常数项级数的概念和性质课件

第十二章无穷级数无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，是在表示函数、研究函数的性质，进行数值计算的有力工具。常数项级数，泰勒(Taylor)级数（幂级数），傅立叶(Fourier)级数。第十二章无穷级数无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，是1无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数(Taylor)傅氏级数(Fourier)第十二章无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项2常数项级数的概念和性质正项级数及其收敛法绝对收敛与条件收敛幂级数函数的Taylor级数傅立叶(Fourier)级数常数项级数的概念和性质3§1常数项级数的概念与性质基本概念级数的简单性质Cauchy收敛原理§1常数项级数的概念与性质基本概念41.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积实例1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积实例5一级数的概念(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和定义1：一级数的概念(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分6定义2：定义2：7余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角8观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推9观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推10观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推11观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推12观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推13观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推14周长为面积为周长为面积为15于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极16解解17解解18常数项级数的概念和性质ppt课件19证明：级数发散。证明：级数发散。20解解21

收敛

发散

发散

发散

综上收敛发散发散发散综上22例5.判别下列级数的敛散性:解:

(1)

所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和例5.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)23(2)

所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用24解已知级数为等比级数，解已知级数为等比级数，25解等比级数解等比级数26Wed.May18Review1.数项级数的概念Wed.May18Revie274.常用数项级数：4.常用数项级数：28二级数的简单性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.二级数的简单性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数29解解30常数项级数的概念和性质ppt课件31证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.32证明性质4收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛与原来的和.证明性质4收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛33注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散推论如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散推论34例.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.例.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原35证明性质5级数收敛的必要条件:证明性质5级数收敛的必要条件:36注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件不充分.注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要37讨论讨论388项4项2项2项

项由性质4推论,调和级数发散.8项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发散.39三Cauchy收敛原理定理：三Cauchy收敛原理定理：40证明：证明：41常数项级数的概念和性质ppt课件42小结常数项级数的