工程接触问题的正确求解

工程接触问题的正确求解

0接触问题的数值分析方法接触问题通常存在于机械、土木工程、水保护等领域，例如，齿轮连接、金属结构压碎、桩、挡土墙、隧道锁等结构与周围岩石的接触，以及水库之间的连接，包括薄弱结构表面的岩体。各接触体之间的接触性质很大程度上决定了结构的变形、运动和应力分布。如何确定两个或多个相互接触体接触区域的大小和接触界面上的应力分布,进而推求接触体的受力和变形,便是接触问题研究的内容。因此接触问题的研究一直受到人们的重视。接触问题的突出特征是高度非线性,即除大变形引起的材料非线性和几何非线性以外,还有接触界面的非线性,这是接触问题所特有的。接触界面非线性来源于两个方面:一是接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅都是未知的,而且是随时间变化的,需要在求解过程中确定;二是接触条件非线性,接触条件的内容主要为无侵彻条件及切向接触的摩擦条件,接触条件的特点是单边性的不等式约束,具有强烈的非线性。接触问题在数学归类中隶属于自由边值问题,该问题的解析结果极少,对于许多复杂的实际工程中遇到的接触问题,要建立一个完美的数学模型来模拟真实情况并求得精确解析解是不可能的。随着计算机技术及各种数值解法的兴起和发展,寻求能比较精确地满足实际问题的接触问题数值分析方法成为可能。下面分别从接触力学角度和不连续介质力学角度对现有工程接触问题的多种数值分析方法进行分类阐述,并从求解效率、精度、收敛性、适应性等方面加以分析。1接触力学中的接触问题价值分析在接触力学中,接触问题的数值模型有互补类变分等式提法(VE)和变分不等式提法(VI)1.1接触状态的修改直接迭代法求解接触问题时,先假设初始接触状态以形成总刚度矩阵,求解整体方程得出位移和接触力,然后根据接触条件不断修改接触状态,重新形成刚度矩阵求解,反复迭代直至收敛。由于总刚度矩阵中只有与接触面有关的部分才需要作变动,因此为了节省计算成本,提高计算效率,相继提出了子结构法、柔度法1.2接触约束条件的乘子法拉格朗日乘子法(Lagrangianmultipliermethod)是通过用力学意义为接触力的拉格朗日乘子λ乘以无侵彻条件,引入接触约束定解条件的附加泛函式中,g为间隙(包括切向间隙)。与原问题不包含接触约束条件的总位能Π(U)一起构成修正的泛函,将约束条件极值问题转化为无条件极值问题拉格朗日乘子法可以精确地满足接触约束条件,但是由于拉格朗日乘子的引入,即对每个接触对引入了一个新的未知量，增加了方程的自由度数，扩大了系统的求解规模，而且求解方程的系数矩阵不再保持正定，对每一个乘子项，都在对角线上为零值，必须采取适当的方法以保证方程求解的收敛性和稳定性。为了克服拉格朗日乘子法中系数矩阵存在零主元的弱点,在修正泛函式(2)中增加一惩罚项式中,E与式(2)相比,由于多了λ的二次项,经变分后得到的有限元计算格式中对应于λ的主对角元素不再为零,总体刚度矩阵不再为奇异矩阵。当罚因子E1.3附加泛函式的构造罚函数法(penaltymethod)是用罚函数引入接触约束定解条件的附加泛函式中,α称为罚参数或罚数;g的意义同前。与原问题不包含接触约束条件的总位能Π(U)一起构成修正的泛函,将约束条件极值问题转化为无条件极值化问题与拉格朗日乘子法相比较,罚函数的优缺点正好相反。罚函数法的最大优点1.4迭代方法及其应用由于拉格朗日乘子法和罚函数法各有优缺点,将它们联合起来,便形成了各种增广拉格朗日乘子法(augmentedLagrangianmethod)构造修正的势能泛函通过应用以上方法均属于迭代方法。迭代法每一增量步都有一个试探、校核的迭代过程,力学概念清楚,过程相对简单,易于实施。其中直接迭代法主要用来求解中小规模小变形接触问题,而拉格朗日乘子法、罚函数法、增广拉格朗日乘子法已被装入大型结构分析商业软件(ANSYS、ABAQUS、MSC.MARC、ADINA、LS-DDYNA3D等)中,已能求解较为复杂和规模较大的静、动态大变形粘弹塑性接触非线性问题。但是迭代法的收敛性至今尚无理论结果1.5互补条件与接触问题描述与迭代法不同,数学规划法具有严格的数学理论基础,算法的收敛性可以得到保证,且其精度可以被控制,因此人们又寻求用数学规划法求解接触问题,将接触问题转化为二次规划、互补问题等已有的数学规划模型,采用相应的算法求解。它最早用来求解无摩擦接触问题,由于无摩擦接触系统是保守系统,因此可形成标准二次规划模型。对有摩擦接触问题,系统为非保守系统,无法直接归结为标准二次规划模型求解。首先要将摩擦条件表示成互补形式,方法一是利用凸分析理论,把摩擦条件写成带导数的互补形式;方法二是引入惩罚因子,仿照塑性力学将摩擦接触条件表示成有惩罚因子的互补形式。然后利用上述互补关系,通过参变量变分原理但线性互补方法的不足是:(1)在二维问题中,需通过额外引入m个松弛变量(m为可能的接触点对数)才能将问题转化为线性互补问题。(2)在三维问题中,需用多面体棱锥近似代替库仑摩擦圆锥,导致解的精度降低;另外,需额外引入m(n-2)个松弛变量(n为棱锥面数),导致问题规模过大,计算效率降低。(3)采用Lemke方法求解时,有时会因为与摩擦因数有关的矩阵R应当说明的是,上述1.1~1.5中介绍的各种接触问题数值方法大多数是结合有限元方法而发展的,属于有限元方法。随着边界元法和无单元法在固体力学研究中的深入,以及这两种方法某些方面优于有限元法的特点,在上述算法的基础上,人们又将边界元法和无单元法思想引入求解工程接触问题,产生了基于边界元法和无单元法及有限元法三者互相耦合2接触本构模型随着工程实践的发展和认识领域的不断深化,不连续介质力学问题日益受到人们的关注。特别是在岩石工程中,岩体结构由大量节理、裂隙、构造断层等不连续结构面和由这些软弱结构面切割而成的大小不等、形状不一的岩块组成,在外来作用力下,这些结构面往往会发生不同程度的滑移、张开、闭合、转动等不连续变形,具有很强的不连续性。与接触力学相比,岩石工程中的接触问题要复杂得多,主要表现在接触界面数量多,接触面积较大,而且界面本构行为更加复杂。为了合理地描述岩土材料以及其他不连续介质的接触力学行为,人们又相继提出了适宜模拟不连续介质力学行为的数值分析方法,如离散单元法、刚体弹簧元法、界面元法、非连续变形分析法和数值流形法等。目前最具代表性的有离散单元法、非连续变形分析法等。离散单元法(DistinctElementMethod,DEM)非连续变形分析法(DiscontinuousDeformationAnalysis,DDA)除了上述方法外,还有一类在接触力学及不连续介质力学中求解接触问题广泛应用的数值分析方法,其共同特点是通过在接触界面上设置接触单元,将具有不连续位移的接触非线性问题转换为连续介质的材料非线性问题。当某接触单元出现法向拉应力或超过抗拉极限时,单元开裂丧失抗拉刚度,以此模拟接触界面的张开状态,其张开度用该单元节点对法向相对位移表示;当接触单元按相应本构关系屈服时,单元进入塑性变形阶段,接触面相互滑移,滑移量以单元节点对切向相对位移表示;当接触单元既无开裂又无塑性变形时,则以此模拟接触界面的粘结状态。从这个研究角度出发提出的数值模型种类繁多,有代表性的如Goodman节理单元(1968)、间隙单元(GapElemnet,1979)、Desai薄层单元(1984)、Fenves空间8节点无厚度接触单元(1989)、Katona2节点接触摩擦单元(1983)、雷晓燕6节点二维接触摩擦单元(1994)等。这些单元可按厚度划分为无厚度接触单元、等厚度接触单元和变厚度接触单元,以适应求解有无初始间隙及裂隙有无填充物的接触问题。这类方法的优点是简化了接触非线性问题的难度,概念明确,易于理解,具有与普通单元一样的处理方法,总体控制方程的形成可借助成熟的非线性有限元法或边界元法,采用增量迭代法求解。不足之处是存在以下问题:无厚度单元可能出现点对互相嵌入的不合理现象;薄层单元厚度如何取值;界面本构关系中各参数如何确定;多节点单元接触状态判定复杂等,这些无疑都影响着解的精度。而且由于采用迭代法求解,同样面临求解效率及解的收敛性等问题。3使用接触力学方法的必要性几十年来,由于计算机技术和数值计算方法的发展,人们已能相当精确有效地解决许多实际的复杂接触问题,但由于需要研究的接触问题涉及的领域广、难度大,无论是理论方面还是数值计算方面,都还有许多问题亟待广大科技工作者作进一步的深入研究。单就本文中介绍的几种方法看,每种方法都有其不同的优缺点和适应性。可以说迄今尚未有或者根本不存在通用的求解接触问题的一般方法。为此,笔者提出以下建议:(1)在目前没有一种方法一枝独秀的情况下,大多数方法在效率、精度、收敛性及适应性方面都有继续深入研究完善的必要。相对较好的算法之间要互相借鉴,取长补短,用耦合的方法解决一些实际问题。特别在用接触力学方法解决多体接触问题时,是否可考虑借鉴一下不连续介质力学方法如DDA的思想。(2)求解接触问题的算法不外乎迭代法和数学规划法。迭代法虽然缺乏收敛性的数学基础,但因其过程简单和易于实施,许多大型商业通用程序均采用了迭代法求解,所以应继续进行接触问题迭代法收敛性方面的研究。数学规划法避免了繁琐迭代,收敛性可以得到保证,因此应加大这方面的研究,尽快研制出成熟的计算软件,进入工程应用。(3)界面本构关系是接触条件的一个重要组成部分,直接影响着计算的成败。不同的工程结构,必须研究采用能够正确描述界面摩擦机理的本构关系。当然,随着研究的深入、新的数学理论的引进