九年级数学用一元二次方程解决实际问题冀教版

word初三数学用一元二次方程解决实际问题冀教版【本讲教育信息】一.教学内容：用一元二次方程解决实际问题1.根据实际问题正确列出方程并求解，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．2.在一元二次方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性．3.通过观察、画图、试值等手段估算方程解的大致X围，发展估算能力．二.知识要点：1.列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤也归纳为：审、设、列、解、检验、答．（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系．（2）设：是指设元，也就是设未知数．（3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表应达用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．（4）解：就是解方程，求出未知数的值．（5）检验：是指检验方程的解能否保证实际问题有意义．（6）答：就是写出答案．2.列一元二次方程解决实际问题的常见题型（1）销售问题；（2）数字问题；（3）面积、体积问题；（4）平均增长（降低）率问题．3.列一元二次方程解实际问题的注意事项（1）要搞清楚一些关键词语，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、“同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等．对于“增长率”问题，要注意区分“增”与“减”，如人口的减少、的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与增加混淆．利率（2）列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去．4.一元二次方程的精确解和近似解用配方法、公式法和因式分解法求得一元二次方程的解都是精确的．如果问题中没有精确度要求，那么最后结果应采用精确值．但有时（特别在一些实际问题中）要求近似解．这时，利用计算器求出的符合精确度要求的解就可以了．通过观察确定方程的解的大致X围，再利用计算器通过不断的试值可以求方程的近似解．这是一种重要的方法，特别对复杂问题或高次方程更能显示这种方法的优越性．三.重点难点：本讲的重点是，运用一元二次方程分析和解决实际问题．由于本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以正确地建立一元二次方程是主要难点．突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．1/7word四.考点分析：有关一元二次方程的内容是中考命题的重点，属必考内容．单独考查时多以选择题、填空题等低档题出现，但也经常作为综合题和探究题的一个步骤，还有一个重点题型是列方程解决实际问题．【典型例题】例1.小明将1000元钱存入银行，定期一年后取出500元购买学习用品，剩下的500元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，到期后取出660元，求年利率．分析：本题属本息问题，第一年：本金＝1000元，利率为x，本息和为1000（1＋x）；第二年：本金［1000（1＋x）－500］元，利率为x，本息和为［1000（1＋x）－500］（1＋x）＝660．解：设存款年利率为x，由题意得［1000（1＋x）－500］（1＋x）＝660整理得50x2＋75x－8＝011085解得x＝，x2＝－（不合题意舍去），11取x＝＝10%10答：存款的年利率为10%．评析：将各数据代入本息和计算公式即可求得结果．应熟记利息的计算公式，本息和＝本金×（1＋利率）年数．例2.三个连续正整数，最大数的立方与最小数的立方差比中间数的40倍大16，求这三个数．分析：∵相邻的两个连续整数之间相差1，∴这三个连续正整数用一个未知数表示的方法是x，x＋1，x＋2或x－1，x，x＋1或x－2，x－1，x，根据题中相等关系：（最大数的立方）－（最小数的立方）＝40×（中间数）＋16，此题设中间数为x比较方便．解：设中间数为x，则最大数为x＋1，最小数为x－1，由题意得(x＋1)3－(x－1)3＝40x＋16，整理得3x2－20x－7＝0，解得x1＝7，x2＝－13．∵x＝－13不合题意舍去，∴只取x＝7．∴x＋1＝8，x－1＝6．答：这三个连续正整数是6、7、8．评析：解数字问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用间接设元法，如有关三个连续整数（或连续奇数，连续偶数）的问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其余两个数．例3.在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？分析：如图所示，此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．2/7word20米32米解法一：设道路的宽为x米，则横向的路面面积为32x米，纵向的路面面积为20x米2，道路面积为（32x＋20x－x2）米．根据题意得：232×20－（32x＋20x－x2）＝540．x－52x＋100＝0．2化简得，2解得，x＝2，x2＝50．1其中的x＝50超出了原矩形的取x＝2时，道路32×2＋20×2－22）＝100（米）32×20－100）＝540（米）．长和宽，应舍去．总面积为：（；2耕地面积为：（2答：所求道路的宽为2米．解法二：设路宽为x米，横向路面面积为32x米，纵向路面面积为20x米．耕地矩形22的长（横向）为（32－x）米，耕地矩形的宽（纵向）为（20－x）米．20米32米根据题意得：（32－x）（20－x）＝540，化简得，x－52x＋100＝0，2解得，x＝2，x2＝50．1（以下步骤同解法一）评析：解法二和解法一比较更简单，它利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．例4.植树造林是造福子孙后代的善义之举，某中学师生从2005年到2008年四年内共植树1999棵，已知该校2005年植树344棵，2006年植树500棵，如果2006年到2008年的植树棵数的年增长率相同，那么该校2008年植树多少棵？分析：此题是平均增长率问题，相等关系是四年植树总和＝1999，设2007年、2008年两年中植树棵数的年增长率为x，则2007年植树500（1＋x）棵，2008年植树500（1＋x）2棵．解：设该校两年植树棵数的年增长率为x，根据题意得344＋500＋500(1＋x)＋500(1＋x)2＝1999，解得x＝0.1＝10%，x2＝－3.1（舍去），1则500(1＋10%)2＝605．答：2008年植树605棵．3/7word例5.将进货单价为10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？50＋x）元，则每个商品的利润为[（50＋x）10个，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为（500－10x）个，为赚得8000元利润，则应有[（50＋x）－40]·（500－10x）＝8000．解：设为了赚8000元利润，售价应定为（40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少分析：此题属于经营问题．设商品单价为（－40]元，因每涨1元，其销售量会减少50＋x）元，即每个商品涨价x元，根据题意得：[（50＋x）－40]·（500－10x）＝8000．x－40x＋300＝0．整理得：2解得，x＝10，x2＝30，1当x＝10时，当x＝30时，50＋x＝80，500－10x＝200．60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进50＋x＝60，500－10x＝400；所以，要想赚8000元，若售价为货量应为200个．例6.如图所示，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8m，顶端沿墙面下滑1m，那么梯子的并估计方程解的大致X围（误差不超过m）．如果梯子的底端在地面上滑动的距离是多少？请列出方程，AA'B'CB分析：首先设出未知数，其次再根据勾股定理列出方程，最后用试值的方法求出解的X围．解：∵AB＝10m，AC＝8m，∴根据勾股定理得：BC＝AB2－AC2＝102－82＝6（m）．设梯子的底端在地面上滑动的距离BB’＝xm．8－1）＋（6＋x）2＝102．x（x＋12）＝15．根据题意，得（2整理，得取xx＝1.2代入方程的左边，得××13.2＝15.84＞15．∴初步估计方程的解所在的X围是1.1＜x＜1.2．再取x×13.15＝15.1225＞15．∴此方程的X围为1.1＜x＜1.15．解所在的【方法总结】1.列方程解实际问题，这六步进行，其中审题过程虽在草纸上进已知条件和所求量，明确量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，列出一般分为审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清方程．4/72.在日常生活和社会实践中，许多问题都可通过建立一元二次方程这个模型进行求解，然后回到实际问题中进行解释和检验，从而体会数学建模的思想方法．【预习导学案】（形状相同的图形和比例线段）一.预习前知1.下图中的△ABC和△DEF全等，说一说这两个全等的三角形有什么性质？ADBCEF2.已知有四个数：1、2、3、x，且1∶2＝3∶x，你能求出x的值吗？二.预习导学1.下图中，形状相同的图形有哪些？2.已知线段A．1∶300B．1∶303.已知点C在线段AB上，且AC∶CB＝1∶2，求AB∶AC的值．1）形状相同的图形有什么（2）比例的a＝m，线段b＝75cm，则线段a与b的比是（）C．1∶3D．10∶3反思：（特征？基本性质有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一.选择题1.下列各数中，B．1.6适合方程a＋a＝3a＋3的一个近似值（精到确0.1）是（）32AC．1.7D2.为了让某某的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程（）A．60.05（1＋2x）＝63%C．60.05（1＋x）2＝63%B．60.05（1＋2x）＝63D．60.05（1＋x）2＝633.某种商品零售价经过两次降价后的A．10%B．19%C．9.5%4.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．19%B．20%C．21%D．22%*5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本182件，若全组有x名同学，则根据题意列出方程（）价格为降价前的81%，则平均每次降价（）D．20%A．x（x＋1）＝182B．x（x－1）＝1825/7D．x（x－1）＝182×2二.填空题1.乌鲁木齐农牧区校舍改造工作初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为__________．2.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边是10cm的直角三角形，则两条直角边分别是__________，__________．*3.某种产品预计两年内成本将下降36%，则平均每年降低__________．*4.一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a，高位上的三个数是b，现将a，b互换，得到的六位数是__________．5.有40米的篱笆在一25米长的墙边靠墙围成一面积是200平方米的矩形场地，则矩此形场地的长宽分别是__________．**6.一次数学测试，满分为100分，测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把她俩的分数进行计算，并有如图所示的一段对话，那么对于下面的两个结论：①两个人的说法都是正确的；②至少有一个人错了．其中正确的是__________（用序号①、②填写）．三.解答题1.一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）．2.如图，某市区南北走向的路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．*3.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？word前侧空地蔬菜种植区域**4.多年以前，周老师曾将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下的1000元及所得的利息又全部按一年定期存入银行，且存款的利率不变，到期后得本金及利息共1320元，求这种存款方式的年利率．【试题答案】一.选择题1.C2.