函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数

1.函数的导数与函数的单调性有什么关系？

复习提问

设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果在这个区间内y′>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.

2.用导数求函数单调区间的步骤是什么？

（1）求函数的定义域.（2）求出函数的导函数f′(x).（3）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间.求解不等式f′

(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间.注：单调区间不以“并集”出现.1、什么是极小值，什么是极大值？各有什么特点？（1）极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值_____，且______；而且在点x＝a的左侧_________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)<0f′(x)>0xyoaby=f(x)<0>0f’(a)=0都小f′(a)＝0（2）极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，且_______；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．_________、_________统称为极值点，_______和_______统称为极值．f′(x)>0f′(x)<0极大值点极小值点极大值极小值<0>0xyoaby=f(x)f’(b)=0都大f′(b)＝0展、评、检：yabx1x2x3x4Ox2、（1）函数的极大值一定大于极小值吗？（2）函数的极大值和极小值是惟一的吗？（3）区间的端点能成为极值点吗？

（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.

注意：oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；（4）极值点一定在区间的内部，端点不可能成为极值点.3、导数为0的点一定是极值点吗？oxyy=x3，令，则，而不是该函数的极值点.结论：若是极值，则；.反之，若，则不一定是极值.

1.函数的定义域为开区间导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。A.1

B.2

C.3

D.4Af

(x)<0f

(x)>0f

(x)=0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别随堂练习

2.如图是函数y=f(x)

的图象,试找出函数y=f(x)

的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？abxyx1Ox2x3x4x5x6

解：（1）f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22.夯实基础：例1、求函数的极值.

求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求方程的根；（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格；（4）由在方程的根左右的符号，来判断

在这个根处取极值的情况.若左正右负，则为极大值；若左负右正，则为极小值.

求导求导数值为0的点列表求极值定义域当堂演练：1、求函数的极值.

解：函数的定义域为，由

解方程，得，

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

x(0,e)e(e，＋∞)f′(x)+0-f(x)单调递增单调递减所以，为函数的极大值点，极大值为2、已知在与时都取得极值.

（1）求的值；（2）求的极值.

x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减单调递增所以，函数的极大值为；极小值为.

3．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－