接触问题数值计算方法综述

接触问题数值计算方法综述

接触问题包括应力集中、边界非线性、材料或几何非线性和其他问题。物体之间的接触可以是对称的，也可以是不对称的，并且可能存在弹性接触和弹塑性接触。摩擦接触不能发生。这可能是一维接触，也可能是二维接触。接触状态分为粘度、分离、滑动等。通过分析，分析接触问题只局限于简单问题，而工程中遇到的实际接触问题的结构形状、边界形状和接触状态非常复杂，因此通常无法获得分析解。随着计算机技术的发展，金元等数值计算方法成为工程中遇到的复杂问题。在结构分析中,有限元法是分析接触问题有效通用的方法,以有限元为基础的接触问题数值解法,又可分为直接迭代法、接触约束算法和数学规划法等.1其他有限元模型材料迭代法是解决非线性问题的常用方法,在接触问题中首先得到了应用.该方法首先对小载荷下接触区域作初始接触状态估计,根据接触条件对工作载荷下的接触状态不断地迭代、修改直至收敛.在计算中,每次迭代都要重新形成刚度矩阵,求解控制方程,工作量较大,因此,采用静力凝聚技术,使得每次迭代只是对接触点进行,提高了求解效率.另外,还有虚力法有限元混合法在弹性接触问题的求解中也得到较广泛的应用,它以结点位移和接触力为未知量,采用有限元形函数插值,将接触区域的位移约束条件和接触力约束条件均反映到刚度矩阵中,构成有限元混合法控制方程式中:K为刚度矩阵;u为未知结点位移向量;f为结点荷载向量;J为接触力约束矩阵;L为位移约束矩阵;c为接触力向量.对弹塑性接触问题,在求解过程中接触非线性和材料非线性都需要迭代求解.通常利用系统刚度矩阵的变化来反映材料非线性的影响,在每次塑性修正迭代过程中要结合对接触状态的判断进行接触迭代计算.在用迭代法求解接触问题,尤其是有摩擦接触问题时,为了保证收敛得到正确的结果,荷载增量要受到一定的限制2接触约束算法接触问题可描述为求区域内位移场U,使得系统的势能Π(U)在接触边界条件的约束下达到最小,即接触约束算法是通过对接触边界约束条件的适当处理,将式(2)的约束优化问题转化为无约束优化问题求解,可分为罚函数方法和Lagrange乘子法等.1惩罚函数法接触约束条件罚函数方法是将接触非线性问题转化为材料非线性问题.根据处理方法的不同又可分为障碍函数法和惩罚函数法.障碍函数法假设接触面之间充满某虚拟物质,在未接触时其刚度趋于0,不影响物体的自由运动,在接触区域其刚度变得足够大,能阻止接触物体的相互嵌入.惩罚函数法对接触约束条件的处理是通过在势能泛函中增加一个惩罚势能式中:E以位移U为未知量,系统控制方程为罚函数方法不增加系统的求解规模,又由于人为假设了很大的罚因子,可能引起方程的病态2lagrange乘子法Lagrange乘子法通过引入乘子λ,定义接触势能将式(2)的约束最小化问题转化为无约束最小化问题通常,可将g(U)对位移场U作Taylor展开,取其一次项有将式(8)代入式(7),可得以位移场U和Lagrane乘子λ为基本未知量的系统控制方程Lagrange乘子法中接触约束条件可以精确满足,由于Lagrange乘子的引入,系统的求解规模增大了,而且在控制矩阵中出现了0主元,必须采取适当的方法以保证方程的求解.3增广lagrange乘子法由于罚函数方法和Lagrange乘子法各有优缺点,人们自然就想到了两者的联合使用,从而形成了各种增广Lagrange乘子法.其中,最直接的一种方法是构造修正的势能泛函相应的控制方程为考虑到Lagrange乘子的物理意义,可将其用接触点对的接触应力代替,通过迭代计算得到问题的正确解当罚因子E3次规划线性互补模型接触问题的数学规划法是基于势能或余能原理,是利用变分不等式等现代数学方法导出的,理论上比较严格和直观.最初该方法是针对无摩擦接触问题提出的式中:Δu数学规划法解有摩擦接触问题,关键在于将摩擦条件表示成互补形式对摩擦条件的另一种处理方法是引进惩罚因子,仿照塑性力学将摩擦接触条件表示成有惩罚因子的互补形式式中:φ=|P有了上述摩擦接触条件的互补关系,利用参变量变分原理或虚功原理建立摩擦接触问题的有限元二次规划(线性互补)模型.对三维摩擦接触问题,为了能利用线性互补方法求解,通常以多面体棱锥近似代替Coulomb圆锥数学规划方法在弹塑性接触问题上的应用,通常用迭代法反映材料非线性特征,在每次迭代中用数学规划方法求解接触问题4接触域的基于增量迭代的求解边界元法吸收了有限元的离散技术,只需将求解域的边界划分成单元.对于接触问题,确定接触区域的大小和接触压力的分布规律的问题,局限于问题的边界上,故采用边界元法比有限元法更为有效.人们在处理接触表面的单元处于接触状态时大都采用了接触点对的耦合形式来求解方程组,以接触点对所在单元为小变形的假设来满足接触区域的位移协调性及面力平衡条件式中:对公式(20)可按增量迭代理论进行求解,在求解过程中应满足黏接状态、滑动状态、分离状态的判定条件.对于无摩擦的接触问题,不存在能量的耗散,可以加上全部载荷通过迭代逐步确定接触区域的大小.对于接触域边界附近的节点,可通过检验接触面力是否小于零;对于接触域外边界附近的节点,可通过检验节点的协调条件、即节点位移是否贯入到对应的物体域内,以此来确定最终的真实接触状态.对于有摩擦的接触问题,在接触过程中存在着能量的耗散,接触物体的变形过程与加载过程有关.必须采用增量理论,在每个增量步长范围内通过迭代寻求实际的接触状态,通过面力平衡条件与位移协调条件来确认每个增量步长范围内的接触区域的情况,逐步求得整个接触区域的真实接触状态在实际工程中,接触物体的形状及加载形式通常具有非对称性,尤其当产生较大的变形时,事先根本无法知道接触区域的准确位置,使用近似的接触点对来描述这种情况具有很大的困难,这就迫使人们去寻找一种非协调离散的数值方法来处理这种情况.文献在近期研究中,文献5接触问题的有限元分析和边界元法研究针对接触问题数值分析的派生方法有很多,目前在结构工程上广泛应用的是有限元法中的罚函数法、Lagrange乘子法和增广Lagrange乘子法,并且有依据约束优化算法开发的通用计算机软件ANSYS和MARC.对于多目标规划问题、较复杂结构的接触问题和对精度有较高要求的接触计算,2个通用计算软件就不够用.笔者认为对于结构工程中的接触问题的研究在以下几个方面有待深入:1)基于实验力学的反迭代分析法的研究,对于工程