2023年人教版八年级上册数学考点预习：专题11 全等三角形的判定（SSS、SAS）原卷+解析版

专题11全等三角形的判定（SSS、SAS）新知预习（一）全等三角形的判定（SSS）（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（SAS）（1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:图12-2-5在△ABC和△ABC′中,AB=A′B′∠A=∠AAC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等新知训练考点1：用SSS证明三角形全等典例1：（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，AD与BC交于点E，CE=DE，EA=EB，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．【变式1】（2023春·七年级课时练习）已知：AC与BD交于点O，AB=CD，AD=CB．求证：OD=OB(规范证明过程)证明：在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB______∴∠______=∠______在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB______∴OD=OB．【变式2】（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，AE=FC．求证：△ABC≌△FDE．【变式3】（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN.考点2：全等的性质与SSS综合典例2：（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）如图，AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E，由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中3个正确结论（不要添加字母和辅助线，并对其中一个给出证明）结论1：结论2：结论3：证明：【变式1】（2022秋·青海西宁·八年级校考期中）如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：∠3=∠1+∠2．【变式2】（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）华师大版初中数学教科书八年级上册第61−74页告诉我们作一个三角形与已角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≅△ABC．作法：如图．（1）画B'C=BC；（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B，A'C，则△A'B'C'即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：(1)在作图过程中创造的全等条件是．(填写全等的判定方法)(2)如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF．求证：∠A=∠D．【变式3】（2022秋·山东威海·七年级统考期末）如图，点E在BD上，AE=CE，AB=BC．求证：AD=CD．考点3：用SAS证明三角形全等典例3：（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）已知：如图，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD．求证：△AOD≌△BOC．【变式1】（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，已知EC=BF，AC∥DF，AC=DF，求证：AB=DE．【变式2】（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，已知：AD=BC，AD∥BC，E，F是AC上两点，且AF=CE．求证：DE=BF．证明：∵AD∥BC（已知）∴∠_______=∠_______（两直线平行，内错角相等）∵AF=CE（已知）∴（等式的基本性质）即AE=CF在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（

）∴DE=BF（

）【变式3】（2023春·七年级课时练习）如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求考点4：全等的性质与SAS综合典例4：（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，AC、BD交于M．(1)如图1，当α=90°时，∠AMD的度数为；(2)如图2，当α≠90°使，求证：△BOD≌(3)如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系?如果存在，请直接写出数量关系；若不确定，说明理由．【变式1】（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=________度；(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整；写出此时α与β之间的数量关系，并说明理由．【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC,CD上，BM=CN，连接AM,BN相交于H．(1)求证：△ABM≅△BCN；(2)求∠AHB的度数．【变式3】（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°．(1)若EA是∠BEF的角平分线，求证：FA是∠DFE的角平分线；(2)若BE=DF，求证：EF=BE+DF．新知检测1．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，点E在线段AB上，若∠AED+∠BCE=52°，则∠ACD的大小为（）A．25∘ B．26∘ C．27∘3．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期中）如图，AD，BC相交于点O，且AO＝DO，BO＝CO，则△ABO≌△DCO，理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：下列关于小聪作法的理由，叙述正确的是（

）A．由SSS可得△O'B．由SAS可得△O'C．由ASA可得△O'CD．由“等边对等角”可得∠5．（2023秋·八年级单元测试）如图,∠ABC=∠DCB=70°,∠ABD=40°,AB=DC,则∠BAC=（

）A．70° B．80° C．100° D．90°6．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）如图，已知AB=AD，BC=DE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF的度数为（

）A．120° B．135° C．115° D．125°7．（2023春·七年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，点B到AC的距离为2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．38．（2022秋·八年级课时练习）图中是全等的三角形是（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS10．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA11．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圆形容器的壁厚是（）A．1厘米 B．2厘米 C．5厘米 D．7厘米12．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）下列命题正确的是（

）A．两个等边三角形全等B．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等D．有一个锐角相等的两个直角三角形全等13．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，在△PAB中，PA=PB，D、E、F分别是边PA、PB、AB上的点，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，则∠P的度数为（

）A．150° B．112° C．120° D．146°14．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（

）①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AEA．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤15．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE=BC，连接DE．若∠ADE=30°，则A．60° B．71° C．75° D．76°二、填空题16．（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌17．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB=AC，若使△ABD≌△ACD，则需要补充一个条件_____________．18．（2023秋·福建福州·八年级阶段练习）如图，∠1=∠2，CD=BD，可证△ABD≌△ACD，则依据是_________．19．（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，为了测量池塘两端点A，B间的距离，小亮先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE．现测得DE=30米，则AB两点间的距离为__________米．20．（2023春·七年级课时练习）如图，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，将CD绕D逆时针旋转90°至DE，连接AE，若AD=3，BC=521．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件___时，即可以根据“SSS”得到△ABC≌△FED．22．（2023·全国·八年级假期作业）下列命题中逆命题成立的有_____（填序号）．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．23．（2022秋·云南大理·八年级校考期中）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，AD=AC，BC=BD，∠C=∠D=90°，求证：△ABD≌△ABC”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：_______（写出所有符合条件的结果）．24．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）如图，已知：等边△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE=DC，CE，BD交于点F．过点E作EG⊥BD于G，则线段CF，FG和BD的数是关系用等式表示是____________．25．（2023秋·八年级单元测试）如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AD=AB=6km，CD=CB=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l三、解答题26．（2023春·七年级课时练习）已知：三角形ABC中，AB=AC，证明：∠B=∠C．（取边BC中点D，连接AD）27．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD．以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝2cm，求BE的长．28．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：△ABC≌△ADC．29．（2022秋·江苏·八年级专题练习）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．30．（2023春·江苏·八年级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OE=OF，OB=OD．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)求证：BE∥31．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知：如图，BC=EF，AD=BE，AC=DF．求证：BC∥EF．32．（2023春·全国·八年级专题练习）正方形ABCD的边长为4，点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向点C运动．AE交BD于点F，DG⊥AE于点G，∠DGE的平分线GH分别交BD，CD于点P，H，连接FH，FC．设点E的运动时间为t．（1）在点E的运动过程中，∠DHG与∠DFC有什么数量关系？请证明你的结论；（2）当AE把正方形ABCD的面积分成1:2两部分时，请直接写出t的值．33．（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门第二中学校考期中）已知：如图，点B、C、F、E在同一条直线上，AB=DE，BF=CE，∠B=∠E．求证：∠A=∠D．34．（2023春·八年级课时练习）如图1，直线AB的解析式为y=kx+6，D点坐标为8,0，O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上．(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，在x轴上是否存在点F，使△ABC与△ABF的面积相等，若存在，求出F点坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图3，过点G5,2的直线l:y=mx+b，当它与直线AB夹角等于45°时，求出相应m35．（2022秋·江苏南京·八年级南京师范大学附属中学江宁分校校考阶段练习）两个大小不同的等腰直角三角形的三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连结DC．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）判定BE和CD的位置关系，并说明理由．专题11全等三角形的判定（SSS、SAS）新知预习（一）全等三角形的判定（SSS）（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（SAS）（1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:图12-2-5在△ABC和△ABC′中,AB=A′B′∠A=∠AAC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等新知训练考点1：用SSS证明三角形全等典例1：（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，AD与BC交于点E，CE=DE，EA=EB，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．【答案】见解析【分析】利用线段的和证明BC=AD，再利用“边边边”即可证明结论．【详解】∵CE=DE，EA=EB，∴CE+EB=DE+EA，即BC=AD，在△ABC和△BAD中，AC=BD∴△ABC≌△BAD（SSS）【点睛】本题只要考查三角形全等的证明，解题关键是找到两个三角形的对应边或对应角的相等关系．【变式1】（2023春·七年级课时练习）已知：AC与BD交于点O，AB=CD，AD=CB．求证：OD=OB(规范证明过程)证明：在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB______∴∠______=∠______在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB______∴OD=OB．【答案】AB=CD，AD=CB，BD=DB，SSS，1，2，∠AOD=∠COD，∠1=∠2，AD=CB，AAS．【分析】利用SSS证明△ABD≌△CDB，可得∠1=∠2，再利用AAS证明△AOD≌△COB，进而可得OD=OB．【详解】证明：在△ABD和△CDB中，AB=CD∴△ABD≌△CDB∴∠1=∠2在△AOD和△COB中，∠AOD=∠COD∴△AOD≌△COB∴OD=OB．故答案为：AB=CD，AD=CB，BD=DB，SSS，1，2，∠AOD=∠COD，∠1=∠2，AD=CB，AAS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解决问题的关键．【变式2】（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，AE=FC．求证：△ABC≌△FDE．【答案】详见解析.【分析】由AE=FC证得AC=EF，再利用SSS证明△ABC≌△FDE即可.【详解】证明：∵A，E，C，F在同一条直线上，AE=FC，∴AE+EC=EC+FC，∴AC=EF，在△ABC和△FDE中，AB=FDBC=DE∴△ABC≌△FDE（SSS）．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL，根据已知条件选择合适的判定方法是解决问题的关键．【变式3】（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN.【答案】见解析．【分析】根据AC＝BD，可得到AB＝CD，结合AM＝CN，BM＝DN，证明出△ABM≌△CDN，得到∠MBA＝∠D，进而证明出BM∥DN．【详解】证明：∵AC＝BD，∴AC＋BC＝BD＋BC，即AB＝CD，∵在△ABM和△CDN中，AB＝CD∴△ABM≌△CDN（SSS），∴∠MBA＝∠D，∴BM∥DN．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，此题难度一般．考点2：全等的性质与SSS综合典例2：（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）如图，AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E，由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中3个正确结论（不要添加字母和辅助线，并对其中一个给出证明）结论1：结论2：结论3：证明：【答案】结论1：△ABC≌△ADC结论2：∠BCA=∠DCA结论3：AC平分∠BAD证明结论3，见详解【分析】结合题意，得出三个结论；利用“SSS”证明△ABC≌△ADC，由全等三角形的性质即可证明AC平分∠BAD．【详解】结论1：△ABC≌△ADC结论2：∠BCA=∠DCA结论3：AC平分∠BAD证明结论3：在△ABC和△ADC中，AB=ADAC=AC∴△ABC≌△ADC(SSS∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD．【点睛】本题主要考查了全等三角的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【变式1】（2022秋·青海西宁·八年级校考期中）如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：∠3=∠1+∠2．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SSS即可判定△ABD≌△ACE；（2）由全等的性质得到对应角相等，然后通过外角的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，在△ABD和△ACE中，AB=ACAD=AE∴△ABD≌△ACESSS（2）证明：∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠1，∵∠3=∠BAD+∠ABD，∴∠3=∠1+∠2．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式2】（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）华师大版初中数学教科书八年级上册第61−74页告诉我们作一个三角形与已角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≅△ABC．作法：如图．（1）画B'C=BC；（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B，A'C，则△A'B'C'即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：(1)在作图过程中创造的全等条件是．(填写全等的判定方法)(2)如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF．求证：∠A=∠D．【答案】(1)SSS(2)见解析【分析】（1）利用作法得到B'C'=BC，B'A'=BA，C'A'=CA，则根据“SSS”可判断△A'B'C'≅△ABC；（2）先证明BC=EF，则根据“SSS”可判断ΔABC≅【详解】（1）解：根据作法得B'C'=BC，B'A'=BA，C'A'=CA，所以△A'B'C'≅△ABC(SSS)；故答案为：SSS；（2）证明：∵BE=CF，∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EF∴△ABC≅△DEF(SSS)，∴∠A=∠D．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．【变式3】（2022秋·山东威海·七年级统考期末）如图，点E在BD上，AE=CE，AB=BC．求证：AD=CD．【答案】见解析【分析】先根据已知条件证明△ABE≌△CBE，可得∠ABE=∠CBE，然后证明△ABD≌CBD即可得出结论．【详解】解：在△ABE和△CBE中，AE=CEAB=CB∴△ABE≌△CBE(SSS∴∠ABE=∠CBE，在△ABD和△CBD中，AB=CB∠ABD=∠CBD∴△ABD≌CBD(SAS∴AD=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．考点3：用SAS证明三角形全等典例3：（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）已知：如图，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD．求证：△AOD≌△BOC．【答案】见解析【分析】由∠AOC=∠BOD，可得∠AOD=∠BOC，再根据SAS即可得证．【详解】证明：∵∠AOC=∴∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD，即∠AOD=∠BOC．在△AOD和△BOC中，OA=OB∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOCSAS【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．【变式1】（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，已知EC=BF，AC∥DF，AC=DF，求证：AB=DE．【答案】见解析【分析】首先根据EC=BF得到BC=EF，然后由AC∥DF得到∠F=∠C，进而证明出△DEF≌△ABC，最后利用全等三角形的性质求解即可．【详解】∵EC=BF∴EC+BE=FB+BE，即BC=EF∵AC∥DF∴∠F=∠C又∵AC=DF∴△DEF≌△ABC∴AB=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握SAS证明三角形全等是解题的关键．【变式2】（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，已知：AD=BC，AD∥BC，E，F是AC上两点，且AF=CE．求证：DE=BF．证明：∵AD∥BC（已知）∴∠_______=∠_______（两直线平行，内错角相等）∵AF=CE（已知）∴（等式的基本性质）即AE=CF在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（

）∴DE=BF（

）【答案】A；C；AF−EF=CE−EF；AD=BC；∠A=∠C；AE=CF；SAS；全等三角形对应边相等．【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠C，根据等式的性质得到AE=CF，然后证明△ADE≌△CBF即可得到结论．【详解】证明：∵AD∥BC（已知）∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）∵AF=CE（已知）∴AF−EF=CE−EF(等式的基本性质)即AE=CF在△ADE和△CBF中AD=BC∠A=∠C∴△ADE≌△CBF(SAS)∴DE=BF(全等三角形对应边相等)故答案为：A；C；AF−EF=CE−EF；AD=BC；∠A=∠C；AE=CF；SAS；全等三角形对应边相等．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式3】（2023春·七年级课时练习）如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求【答案】(1)见解析(2)∠【分析】（1）由DE∥BC得到∠ABC=∠DEB（2）推导BE=BC，即∠BCE=【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=在△ABC和△DEB中，AB=DE∠ABC=∠DEB∴△ABC≌△DEB（SAS∴CD=CE；（2）解：∵△ABC≌△DEB，∴∠D=∵DE∥BC，∴∠FBC=∵∠∴∠EBC=40°∵BE=BC，∴∠BCE=∴∠F=40°【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．考点4：全等的性质与SAS综合典例4：（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，AC、BD交于M．(1)如图1，当α=90°时，∠AMD的度数为；(2)如图2，当α≠90°使，求证：△BOD≌(3)如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系?如果存在，请直接写出数量关系；若不确定，说明理由．【答案】(1)90°(2)见解析(3)存在；∠AMD=180°−α【分析】（1）证明△BOD≌△AOCSAS，得出∠OBD=∠OAC，根据∠AKM=∠BKO（2）根据SAS证明△BOD≌（3）证明△BOD≌△AOCSAS，得出∠OBD=∠OAC，根据∠AKO=∠BKM，结合三角内角和定理，得出∠AOK=∠BMK=α【详解】（1）解：如图1中，设OA交BD于K，∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠AOD=∠AOD+∠COD，即∠BOD=∠AOC，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK=90°，∴∠AMD=180°−90°=90°．故答案为：90°．（2）证明：如图2中，∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠AOD=∠AOD+∠COD，即∠BOD=∠AOC，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌（3）解：如图3中，设OA交BD于K，如图所示：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠AOD+∠BOC，即∠BOD=∠AOC，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKO=∠BKM，∴∠AOK=∠BMK=α，∴∠AMD=180°−α．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△BOD≌【变式1】（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=________度；(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整；写出此时α与β之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)90(2)①α+β=180°，证明见解析；②α=β，理由见解析【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°−α即可解题；②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．【详解】（1）解：∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；故答案为90．（2）①∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=180°−α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β，∴α+β=180°；②作出图形，∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴∠AEC=∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，∴α=β．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC,CD上，BM=CN，连接AM,BN相交于H．(1)求证：△ABM≅△BCN；(2)求∠AHB的度数．【答案】(1)见解析(2)72°【分析】（1）先由正五边形的性质得出AB=BC,∠ABM=∠C，再根据SAS证明即可；（2）由全等三角形的性质可得∠BAM=【详解】（1）∵正五边形ABCDE，∴AB=BC,∠ABM=∠C，∴在△ABM和△BCN中AB=BC∠ABM=∠C∴△ABM≅△BCNSAS（2）由（1）可知△ABM≅△BCN，∴∠BAM=∴∠BAM+∠ABH=∴∠AHB=180°−∠BAM+∠ABH【点睛】本题考查了正多边形的内角度数，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式3】（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°．(1)若EA是∠BEF的角平分线，求证：FA是∠DFE的角平分线；(2)若BE=DF，求证：EF=BE+DF．【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'≅△ADF，根据正方形的性质和全等三角形的性质，证明△AE（2）由（1）可得△AEF【详解】（1）如图：将△ADF绕点A顺时针旋转，使得AD与AB重合，得到△ABF∵△ABF'是由△ADF绕点∴△ABF∴∠BAF'=∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∵∠BAF∴∠BAE+∠BAF∴∠EAF∴∠EAF=∠EAF∵EA是∠BEF的角平分线，

∴∠AEF∵AE=AE，∴△AE∴∠AF又∵∠AF∴∠AFE=∠AFD，∴FA是∠DFE的角平分线；（2）由（1）可得△AEF∴EF=EF∵EF'=B∴EF=DF+BE【点睛】解题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的性质与判定和正方形的性质新知检测1．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根据题意两个三角形的三条边分别对应相等，即可利用“边边边”证明这两个三角形全等，即可选择．【详解】在△ABC和△ADC中，{AB=AD∴△ABC≅△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC，即∠QAE=∠PAE．∴此角平分仪的画图原理是SSS．故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．根据题意找到可证明两三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，点E在线段AB上，若∠AED+∠BCE=52°，则∠ACD的大小为（）A．25∘ B．26∘ C．27∘【答案】B【分析】由全等可得∠B=∠DEC，∠DCE=∠ACB，且∠AEC=∠B+∠BCE=∠AED+∠DEC，可得∠AED=∠BCE=26°，即可求∠ACD的度数【详解】解∵△ABC≌△DEC∴∠B=∠DEC，∠DCE=∠ACB∵∠AEC=∠B+∠BCE=∠AED+∠DEC∴∠AED=∠BCE．且∠AED+∠BCE=52°∴∠BCE=∠AED=26°∵∠DCE=∠ACB∴∠DCA=∠BCE=26°故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应角相等解决问题是本题的关键．3．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期中）如图，AD，BC相交于点O，且AO＝DO，BO＝CO，则△ABO≌△DCO，理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】由∠AOB＝∠COD，OA＝OD，OB＝OC，可根据SAS证明△ABO≌△DCO，可得出答案．【详解】解：∵OA＝OD，∠AOB＝∠COD，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO（SAS）．故选B．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.4．（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：下列关于小聪作法的理由，叙述正确的是（

）A．由SSS可得△O'B．由SAS可得△O'C．由ASA可得△O'CD．由“等边对等角”可得∠【答案】A【分析】根据作图方式可得OC=O【详解】解：根据作图方式可得：OC=O∴△O∴∠A故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及尺规作图－作与已知角相等的角，熟练掌握全等三角形的判定定理以及作与已知角相等的角的方法是解本题的关键．5．（2023秋·八年级单元测试）如图,∠ABC=∠DCB=70°,∠ABD=40°,AB=DC,则∠BAC=（

）A．70° B．80° C．100° D．90°【答案】B【分析】由条件先证明△ABC≌△DCB就可以得出∠ACB=∠DBC=30°，由三角形的内角和定理就可以求出∠BAC的度数．【详解】在△ABC和△DCB中，AB=DC∠ABC=∠DCB∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∵∠ABD=40°，∠ABC=70°，∴∠DBC=30°，∴∠ACB=30°，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=80°，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明△ABC≌△DCB是关键．6．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）如图，已知AB=AD，BC=DE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF的度数为（

）A．120° B．135° C．115° D．125°【答案】C【分析】由已知可得△ABC≌△ADE，故有∠BAC=∠DAE，由∠EAB=120°及∠CAD=10°可求得∠AFB的度数，进而得∠GFD的度数，在△FGD中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF的度数．【详解】在△ABC和△ADE中AB=AD∠B=∠D∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC=∠DAE∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°∴∠BAC=∠DAE=∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°∴∠GFD=90°在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC的度数．7．（2023春·七年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，点B到AC的距离为2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【分析】在AC上截取AE=AN，连接BE，由AD平分∠CAB，可得∠EAM=∠NAM，然后根据SAS可证△AEM≌△ANM，可得MN=ME,然后根据BM+MN=BM+ME≥BE，可得当BE⊥AC，即BE是点B到AC的距离时，BM+MN的值最小，从而求得答案.【详解】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵AD平分∠CAB，∴∠EAM=∠NAM，在△AEM和△ANM中，∵AE=AN∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴MN=ME，∴BM+MN=BM+ME≥BE，当BE⊥AC，即BE是点B到AC的距离时,BM+MN的值最小，∵点B到AC的距离为2，∴BM+MN的最小值是2.故选：C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、点到直线的距离，通过构造全等三角形把MN转化成ME是解题的关键.8．（2022秋·八年级课时练习）图中是全等的三角形是（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】B【分析】比较三条边的长度一致的就是全等三角形．【详解】解：比较三角形的三边长度，发现乙和丁的长度完全一样，即为全等三角形，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定SSS，三边对应相等，两三角形全等．9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【详解】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，AD=AD，∴可由“SAS”判定△ABD≌△ACD.故选B.10．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．【详解】根据伞的结构，AE=AF，伞骨DE=DF，AD是公共边，在ΔADE和ΔADF中，AE=AFDE=DF∴ΔADE≅ΔADF(SSS)，∴∠DAE=∠DAF，即AP平分∠BAC．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．11．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圆形容器的壁厚是（）A．1厘米 B．2厘米 C．5厘米 D．7厘米【答案】A【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB=CD，即可解决问题．【详解】解：在△AOB和△DOC中，OA=OD∠AOB=∠DOC∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB=CD=5厘米，∵EF=7厘米，∴圆柱形容器的壁厚是12故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．12．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）下列命题正确的是（

）A．两个等边三角形全等B．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等D．有一个锐角相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】利用全等三角形的判定方法逐个判断即可．【详解】解：A，两个等边三角形各个角都相等，但边长不一定相等，因此不一定是等边三角形，故此选项错误；B，两边及两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故此选项错误；C，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形可以用HL证明全等，故此选项正确；D，有一个锐角相等的两个直角三角形对应角相等，但边长不一定相等，故此选项错误；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．13．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，在△PAB中，PA=PB，D、E、F分别是边PA、PB、AB上的点，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，则∠P的度数为（

）A．150° B．112° C．120° D．146°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=34°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△ADF和△BFE中，AD=BF∠A=∠B∴△ADF≌△BFE（SAS），∴∠ADF=∠BFE，∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠A+∠ADF，∴∠A=∠DFE=34°，∴∠P=180°-∠A-∠B=112°，故选：B．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．14．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（

）①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AEA．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤【答案】C【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；③根据“SAS”直接进行判断即可；④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，故①正确；②∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；③在△BDF和△CDE中BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；④∵△BDF≌△CDE，∴∠F＝∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；⑤∵△BDF≌△CDE，∴CE＝BF，故⑤错误；综上分析可知，①③④正确，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键．15．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE=BC，连接DE．若∠ADE=30°，则A．60° B．71° C．75° D．76°【答案】C【分析】根据已知条件可得三角形全等，得∠BDE=∠BDC，∠【详解】解：∵BD平分∠ABC∴∠又∵BE=BC，BD=BD∴△BDE≌△BDC(SAS∴∠∵∠ADE=30°，∠BDE=∴∴∠故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题16．（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌【答案】BD=CA（答案不唯一）【详解】图形中隐含条件AB=BA，找出第三边BD和AC即可；在△ABC和△BAD中AD=BCCA=DBAB=BA，∴△ABC≌△BAD（【点睛】本题考查SSS证明三角形的全等，熟练掌握两三角形三边的对应关系是解题的关键．17．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB=AC，若使△ABD≌△ACD，则需要补充一个条件_____________．【答案】BD＝CD或∠BAD＝∠CAD【分析】要使△ABD≌△ACD，由于AB＝AC，AD是公共边，若补充条件BD＝CD，则可用SSS判定其全等；若添加∠BAD＝∠CAD，则可用SAS判定其全等．【详解】解：若补充条件BD＝CD，则可用SSS判定其全等；若添加∠BAD＝∠CAD，则可用SAS判定其全等．需补充的一个条件是BD＝CD或∠BAD＝∠CAD．故答案为：BD＝CD或∠BAD＝∠CAD．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．18．（2023秋·福建福州·八年级阶段练习）如图，∠1=∠2，CD=BD，可证△ABD≌△ACD，则依据是_________．【答案】SAS【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠ADC=∠ADB，∵CD=BD，AD=AD，满足全等三角形判定定理SAS；故答案为SAS.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．19．（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，为了测量池塘两端点A，B间的距离，小亮先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE．现测得DE=30米，则AB两点间的距离为__________米．【答案】30【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【详解】解：在△ABC和△DEC中，AC=△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=30米，故答案为：30.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．20．（2023春·七年级课时练习）如图，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，将CD绕D逆时针旋转90°至DE，连接AE，若AD=3，BC=5【答案】3【分析】由旋转可得△DHC≌△DFE，可求得EF，可求得△ADE的面积．【详解】解：如图，过D作DH⊥BC于点H，过E作EF⊥AD交AD的延长线于F，则四边形ABHD是矩形，HC=BC−BH=BC−AD=5−3=2，∴∠HDF=∴∠∵DC=DE∴△DHC≌△DFE，∴EF=HC=2，且∠EFA=∠DHC=90°，∴S△ADE故答案为：3．【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．21．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件___时，即可以根据“SSS”得到△ABC≌△FED．【答案】BC＝ED【分析】由AD＝CF利用等式的性质可得AC＝DF，再添加BC＝ED可利用SSS判定△ABC≌△FED．【详解】解：∵AD＝CF，∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝DF，在△ABC和△FED中AB=FEAC=DF∴△ABC≌△FED（SSS），故答案为：BC＝ED．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22．（2023·全国·八年级假期作业）下列命题中逆命题成立的有_____（填序号）．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．【答案】①③【分析】根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可．【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题；③全等三角形的对应边相等的逆命题是三条边对应相等的两个三角形全等，是真命题；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题；故答案为：①③．【点睛】本题考查的是逆命题的概念以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．23．（2022秋·云南大理·八年级校考期中）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，AD=AC，BC=BD，∠C=∠D=90°，求证：△ABD≌△ABC”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：_______（写出所有符合条件的结果）．【答案】AD=AC或BC=BD或∠C=∠D=90°【分析】根据HL定理和SSS定理即可得．【详解】解：去掉已知条件AD=AC，根据HL定理可以证出△ABD≅△ABC，去掉已知条件BC=BD，根据HL定理可以证出△ABD≅△ABC，去掉已知条件∠C=∠D=90°，根据SSS定理可以证出△ABD≅△ABC，故答案为：AD=AC或BC=BD或∠C=∠D=90°．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握HL定理和SSS定理是解题关键．24．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）如图，已知：等边△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE=DC，CE，BD交于点F．过点E作EG⊥BD于G，则线段CF，FG和BD的数是关系用等式表示是____________．【答案】BD=2FG+CF【分析】根据等边三角形的性质，得出∠A=∠CBE=60°，AB=AC，再根据线段之间的数量关系，得出BE=AD，再根据“边角边”，得出△ABD≌△BCE，再根据全等三角形的性质，得出BD=EC，∠ABD=∠BCE，再根据三角形的外角的性质和等量代换，得出∠BFE=∠CBF+∠BCF=∠CBF+∠ABD=∠ABC=60°，再根据三角形内角和定理，得出∠GEF=30°，再根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出EF=2FG，再根据等量代换，即可得出答案．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠CBE=60°，AB=AC，∵AE=CD，∴AB−AE=AC−CD，即BE=AD，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠A=∠CBE∴△ABD≌△BCESAS∴BD=EC，∠ABD=∠BCE，∴∠BFE=∠CBF+∠BCF=∠CBF+∠ABD=∠ABC=60°，∵EG⊥BD，∴∠EGF=90°，∴∠GEF=90°−60°=30°，∴EF=2FG，∴BD=EC=EF+CF=2FG+CF．故答案为：BD=2FG+CF【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理、含30°角的直角三角形的特征，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．25．（2023秋·八年级单元测试）如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AD=AB=6km，CD=CB=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l【答案】4【分析】连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，先根据SSS证明△ADC≌△ABC，得出∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质，即可求得答案．【详解】解：连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，在△ADC与△ABC中，AD＝ABCD＝CB∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥l2于E，CF⊥l1于F，∴CE=CF=4km，即村庄C到公路l2的距离是4km．故答案是：4．【点睛】此题考查了全等三角形的应用以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，证明△ADC≌△ABC，得出∠DAC=∠BAC是解题的关键．三、解答题26．（2023春·七年级课时练习）已知：三角形ABC中，AB=AC，证明：∠B=∠C．（取边BC中点D，连接AD）【答案】见解析【分析】取边BC中点D，连接AD，证明ΔABD与ΔACD全等即可求解．【详解】解：如图：取边BC中点D，连接AD，则在ΔABD与ΔACD中，AB=ACAD=AD∴ΔABD≌ΔACD（SSS），∴∠B=∠C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．27．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD．以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝2cm，求BE的长．【答案】（1）见解析，（2）4cm【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE；（2）由全等三角形的性质可求BE＝AD＝4cm．【详解】（1）证明：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵DB＝AB＝2cm，∴AD＝4cm，∵△ACD≌△BCE，∴BE＝AD＝4cm．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：△ABC≌△ADC．【答案】见解析【分析】根据SSS证明全等即可．【详解】证明：在△ABC和△ADC中，AB=ADAC=AC∴△ABC≌△ADCSSS【点睛】此题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是正确解答本题的关键．29．（2022秋·江苏·八年级专题练习）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．【答案】能求出CB的长度，CB的长度为35cm【分析】根据题意，得AO=BO=CO=DO；结合∠AOD=∠BOC，证得△AOD≌△BOC，得AD=CB，从而完成求解．【详解】∵凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点∴AO=BO=CO=DO∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC∴AD=CB∵AD=35cm∴CB=35cm∴能求出CB的长度，CB的长度为35cm．【点睛】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解．30．（2023春·江苏·八年级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OE=OF，OB=OD．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)求证：BE∥【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△BOE≌△DOF即可；（2）先证明四边形EBFD是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，在△BOE和△DOF中，OE=OF∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOFSAS（2）证明：连接DE、BF，由（1）知△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴BE∥【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．31．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知：如图，BC=EF，AD=BE，AC=DF．求证：BC∥EF．【答案】见解析【分析】由AD=BE，可求出AB=DE，再结合题意易证△ABC≅△DEF(SSS)，即得出∠ABC=∠DEF，最后由平行线的判定定理即可证明【详解】∵AD=BE，∴BE+AE=AD+AE，即