一阶电路和二阶电路课件

第七章一阶电路和二阶电路7.1动态电路的方程及其初始条件

7.2一阶电路的零输入响应7.3一阶电路的零状态响应7.4一阶电路的全响应7.5一阶电路的阶跃响应7.6一阶电路的冲激响应7.7二阶电路的时域分析第七章一阶电路和二阶电路7.1动态电路的方程及其初始条17.1动态电路的方程及其初始条件

由前面已知，电容、电感有记忆的元件，又是储能元件，它们的电压与电流的约束关系是通过导数或微分表达的，所以也是动态元件。1、含动态元件的电路称为动态电路根据KCL、KVL和元件VCR方程可以列出动态电路的微分方程。由一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路，称为二阶电路。一般来说：由n阶微分方程描述的电路，称为n阶电路。7.1动态电路的方程及其初始条件由前面已知2例1列出如图所示电路的一阶微分方程。

得到

这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。

在上式中代入:解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程例1列出如图所示电路的一阶微分方程。得3

对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方程

在上式中代入：

得到这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。

对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方4当电路结构或元件参数发生变化时（换路），动态电路会从一个稳态转变到另一个稳态，稳态间的过度过程称为暂态。假设换路都是在t=0时刻进行，把换路前一瞬间记为t=0-，换路后一瞬间记为t=0+。？什么是电路暂态呢

稳态:电路中的激励及响应均是恒定量或按某种周期规律变化。当电路结构或元件参数发生变化时（换路），动态电路5U暂态暂态（过渡）过程:旧稳态新稳态

t电路暂态：RkU+_Ct=0开关K合下电路处于稳态RU+_C++__稳态稳态U暂态暂态（过渡）过程:旧稳态新稳态t电路暂态：R6(1)电容电压的连续性令t0=0-，t=0+有：(2)电感电流的连续性

令t0=0-，t=0+有：换路定律(1)电容电压的连续性令t0=0-，t=0+有：(2)电72、动态电路的初始条件求解n阶微分方程时，需要知道n个初始条件。利用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路在电路结构和元件参数变化(换路)后，电路变量（电压、电流）的初始值。由于电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感相当于短路；由于电容上电压恒定时，电容电流等于零，电容相当于开路。我们用短路代替电感以及用开路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t=0-的各电压电流。2、动态电路的初始条件求解n阶微分方程时，需8

在开关转换后的一瞬间t=0+，根据电感电流和电容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的电感电流iL(0+)=iL(0-)

和电容电压uC(0+)=uC(0-)用数值为iL(0+)的电流源代替电感以及用数值为uC(0+)的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t=0+时刻各电压电流值，根据这些数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举例加以说明。在开关转换后的一瞬间t=0+，根据电感电流9例2图(a)所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0断开时电容电压和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)。

例2图(a)所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0断开时10解：由于开关打开前各电压电流均为恒定值，电感相当于短路；电容相当于开路，如图(b)所示。

当开关断开时，电感电流不能跃变；电容电压不能跃变。解：由于开关打开前各电压电流均为恒定值，电感相当于短路；电容11初始条件是电路中所求解的变量在

t=0+时的值。2、利用换路定律求得iL(0+)或uC(0+)3、通过已知的iL(0+)和uC(0+)画出0+等效电路，求出电路中其它的电流、电压，称之为0+等效电路法。0+等效电路：把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。小结：1、在t=0-时的等效电路中求得iL(0-)或uC(0-)初始条件是电路中所求解的变量在t=0+时的值。2、利用换路127.2一阶电路的零输入响应零输入响应：外施激励(电源)为零，由动态元件初始储能引起的响应。1、RC电路的零输入响应(C对R放电)iK(t=0)+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0i=-CuC

+RC=0uC(t)=Aept特征方程

RCp+1=0电路微分方程：其解的形式为：7.2一阶电路的零输入响应零输入响应：外施激励(电源)为零13初始值

uC

(0+)=uC(0-)=U0

A=U0令=RC,

具有时间的量纲,称

为时间常数量纲：欧法=欧库/伏=欧安秒/伏=秒I0tic0U0tuc0

越大，过渡过程时间越长（放电的速度越慢）。初始值uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0令14CRC不断释放能量被R吸收,直到全部消耗完毕.t023

5

U00.368U00.135U00.05U00.007U0能量关系：理论上过渡过程需很长时间才能到达稳态，工程上一般认为就可认为电路已进入稳态。CRC不断释放能量被R吸收,直到全部消耗完毕.t0152、RL电路的零输入响应iK(t=0)USL+–uLR2R1iL(0+)=iL(0-)=uL=L其解的形式为：

i(t)=Aept

特征方程

Lp+R=0L+Ri=0i(0+)=i(0-)=I0i(0+)=A=I0电路微分方程：2、RL电路的零输入响应iK(t=0)USL+–uLR2R116uL=L量纲：L/R=亨/欧=韦/安*欧=韦/伏=伏*秒/伏=秒令

=L/R,称为RL电路的时间常数一般认为，t=3

-5

过渡过程结束。I0tiL0-I0RuLtuL=L量纲：L/R=亨/欧=韦/安*欧=韦/伏=伏17t=0时,打开开关K,iL

(0+)=iL(0-)=1A=I0uV=-RViLuV

(0+)=-10000V

造成V击穿。例3iLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V现象：电压表烧坏电压表量程：50VV(t>0)t=0时,打开开关K,iL(0+)=iL(0-)=1A=18零状态响应：动态元件初始储能为零，电路在外施激励（电源）作用下，产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCRRC+uC=US特解：

uC'=US1、RC电路的零状态响应电路微分方程：uC(0-)=07.3

一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为：特解通解零状态响应：动态元件初始储能为零，电路在外施激励（电源）作用19=US+AeuC

(0+)=A+US=0

A=-USuC"=Ae对应齐次方程通解

uC“

自由分量(暂态分量)RC+uC=0全解uC=uC"+uC'tuc-UsuC'uC"UsuC(0-)=0强制分量(稳态)自由分量(暂态)=US+AeuC(0+)=A+US=0A=-U20i=CAit0能量关系：RC电源提供能量一部分消耗在电阻上，一部分储存在电容中，且WC=WR充电效率为50%i=CAit0能量关系：RC电源提供能量一部分消耗在电阻21iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U01.全响应：非零初始状态的电路受到激励时产生的响应7.4一阶电路的全响应全响应=零输入响应+零状态响应RC+uC=US电路微分方程：=US+Ae全解：uC=uC"+uC'由初始条件有：uC

(0+)=A+US=U0iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0122(t>0)强制（稳态）分量自由（暂态）分量也可表示为：2.

三要素法分析一阶电路iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0解为:更一般形式为零状态响应零输入响应(t>0)强制（稳态）分量自由（暂态）分量也可表示为：2.23RL电路：

=L/RRC电路：=RC

是在经典法的基础上总结出来的一种快捷的方法。只适用于一阶电路。分析方法三要素法经典法由列解微分方程，求未知量的时间函数式。一阶电路暂态过程的分析方法:RL电路：=L/RRC电路：=RC是24例41、求起始值:已知各电路参数，t=0时开关闭合；换路前求开关闭合后、、、的变化规律。CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uCt=0+时的电路:CUs+_R1uR1R2i2i1uC例41、求起始值:已知各电路参数，t=0时开关闭合252、求稳态值：激励为直流,令C开路。例4已知各电路参数，t=0时开关闭合；换路前求开关闭合后、、、的变化规律。CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uCCUs+_R1uR1R2i2i1uC2、求稳态值：激励为直流,令C开路。例4已知各电路参263、求时间常数:已知各电路参数，t=0时开关闭合；换路前求开关闭合后、、、的变化规律。CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC3、求时间常数:已知各电路参数，t=0时开关闭合；换274、求开关闭合后、、、的变化规律。将各量的三要素代入一般表达式：CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求开关闭合后、、、的变化规律。将各量的三要284、求开关闭合后、、、的变化规律。ttUsuR1、iR2、uR2

的波形图:CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求开关闭合后、、、的变化规律。ttUsuR29例5电路如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，求t0时的电压uL。解：换路后，应用戴维南定理得出其等效电路，其中例5电路如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关30例5电路如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，求t0时的电压uL。例5电路如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关317.5一阶电路的阶跃响应1、单位阶跃函数1）定义K+–uC1VRC2）延迟单位阶跃函数t

(t-t0)t0t

(t)10EE7.5一阶电路的阶跃响应1、单位阶跃函数1）定义K+–u32延迟单位阶跃函数可以起始任意函数f(t)t0tf(t)

(t-t0)t0t1t0tf(t)t0t-

(t-t0)

(t)延迟单位阶跃函数可以起始任意函数f(t)t0tf(t)(33求图示电路中电流iC(t）例610k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效求图示电路中电流iC(t）例610k10kus+ic10034应用叠加定理5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F阶跃响应为：应用叠加定理5k+ic100F5k+ic100F5k+i35由齐次性和叠加性得实际响应为：5k+-ic100F5k+-ic100F由齐次性和叠加性得实际响应为：5k+ic100F5k+ic367.6一阶电路的冲激响应1、单位冲激函数1）单位脉冲函数δ(t)

1/

tf(t)7.6一阶电路的冲激响应1、单位冲激函数1）单位脉冲函数372）定义k(t)3）

函数的筛分性

f(0)

(t)t2）定义k(t)3）函数的筛分性f(0)(t)t38零状态h(t)冲激响应：激励为时的零状态响应方法1：分成二个时段来考虑，求iL(0+)、uC(0+)1）

t在0-___0+间2）t>0+4）

(t)和

(t)的关系2、分析冲激响应零状态h(t)冲激响应：激励为时的零状态响应方法1：分成二个391）t在0-___0+间uc不可能是冲激函数=0=1分析1icisRC+uc—1）t在0-___0+间uc不可能是冲激函40icRC+uc—2）

t>0+

零输入响应（RC放电）分析1icisRC+uc—电容电压发生越变icRC+2）t>0+零输入响应（RC放电41tuc(V)0tic分析1icisRC+uc—tuc(V)0tic分析1icisRC+42L+-iLRus分析21）t在0-___0+间iL不可能是冲激函数电感电流发生越变L+iLRus分析21）t在0-___0+间i43tuLtiL02）t>0+零输入响应（RL放电）RLiLL+-iLRus分析2tuLtiL02）t>0+零输入响应（RL放电）RL44方法2：利用阶跃响应求冲激响应零状态h(t)零状态s(t)对于一个线性电路，可先求电路的阶跃响应s(t)，再对s(t)求一阶导数得冲激响应h(t)。方法2：利用阶跃响应求冲激响应零状态h(t)零状态s(t)45求

iL和uL的冲激响应。法1解：由戴维南定理将电路等效变换为-+

(t)1

1H+-uLiL1）

t

在0-

___0+间iL不可能是冲激函数iL+-uL2

(t)A1

1

2

1H例7求iL和uL的冲激响应。法1解：由戴维南定理将电路等效变462）t>0+零输入响应1

1H+-uLiL法2解：先求激励为时的响应求

iL和uL的冲激响应。iL+-uL2

(t)A1

1

2

1H例72）t>0+零输入响应11H+uLiL法247法2解：先求激励为时的响应。由戴维南定理将电路等效变换为-+

(t)1

1H+-uLiL激励为的响应求

iL和uL的冲激响应。iL+-uL2

(t)A1

1

2

1H例7法2解：先求激励为时的响应。由戴维南定理将电487.7二阶电路1二阶电路的零输入响应

2二阶电路的零状态响应和阶跃响应

*3二阶电路的冲激响应

7.7二阶电路1二阶电路的零输入响应491二阶电路的零输入响应二阶电路含二个独立储能元件的电路，用二阶常微分方程所描述的电路。uc(0-)=U0i(0-)=0已知：1二阶电路的零输入响应二阶电路含二个独立储能元件的电50零状态响应的三种情况:过阻尼状态临界阻尼状态欠阻尼状态零状态响应的三种情况:过阻尼状态临界阻尼状态欠阻尼状态51设|P2|>|P1|过阻尼状态，非振荡衰减过程设|P2|>|P1|过阻尼状态，非振荡衰减过程52t=0+

ic=0,t=ic=0ic>0t=tm时ic

最大tU0uctm2tmuLic0<t<tm

i增加,uL>0t>tmi减小,uL

<0t=2tm时

uL

最大设|P2|>|P1|t=0+ic=0,t=ic=0ic53tm为uL=0时的t,计算如下:由duL/dt可确定uL为极小时的

t.tm为uL=0时的t,计算如下:由duL/dt可确定uL为54能量转换关系tU0uctm2tmuLic0<t<tmuc减小

，i增加，电感吸收能量。t

>tmuc减小

，i减小，电感释放能量，磁场逐渐衰减。电容在整个过程中一直释放储存的电能,是非振荡放电过程。能量转换关系tU0uctm2tmuLic0<55特征根为一对共轭复根uc的解答形式：欠阻尼状态，振荡衰减过程特征根为一对共轭复根uc的解答形式：欠阻尼状态，振荡衰减过程56A1，A2为一对共轭复数A1，A2为一对共轭复数57经常写为：A，

为待定常数B1，B2为待定常数δωω0