四种命题的相互关系

1.1.2四种命题的相互关系基础梳理1．四种命题之间的关系：逆命题，若q则p否命题，若﹁p则﹁q逆否命题，若﹁q则﹁p基础梳理2．四种命题的真假性之间的关系：例：命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题；它的逆否命题：“______________________”也是真命题；否命题“_______________________”是假命题，逆命题“______________________”也是假命题．若sinx≠siny，则x≠y若x≠y，则sinx≠siny若sinx＝siny，则x＝y2．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．相同的没有关系自测自评1．下列说法，不正确的是(

)B自测自评2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

)A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数BB3．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是(

)A．0个B．1个C．2个D．3个自测自评解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，所以其否命题是真命题．

(2)是假命题．原命题(如取x＝1，y＝0)是假命题，所以其逆否命题是假命题．

(3)是假命题．该命题否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，显然是假命题．

(4)是假命题.该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题．答案：B题型一四种命题真假的判断例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若x＋y≠3，则x≠1或y≠2；(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.分析：此类问题的一般解题步骤：①写出命题的条件、结论；②写出四种命题；③判断命题的真假．解析：(1)逆命题：若x≠1或y≠2，则x＋y≠3；假命题．否命题：若x＋y＝3，则x＝1且y＝2；假命题．逆否命题：若x＝1且y＝2，则x＋y＝3；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．点评：要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．变式迁移题型二等价命题的应用例2证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.分析：本题若要直接证明，比较困难，可以考虑证明它的逆否命题．证明：原命题的逆否命题是“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又因为函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题．点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．变式训练2．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．方法二原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．方程x2＋2x－3m＝0无实数根，所以Δ＝4＋12m<0.所以m<－≤0.所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真命题．题型三命题的否定与否命题例3写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(3)若一个数是质数，则这个数是奇数．解析：(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题．(3)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题．原命题的否命题：若一个数不是质数，则