝CA＝，∵DP∥AE，∴∠PDE＝∠DEA，∠DPA＝∠PAE，∴△DPC≌△EAC，∴DP＝AE，∴四边形DAEP是平行四边形．【点睛】此题考查反比例函数的性质，反比例函数图象与几何图形，平行四边形的判定定理，反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键．10．如图所示，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积．【答案】【分析】根据点A的坐标，轴，确定,A，B的纵坐标相等，借助反比例函数解析式确定点B的坐标，利用坐标与线段的关系求出AB，AD的长即可求解．【详解】解：，轴，、两点的纵坐标相同，点在双曲线之上，，，，．【点睛】本题考查了反比例函数的图像，解析式，坐标与图像的关系，坐标与线段的关系，熟练运用点的坐标与函数解析式的关系确定点的坐标是解题的关键．11．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P（1，4）在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B（1，m），求k，m的值及△POB的面积．【答案】k=4，m=2，．【详解】试题分析：将点P的坐标代入C1的解析式即可求出k的值；将点B的横坐标代入C2的解析式即可求出m的值；S△POB=S△POA－S△BOA，由反比例函数k的几何意义可以分别求出S△POA、S△BOA的值.试题解析：∵P（1，4），∴k=4；∵B（1，m），C2解析式为：y=，∴m=2；S△POB=S△POA－S△BOA=2－1=1.点睛：掌握反比例函数k的几何意义.12．已知，反比例函数和的部分图象如图所示，点P在上，PC垂直x轴于点C，交于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交于点B，连接OA，OB．（1）求B点和P点的坐标；（2）求四边形AOBP的面积．【答案】（1）B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）；（3）4【分析】（1）由题意可知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，分别代入反比例解析式，得到点P和点B的坐标；（2）由题意，利用矩形的面积减去两个三角形的面积，即可得到答案．【详解】解：（1）由题意知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，∵P点在上，把代入得，∴P点的坐标为（2，3），B点的纵坐标为3．又∵B点在上，把代入得，∴B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）．（2）如图，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD=，用S表示图形的面积，由题意得：，，，=4．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．13．如图，过轴上的一个动点作轴的平行线，交双曲线与点，交双曲线于点，点、点在轴上运动，且始终保持，求平行四边形的面积？【答案】14【分析】先作AP⊥x轴，BQ⊥x轴，把平行四边形ABCD的面积转化成矩形ABQP的面积，然后利用k值的几何意义求解即可.【详解】解：作AP⊥x轴，BQ⊥x轴，∵S平行四边形ABCD=AB•AP，S矩形ABQP=AB•AP，∴S平行四边形ABCD=S矩形ABQP，∵点A在上，点B在上，∴S矩形APOM=4，S矩形BQOM=10，∴S矩形ABQP=S矩形APOM+S矩形BQOM=4+10=14，∴S平行四边形ABCD=14.【点睛】本题考查反比例函数中k值的几何意义，熟练应用k值的几何意义是解题的关键.14．如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为多少？．【答案】8【分析】由反比例函数比例系数k的几何意义可求出S△AOC＝S△ODB＝2，再根据等底等高的三角形的面积相等可得S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2，从而四边形ACBD的面积可求.【详解】解：∵过函数y＝﹣的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC＝S△ODB＝|k|＝2又∵OC＝OD，AC＝BD，∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2，∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×2＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于.15．如图，直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边垂直轴，垂足为，已知，点，，均在反比例函数的图象上，分别作轴于，轴于，延长，交于点，且点为的中点．求点的坐标；求四边形的面积．【答案】（1）点的坐标是；（2）．【分析】①因为，设点，根据反比例函数解析式可得出A,C,B的坐标;②由点A的坐标可得出EF,AQ的长度，又点为的中点，所以PF=，设点P坐标，因为P在图像上，所以可得出△OPF面积，同理得出△AOD的面积，四边形AOPE的面积=，即可得出答案.【详解】解：∵，∴，∴，设点，则，解得：或（不合题意，舍去）∴点的坐标是，∴点的坐标是，∴点的坐标是∵点的坐标是，∴，∴，∵点为的中点，∴，设点的坐标是，则∵点在反比例函数的图象上，∴，，∴，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴．【点睛】本题考查了反比例函数与直角三角形的结合，熟悉掌握面积的表达式以及正切的定义是解决本题的关键.16．如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点A，交函数的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，边接AC．（1）当点P的坐标为（1，0）时，求△ABC的面积；（2）当点P的坐标为（1，0）时，在y轴上是否存在一点Q，使A、O、Q三点为顶点的三角形△QAO为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．（3）请你连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．【答案】（1）；（2）Q的坐标为（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）;（3）见解析.【分析】（1）根据P点坐标先求出A，B两点坐标，然后求出C点坐标，得到AB=3，BC=，再利用三角形面积公式求解即可；（2）如图①，先求得OA=，再分OA=OQ，AQ=AO，QO=QA三种情况，分别求出Q点坐标即可；（3）如图②过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，因为点P的坐标为（t，0），所以点A的坐标为（t，），点B（t，），点C（，），由图②可知S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP，进而可得到关于t的方程，然后解方程即可.【详解】解：（1）当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，∵点A在反比例函数y=上，点B在反比例函数y=上，∴点A（1，1），点B（1，4），∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为4，又∵点C在y=上，∴点C的坐标为（，4），∴AB=3，BC=，∴S△ABC=×BC×AB=；（2）如图①所示：OA==，①若OA=OQ，点Q位于Q1或Q2位置，此时Q1（0，﹣），Q2（0，）；②若AQ=AO，点Q位于Q3位置，此时Q3（0，2）；③若QO=QA，点Q位于Q4位置，此时Q4（0，1）；则Q的坐标为（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）；（3）过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，如图②所示：∵点P的坐标为（t，0），∴点A的坐标为（t，），点B（t，），点C（，），∴S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP=1+（+）×（t﹣）﹣﹣=；故△OAC的面积不随t的值的变化而变化．17．平面直角坐标系中，点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，点B在y2＝－（x＜0）的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b：（1）当|a|＝|b|＝5时，求△OAB的面积；（2）当AB∥x轴时，求△OAB的面积；（3）当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求a·b的值.【答案】2；2；－2.【详解】试题分析：根据题意分析得出点A和B的坐标，然后计算面积；分别设出点A和B的坐标，根据平行得出a和b的关系，然后进行计算面积；根据题意得出点A、B的坐标，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得出等式，然后求出a·b的值.试题解析：（1）∵a＞0，b＜0，当|a|＝|b|＝5时，可得A（5,）,B(－5,)∴S△OAB＝×10×＝2（2）设A（a,）,B(b,)，当AB∥x轴时，＝，∴a＝－b∴S△OAB＝×（a－b）×＝×2a×＝2（3）设A（a,）,B(b,)，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形,OA＝OB由OA2＝a2＋()2,OB2＝a2＋()2，∴a2＋()2＝b2＋()2整理得：（a2―b2）（1）＝0∵AB与x轴不平行，∴|a|≠|b|,∴1＝0∴a·b＝±2∵a＞0，b＜0，∴a·b＝－2考点：反比例函数的性质.18．如图，直线与反比例函数的图象只有一个交点．(1)求反比例函数的解析式；(2)在函数的图象上取异于点的一点，作轴于点，连接交直线于点.设直线与轴交于点，若的面积是面积的倍，求点的坐标．【答案】(1)(2)，【详解】分析：(1)直线与双曲线只有一个交点，则把它们的解析式联立整理为一元二次方程后，方程的判别式为0；(2)由k的几何意义求得S△OBC，得到S△EOF，又OE＝4，根据△EOF的面积求F有横坐标.详解：(1)根据题意得，整理得4x2－12x＋3k＝0，△＝(－12)2－4×4×3k＝0，解得k＝3，所以反比例函数的解析式为；(2)设F(a，)，则E(0，4).∵S△OBC＝，∴S△EOF＝，∴×4×a＝，解得a＝，则＝1，所以F(，1).点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数只有一个交点，意味着将它们的解析式联立整理成为一元二次方程后的根的判别式为0.过反比例函数(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足，原点，P点组成一个矩形，矩形的面积．过反比例函数上一点，作垂线，三角形的面积为．19．平面直角坐标系xOy中，已知函数（x＞0）与（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数（x＞0）图象上的两点，点P是（x＜0）的图象上的一点，且轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．(1)求△APQ的面积；(2)若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；(3)若△OAB是以AB为底的等腰