小升初平面几何常考五大模型

一、 等积变换模型、等底等高的两个三角形面积相等。、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。二、 共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。三、 蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。）四、 相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方）五、 燕尾定理模型-I正方形、正方形和正方形 的位置如图所示，点在线段上，正方形由题知 ，即，令，，贝由题知 ，即，令，，贝I]，则△、图是一个正方形地板砖示意图，在大正方形 中，中间小正方形 的面积是平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是平方厘米,那么大正方形 的面积是多少平方厘米？

分析与解连和两条大正方形的对角线，它们相交于，然后将三角形 放在处（如图和图）。已知小正方形 的面积是平方厘米，所以小正方形 的边长是厘米。又知道四个蓝色的三角形的面积总和是平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是十 平方厘米，即图的正方形 中的小正方形的面积是平方厘米，那么这个正方形的边长就是厘米。由此得出，正方形 的边长是 厘米，当然正方形 的面积就是0即平方厘米。而正方形 的面积恰好是正方形 的面积的一半，因此正方形的面积是平方厘米。答：正方形的面积是平方厘米。、图是一个圆形钟面，圆周被平均分成了等份。已知圆形的半径是厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米？分析与解题中告诉我们：圆周被平均分成了等份，因此连接，

AE为圆的宜径（如图就）Q连皿BEq扇形睡的圆心角为6CTJ心角为12CT,因此扇形』6b的面积是扇形豌面积的戈倍口由图中不难曹出：二筠舷aob2二祐形eQ'e：是等底同咼的二谒舷，这两个三角形的面燮相等的口另外，弓形充和弓形館■也是相等的八E角形A0B、弓形亦的面积之和与三角形B0E、弓疼的面积之和相纟A0B.弓形CD的面积之和与圆心角为6CT的扇形睡的面迟相等口r积是扇形盘£的面积的2倍，因此图中阴影的面积与扇形睡于是图中阴藏的盒积是’114S-62x =18.84；〔平方厘米）360答：阴影的面积是 平方厘米。、为了美化校园，东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。小圆形花坛的面积是平方米，大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米？

分析与解我们知道圆的面积与半径的平方成正比。题中告诉我们，大圆的半径是小圆半径的倍，那么大圆面积是小圆面积的倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大14 ）x（平方米）答：大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大平方米。、有两个长方形，甲长方形的长是 厘米，宽是厘米；乙长方形的长是厘米，宽是 厘米。这两个长方形的面积哪个大？分析与解利用长方形面积公式，直接计算出面积的大小，再进行比较，这是可行的，但是计算太复杂了。可以利用乘法分配律，将算式变形，再去比较两个长方形的面积大小，这就简便多了。甲长方形的面积是：xx乙长方形的面积是xx比较x 与x 的大小，一眼便能看出：甲长方形的面积小，乙长方形的面积大。、有个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是厘米、厘米、厘米、厘米、

厘米、 、厘米，将这些正方体锯成棱长为厘米的小正方体，得到的小正方体中，至少有一个面是红色的小正方体共有多少个？分析与解棱长为厘米涂有红漆的小正方体，不用锯，就是棱长厘米的小正方体，它当然是至少有一个面是红色的小正方体了。将棱长为厘米的涂有红漆的小正方体，锯成棱长为厘米的小正方体，共得到个，其中没有涂红漆的共（-个。将棱长为厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为厘米的小正方体，共得个，其中没有涂红漆的共（）个。

将棱长为厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为厘米的小正方体，共得个，其中没有涂红漆的共()个。由以上分析、计算发现，将校长为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体锯成棱长为厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有（） （- 3 ）（个）按照这样的规律可得，将棱长为厘米、厘米、厘米、厘米、厘米、……、厘米这个正方体锯成棱长为厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有：（个）答：至少有一个面是红色的小正方体共有 2。、有棱长为、、、……、、、、厘米的正方体个，把它们的表面都涂上红漆，晾干后把这个正方体都分别截成立方厘米的小正方体，在这些小正方体中,只有个面有红漆的共有多少个？分析与解根据题意，首先应该想到只有个面有红漆的小正方体，都在原来大正方体的棱上。原来棱长是厘米、厘米的正方体，将它截成立方厘米的小正方体后，得不到只有个面有红漆的小正方体。棱长是厘米的正方体，将它截成立方厘米的小正方体后，大正方体的每条棱上都有个小正方体只有个面有红漆。每个正方体有条棱，因此可得到个只有个面有红漆的小正方体，即共有()x2。棱长为厘米的正方体，将它截成立方厘米的小正方体后，得到只有个面有红漆的小正方体共()x2。依此类推，可得出，将这个正方体截成立方厘米小正方体后，共得到只有个面有红漆的小正方体的个数是：()()()……( )x x答：只有个面有红漆的小正方体共有 个。、有一个长方体木块，长厘米，宽厘米，高厘米。把它锯成若干个体积相等的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。这个大正体的表面积是多少平方厘米？

分析与解一般说来，要求正方体的表面积，一定要知道正方体的棱长。题中已知长方体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系，这样就给解答带来了困难。我们应该从整体出发去思考这个问题。按题意，这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。已知长方体的长、宽、高，就可以求出长方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。进而可以求出正方体的棱长，从而可以求出正方体的表面积了。长方体的体积是X0 (立方厘米)将 分解质因数：XXXXXXXX(XX)X(XX)X(XX)可见大正方体的棱长是XX(厘米)大正方体的表面积是XX (平方厘米)答：这个大正方体的表面积是 平方厘米。、如图，一个正四面体摆在桌面上，正对你的面是红色，底面是白色，右侧面 是蓝色，左侧面 是黄色。先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧的棱翻转，此后依次重复上述操作过程。问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色A31—131—18

图翻8次回到开始T100/8=12 4翻100次^后為4,即白色朝前盘点小升初平面几何常考五大模型(一)等积变换模型性质与应用简介导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。(I)等积更换摸型■I; ;I■^底等高的两个三命形血积相等；两个三角形高相等，面积此等于它们的底之比；两个三窟形底相等，面积比等于它们的高之比；夹在一纽平行銭之间的等积变形，如右上图也迪=显血，则可知直銭朋平行于UD.等积变换模型例题讲解与课后练习题

（一）例题讲解与分析【例】：如右图，在△ 中,平方厘米，那么三角形 的面积是多少?角形△

是【解答】连接的面积是，和角形△

是【解答】连接的面积是，和△ 同高面积比等于底边比，三角形 的面积是的倍,△和△ 同高，面积比等于底边比，所以三【总结】要找准那两个三角形的高相同。【例I:如图，四边形中，和相交于点，三角形的面积，三角形的面积，三角形的面积，求三角形的面积是多少？与^同高所以面积

因为与^同高所以面积

因为△【解答I△ △根据结论，△比等于底的比即 同理△ △所以△ 。【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论转化成面积比，解决了问题。事实上，这次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。（二）课后练习题讲解与分析

暮刁：.：:饴年洁华施I中考亦如圈"在三摺母炬中_■b为眈的中点.卫为应上的一点.且3已知四迦舷eoAC的面唱量:苦”求二甲羽wee的面稅.:分忻乌解；连搖皿D为BC的中点..得三吗瑕AK是三甫护XK茁一丰，三角驰EED是三雳形诅的1/乩是三甫羽ABC阳L.-6-.则四斬EDA?耀三甬牝XBC肉5.^阳以角縣AE：^35X（6/5）=42.:点评亠辭悭丸輕三］誼羽吁齟度就廁棕It0铁段比一页祝比爭枳屮：学底的亍甫彫面帜之比等丁对应咼之比|变化八厶廁棕It0铁段比一页祝比z- J感刁了如图•.正方舷JiJKD的也桧是斗臬非匚耳.觀茅矩¥&SFG的桧怕为3履抉求它的宽肚辱亍案少StK?匚分析与解；连樱姙三朿飛3的面和展正肓衆辭的一半，til是拒撇FEGD面和町一养4X4t5=3,2:.点评：三审磁与平咅四边瞬■的关柔.（二）鸟头定理（共角定理）模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块一一鸟头定理（共角定理）模型。■■■■jiii‘・・・•'『■・■•'•・・・…亠4j：.\^亠. Yrrj两个三细形中有一伞角相等我互礼这碗个玉帝羽叫做矢为苹角彫.共角三闻彫的题积圮等于对逐角佈I警角或互朴角輿夬边的怙之比女囹在也朋匚申，D卫分酬遥赵恥上的盍如凰?（.或口莊酗的延抚贱匕f^.AC①氏IjFrlQ则y怂鑫总肿M：3琛W

图⑴ 图⑵推理过程连谡前，再利用等积变擾模型即可o（三）蝴蝶定理模型导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第三块——蝴蝶定理模型。①场：场=心：禺或者坊沁虽=尿〉闵②』O:DC=>^I為’：■心屯':W走理时或也提帳了齋决不规刚田边形的西积问题的一八逢徑.通过枸世棧型-盘面*越甌如E迪形的页秩关系与匹边形内的三角形柏联.系：另一方氏：也可以诗/ -Ll^1到鸟面彬注的对角绒战此例关系.W申岀词关系:“诵形轴蝶定理0；

梯形y的对应檢救为+br«Sl 租为12平右匣米抽下方形爲CD中,E.F旱兀边卜的三等分昌求第證分■的厨机.•轴】因为艮F是匸匚边二曲三等分点，所限肿:曲=::%•迂乞2朋—丄佚，根蜒梯矽蝴蝶克理可以知道.忽箱曲-^Ar?FJ?=上備，狂卫愆=讣『 ^S-偸抵点少-：「w=1丄一-：；)痔月此正衿形的面寂为4+4-(1+3)2=2-1^,3眾=<5,呢心崽：E正就=心<4=丄：4,所以魂月款平分麾札CMS］如團四直形被两豹茨线分成4宀三角畛具于三策三角形自烦积已知，求:⑴三角舷耳皿的而和⑵加：％-？XtXt汁】仃龈抿蝴蝶电理，屯加。xl=2x3,那么&迹=&⑵根据蝴蝶主理.>IG^(7=(l+^(3+fi)=1-3.厘米，厘米,的面积是多少平方【解答】：连接 根据蝴蝶定理可得厘米，厘米,的面积是多少平方【解答】：连接 根据蝴蝶定理可得△阴1因为△X2所以△ —再次用蝴蝶定理可求△X5所以 X【练习】：如图，在一个边长为的正方形中，放入一个边长为的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？蝴蝶定理模型练习题【练习】：在直角梯形 中，阴影部分的面积为平方厘米。梯形厘米？【解答】：本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况。

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为，因此空白处的总面积为，阴影部分的面积为2解法二:连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为，下底都为，上底、下底之比为：:3根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的，那么阴影部分的面积为。VAVA/涉7FhA⑷相似摸型相似三角形陛质:AD_AE_DE_AF①五—走—荒—药;所谓的相似三窟形，就是形art同，大小不同的三窟形〔只要其形状不敢变，不小怎样改变它们都相似〕,与相彳烂窟形相关的常用的|生质及定理如下：（咁目■｛焙承诫的一初对应銭段的辰度成出例并且这个比倒等于它■｛门的相似比;吃计羸三窟形的更积比等于它们相似比的平方；

【例】已知正方形的面积是 平方厘米，、为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析】由巩固可知的面积为整个正方形面积的五分之一为：十平方厘米）由此对于阴影部分的面积可以有两种求法方法一：连接由图可知、和 的面积相等,又因为的面积为十 平方厘米）所以、和 的面积为：O平方厘米）所以阴影部分的面积为： 平方厘米方法二：本题用沙漏也可以解答能看见和是沙漏形象演示 所以以为底的三角形占整个三角形的为X 平方厘米所以阴影面积为： 平方厘米（五）燕尾定理模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一期我们讲解一下五大模型最后一个 燕尾定理模型。（五）燕尾定理模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一期我们讲解一下五大模型最后一个 燕尾定理模型