2018届高三文科数学复习讲义 函数与导数

2018届高三文科数学复习讲义函数与导数．若f(x)，则aaex(ex﹣a)﹣a2xaa，移项化简得ex(ex﹣a)a2x，取对数得(ex﹣a)lnxlna2，即exlnxeaxa2，由于exlnx1，故得eaxa2，即ae2.综上所述，a的取值范围为（，e2]．2x（2）若$a=0$，则$f(x)=e^0=1$，所以$f(x)\geq1$。若$a>0$，则由（1）得，当$x=\lna$时，$f(x)$取得最小值，最小值为$f(\lna)=-a\lna$。从而当且仅当$-a^2\lna\geq0$，即$a\leq1$时，$f(x)\geq0$。若$a<0$，则由（1）得，当$x=\ln(-a)$时，$f(x)$取得最小值，最小值为$f(\ln(-a))=a(-\ln(-a))$。从而当且仅当$a(-\ln(-a))\geq0$，即$a\geq-2e^{-4}$时，$f(x)\geq0$。综上，$a$的取值范围为$[-2e^{-4},1]$。2x7．【2017课标II，文21】设函数$f(x)=(1-x)^{\frac{1}{3}}$。（1）讨论$f(x)$的单调性：当$0\leqx_1<x_2\leq1$时，有$f(x_1)-f(x_2)=(x_2-x_1)f'(\xi)$，其中$\xi\in(x_1,x_2)$。由于$f'(x)=-\frac{1}{3}(1-x)^{-\frac{2}{3}}\leq0$，所以$f(x)$在$[0,1]$上单调递减。（2）当$x\geq0$时，$f(x)\leqax+1$，求$a$的取值范围：将$f(x)$和$ax+1$在$[0,1]$上求导，得到$f'(x)=-\frac{1}{3}(1-x)^{-\frac{2}{3}}$，$g'(x)=a$。因为$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，所以$f(x)\leqax+1$成立当且仅当$f(0)\leqa\cdot0+1$，即$1\leqa$。综上，$a$的取值范围为$[1,+\infty)$。8．【2017课标3，文21】已知函数$f(x)=\lnx+ax^2+(2a+1)x$。（1）讨论$f(x)$的单调性：$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax+2a+1$，令$f'(x)=0$，解得$x=-\frac{1}{2a}$。当$x<-\frac{1}{2a}$时，$f'(x)<0$，即$f(x)$在$(-\infty,-\frac{1}{2a})$上单调递减；当$x>\frac{1}{2a}$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增。又因为$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$在$[\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增。（2）当$a<0$时，证明$f(x)\leq-\frac{3}{4a}$：由（1）可知，$f(x)$在$[0,\frac{1}{2a}]$上单调递增，所以$f(x)\leqf(\frac{1}{2a})=-\ln(2a)-\frac{1}{4}$。又因为$a<0$，所以$-\ln(2a)\leq-\ln(-2a)=\ln(2a)-\ln2$。因此，$f(x)\leq-\ln(2a)-\frac{1}{4}\leq-\frac{3}{4a}$。函数模型及其应用：了解不同函数类型的增长特征，如指数函数、对数函数和幂函数，以及它们在实际中的应用。例如，直线上升代表着线性增长，指数增长代表着迅速增长，对数增长则代表着增长速度逐渐减缓。此外，还需要了解在社会生活中广泛使用的函数模型，如指数函数、对数函数、幂函数和分段函数等。导数及其应用：了解导数概念的实际背景，并通过函数图像直观理解导数的几何意义。能够根据导数的定义求函数的导数，并利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，以及形如f(ax+b)的复合函数的导数。此外，还需要了解函数单调性和导数的关系，并能利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间。同时，还需要了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，以及利用导数求函数的极大值、极小值和闭区间上函数的最大值、最小值。最后，需要会用导数解决实际问题。定积分和微积分基本定理：了解定积分的实际背景和基本思想，以及微积分基本定理的含义。命题规律：高考对函数的考查主要以选择或填空题的形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域，以及二次函数的图象与性质。同时，还需要综合考查分析与解决问题的能力，包括函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性和周期性等。高考对导数的考查主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用。需要掌握导数的几何意义，并能够利用导数解决实际问题。(2)奇偶性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(3)周期性：周期函数的图象在一个周期内重复出现．(4)极值和最值：极值是函数在某一点处取得的局部最值，最值是函数在整个定义域上取得的最大值或最小值．(5)零点：函数在某一点处的函数值为0，称该点为函数的零点．3．指数函数、对数函数(1)指数函数y=a^x(a>0,a≠1)的图象在x轴右侧单调递增，在x轴左侧单调递减，且经过(0,1)点．(2)对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象在x轴右侧单调递增，在x轴左侧单调递减，且经过(1,0)点．基础知识的应用：1．函数图象的分析判断(1)根据函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，对函数图象进行具体分析判断．(2)理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质，运用图象解决问题．2．指数函数、对数函数的应用(1)解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．(2)利用指数函数、对数函数的性质，解决实际问题．二．导数的应用整合1．导数的应用(1)求函数的极值或最值；(2)利用极值或最值求参数的取值范围；(3)与函数的单调性、函数的零点、不等式及实际问题有关．2．导数的应用题型(1)选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，难度较低；(2)解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，难度较大，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；(3)考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力．3．导数的几何意义利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系进行转化，确定切点的坐标，求解参数的值．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．4．函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标利用函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解．2.奇偶性：函数的奇偶性是指在定义域上的整体性质。偶函数的图像关于y轴对称，因此在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图像关于坐标原点对称，因此在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性。3.函数的零点与方程的根：函数的零点就是方程根，即函数F(x)=f(x)-g(x)的零点是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标。而零点存在性定理指出，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。需要注意的是，满足条件的零点可能不唯一，而不满足条件时也可能有零点。4.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x处的导数f'(x)就是曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率，即k=f'(x)。而曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线方程为y-f(x)=f'(x)(x-x)。5.函数的单调性与导数：如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于或等于零恒成立。在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，例如函数y=x+sinx。6.函数的导数与极值：对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件。例如f(x)=x^3，虽有f'(0)=0，但x=0不是极值点，因为f'(x)≥0恒成立，f(x)=x^3在(-∞,+∞)上是单调递增函数，无极值。7.闭区间上函数的最值：在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值。其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者。8.利用定积分求曲边梯形的面积：由直线x=a，x=b，x轴及一条曲线y=f(x)（f(x)≥0）围成的曲边梯形的面积为S=∫f(x)dx。若F'(x)=f(x)，则S=F(b)-F(a)。推广：平面图形的面积可以用定积分来表示。对于由直线$x=a$，$x=b$，$y=f(x)$和$y=g(x)$（其中$f(x)>g(x)$）围成的平面图形，其面积为$S=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx$。高频考点突破：考点1：函数的定义及其表示例1：函数$f(x)=\frac{1}{\ln(5-2x)+e^x-1}$的定义域为（）。分析：函数$f(x)$的定义域就是函数解析式有意义的自变量的取值范围。答案：D（$x\in(-\infty,-\log2)\cup(0,+\infty)$）例2：已知$f(x)=\begin{cases}x+a,&x\leq-\lgx\\-\frac{1}{3}x^3+2,&x>-\lgx\end{cases}$，且$f(f(-2))=$（）。分析：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现$f(f(a))$的形式时，应从内到外依次求值。答案：A（$f(-2)=-2+a=-\lg2$，解得$a=1$，$f(f(-2))=f(1-\lg2)=-\frac{1}{3}(1-\lg2)^3+2=-1$）例3：已知函数$f(x)$的图像如图所示，则$f(x)$的解析式可能是（）。分析：本题紧扣图像，可排除不符合图像的选择支，从而可得答案。答案：A。对于求复合函数的定义域，一般的步骤是：如果已知f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出。对于含有字母参数的函数求其定义域，需要根据具体情况对字母参数进行分类讨论。对于由实际问题确定的函数，其定义域除了使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。函数值域的求法有多种方法。可以利用函数的单调性，如果f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数，则f(a)和f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得的最小(大)值。也可以利用配方法，注意自变量x的范围。还可以利用三角函数的有界性，如sinx∈[−1,1]，cosx∈[−1,1]等。对于形如ax2+bx+eax+b的函数，可以利用“分离常数”法求其值域。另外，还可以利用换元法和基本不等式法，以及导数法求图复杂函数的极值和最值，从而求出其值域。分段函数的求解策略包括根据分段函数解析式求函数值，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围，以及分类讨论时要遵循分类的原则。求函数的解析式的常用方法有代入法、待定系数法、拼凑法、换元法、方程组法和赋值法。其中代入法是将已知的函数值代入解析式中求解，待定系数法是根据函数类型设定解析式并确定系数，拼凑法是从已知的复合函数的解析式中拼凑出自变量，换元法是令t=g(x)求出f(t)的解析式，然后用x代替其中所有的t，方程组法是将已知的函数关系式转化为关于f[g(x)]的方程组，赋值法是给自变量赋予特殊值观察规律求解函数的解析式。，fx3fx4，则x1，x2，x3，x4的取值范围是（）A．，1B．1，C．0，1D．1，【解析】由于a0，所以函数f(x)的定义域为(1,+∞)，由对数函数的性质可知，f(x)单调递减，因此f(x1)=f(x2)意味着x1>x2，同理f(x3)=f(x4)意味着x3>x4，所以x1>x2>x3>x4，所以选B。如果$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)$，则$x_1+x_2+x_3+x_4$等于多少？选项中只有$A$是正确的。设函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的偶函数，且$f(0)=a,f(1)=b$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)\geq0$。若在区间$[0,1]$内关于$f(x)$的方程$f(x)=a+2x$（且$f(x)\neqa+2x$）有且只有4个不同的根，则实数$a$的取值范围是什么？答案是$D$。【规律方法】1.求$f(x)$的零点值时，直接令$f(x)=0$，当$f(x)$为分段函数时，要分段列方程组求解；2.已知$f(x)$在区间$[a,b]$上单调且有零点时，利用$f(a)f(b)<0$讨论；3.求$f(x)$的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数$y=f(x)$与$y=g(x)$的图像交点个数，即方程$f(x)=g(x)$的解的个数，一般用数形结合法。4.已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解。设$x_1,x_2$是函数$f(x)=\lnx-2-m$（$m$为常数）的两个零点，则$x_1+x_2$的值为多少？答案是$4$。本题转化为求函数$y=\lnx-2$与$y=m$的图像的交点的横坐标的和等于多少，画出图像，显然$x_1+x_2=2$，所以$x_1+x_2=4$，选$A$。【例10】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥$P-ABCD_1$，下部分的形状是正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$（如图所示），并要求正四棱柱的高$PO_1$的四倍。（1）若$AB=6m,PO_1=2m$，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为$6m$，则当$PO_1$为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解。（2）从题目问题出发，以$PO_1$为自变量建立体积的函数关系式，与(1)相似，先用$PO_1$分别表示底面正方形周长及柱的高，再利用柱与锥体积公式得，$V=V_{\text{锥}}+V_{\text{柱}}$。用导数求其最值已知函数$V=\frac{1}{3}\pir^2h+\pir^2$，$r=2$，$3<h<6$，求$V$的最大值。解析：首先，将$V$化简得$V=\frac{1}{3}\pir^2h+\pir^2=a^2h$，其中$a=r=2$。对$V$求导数，得$V'=2a^2$，由于$V'$恒为正数，因此$V$是单调递增的函数。因此，当$h=6$时，$V$取得最大值。因此，当$h=6$时，仓库的容积最大。【举一反三】某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了$n$（$n\inN^*$）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则$n$等于（）解析：设$f(n)$表示$n$年后的盈利总额，则$f(n)=19n-2-\frac{3}{2}(n-1)n$。对$f(n)$求导数，得$f'(n)=16-3n$。令$f'(n)=0$，解得$n=\frac{16}{3}$，舍去负数解。当$n<\frac{16}{3}$时，$f'(n)>0$，$f(n)$是单调递增的函数；当$n>\frac{16}{3}$时，$f'(n)<0$，$f(n)$是单调递减的函数。因此，当$n=\frac{16}{3}$时，$f(n)$取得最大值。因此，当使用了$\frac{16}{3}$年时，盈利总额达到最大值。但由于$n$必须为正整数，因此$n=5$或$n=6$时，盈利总额达到最大值。【例11】已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，$g(x)=x^2$。若直线$l$与曲线$y=f(x)$，$y=g(x)$都相切，则直线$l$的方程为（）解析：设直线$l$与曲线$y=f(x)$相切于点$P(x_0,y_0)$，与曲线$y=g(x)$相切于点$Q(x_1,y_1)$。由切线的定义，$l$的斜率为$f'(x_0)$，$g'(x_1)$。因为$l$与曲线$y=f(x)$相切，所以$f'(x_0)=\frac{-1}{x_0^2}$，$y_0=f(x_0)=\frac{1}{x_0}$。同理，$l$与曲线$y=g(x)$相切，所以$g'(x_1)=2x_1$，$y_1=g(x_1)=x_1^2$。因为$l$与曲线$y=f(x)$，$y=g(x)$都相切，所以$l$在点$P$和点$Q$处的斜率相等，即$f'(x_0)=g'(x_1)$。解得$x_0=x_1=\pm1$。当$x_0=1$时，$y_0=\frac{1}{x_0}=1$，$y_1=g(1)=1$，因此$l$通过点$(1,1)$。又因为$l$的斜率为$f'(1)=-1$，因此$l$的方程为$y-1=-1(x-1)$，即$y=-x+2$。当$x_0=-1$时，$y_0=\frac{1}{x_0}=-1$，$y_1=g(-1)=1$，因此$l$通过点$(-1,-1)$。又因为$l$的斜率为$f'(-1)=-1$，因此$l$的方程为$y+1=-1(x+1)$，即$y=-x-2$。因此，直线$l$的方程为$y=-x+2$或$y=-x-2$。题目要求解析地解决问题的能力，第一问是直接利用导数与函数单调性的关系求出单调区间，从而解决问题；第二问则利用题目中的条件借助导数这一有效工具进行分析推证，从而使得不等式简捷巧妙获证。1.对于函数$f(x)=-k-lnx$，求其单调性。首先求导数$f'(x)$，得到$f'(x)=\frac{1}{x}$；然后令$f'(x)>0$，解得$x>0$，即$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增；令$f'(x)<0$，解得$x<0$，即$f(x)$在$(-\infty,0)$单调递减。2.对于函数$g(x)=\frac{x}{1-x-lnx}$，要证明$x\geq1$时，$g(x)\leq1+e^{-2}$。首先令$h(x)=1-x-xlnx$，则$g(x)=\frac{x}{h(x)}$。求导数$h'(x)$，得到$h'(x)=-lnx-2$。因此$h(x)$在$(0,e^{-2})$单调递增，在$(e^{-2},+\infty)$单调递减。因为$h(x)$在$[1,+\infty)$上单调递减，所以$h(x)\leqh(1)=0$，即$1-x-xlnx\leq0$，从而得到$g(x)\leq\frac{x}{1+e^{-2}}$。而当$1\leqx<+\infty$时，$\frac{x}{1+e^{-2}}<1+e^{-2}$，因此$g(x)\leq1+e^{-2}$。综上所述，对于任意$x\geq1$，$g(x)\leq1+e^{-2}$。【规律方法】1.对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式$f'(x)>0$和$f'(x)<0$，再求交集得到单调递增区间和单调递减区间。2.对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断。3.求函数的极值，先求导函数$f'(x)=0$的根$x$，再和函数定义域比较。若$x$落在定义域外或者落在定义域端点，则函数单调，无极值；当$x$落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑$x$两侧导数是否异号，从而判断是否有极值。求函数最值和求极值类似，先求导数f'(x)的根x。如果x落在定义域外或端点上，函数单调，利用单调性求最值。当x落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑x两侧导数是否异号，从而判断函数大致图像，进而求最值。【举一反三】已知函数f(x)=x+aln(x)，在x=1处的切线与直线x+2y垂直。函数g(x)=f(x)+1/(2x-bx^2)。（Ⅰ）求实数a的值。（Ⅱ）设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点，若b≥7，求g(x1)-g(x2)的最小值。解：对f(x)求导得f'(x)=1+1/x，因此在x=1处的切线斜率为2。又因为切线与直线x+2y垂直，所以直线斜率为-1/2。因此有2*(-1/2)=-1，即f'(1)=-1，即1+1/a=-1，解得a=-2。对g(x)求导得g'(x)=f'(x)-b/(2x^2)-1/(2x^2)，令g'(x)=0，得x=(1±√(1+b))/b。当b≥7时，x1,x2均在[1,∞)内。由于g'(x)在x1,x2处的符号相反，因此x1,x2为g(x)的极值点。设t=1/x，则g(x)=f(x)+t/(2-bt)。对g(x)求导得g'(x)=f'(x)-t(2-bt)^(-2)，由于g'(x1)=g'(x2)=0，因此有t1=t2=t。又因为b≥7，所以2-bt>0，因此g''(x)=-2/(x^3(2-bt)^2)<0，即g(x)在x1,x2处取极大值。因此，g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)+t(1/(2-bt1)-1/(2-bt2))。由于f(x)=x-2lnx，因此f(x)在[1,∞)上单调递增。因此f(x1)-f(x2)=x1-x2-2ln(x1/x2)≥0。又因为t1=t2=t，所以g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)+t/(2-bt)≥t/(2-bt)。由于t=1/x，因此t∈[1/4,1]，且t/(2-bt)在t∈[1/4,1]上单调递增。因此，t/(2-bt)的最小值为1/(2-b),即g(x1)-g(x2)的最小值为1/(2-b)。因为b≥7，所以1/(2-b)≥1/5，因此g(x1)-g(x2)的最小值为1/5。因此，a的取值范围为a≤1。时恒成立。令$h(x)=\frac{x+lnx}{x(x-1)+2lnx}$，$x\in[1,+\infty)$，则$h(x)>0$，所以$h(x)$在$[1,+\infty)$上是增函数，有$h(x)\geqh(1)=1$，所以$a\leq1$。这个题目利用了不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的最值解决的思想。需要注意的是，要将分母化简后再进行分析。已知函数$f(x)=\begin{cases}1-\log_a(x+2),&x\geq-2\\f(-x),&x<-2\end{case