陕西省渭南市蒲城县蒲城中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题（含解析）

第第页陕西省渭南市蒲城县蒲城中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题（含解析）2022-2023学年高二（下）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、单选题（每道题只有一个正确答案，每题5分，共60分）

1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足iz+2＝z﹣2i，则|z|＝（）

A．1B．3C．2D．4

【答案】C

【分析】根据复数的基本运算进行化简，然后求出z的模．

【解答】解：∵iz+2＝z﹣2i，

∴，∴|z|＝2．

故选：C．

2．（5分）函数f（x）＝x2+cosx的导数f′（x）为（）

A．x﹣sinxB．2x﹣sinxC．x+sinxD．2x+sinx

【答案】B

【分析】根据导数的运算法则和求导公式计算即可．

【解答】解：函数f（x）＝x2+cosx的导数f′（x）为2x﹣sinx，

故选：B．

3．（5分）（）

A．πB．C．π+2sin2D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性结合定积分的几何意义进行计算．

【解答】解：由于y＝sinx为奇函数，y＝表示的是以原点为圆心，以1为半径的圆的上半部分，

又积分区间关于原点对称，所以原式＝0+＝．

故选：D．

4．（5分）设z＝1+2i，则的虚部是（）

A．2B．1C．﹣2D．﹣2i

【答案】C

【分析】根据共轭复数以及虚部的定义求出的虚部即可．

【解答】解：∵z＝1+2i，

∴＝1﹣2i，

则的虚部是﹣2，

故选：C．

5．（5分）在复平面内，若复数z对应的点为（﹣1，1），则z（1+i）＝（）

A．2B．2iC．﹣2iD．﹣2

【答案】D

【分析】根据已知条件，先求出z，再结合复数的四则运算，即可求解．

【解答】解：∵复数z对应的点为（﹣1，1），

∴z＝﹣1+i，

∴z（1+i）＝（﹣1+i）（1+i）＝﹣（1﹣i）（1+i）＝﹣2．

故选：D．

6．（5分）设集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤2}，B＝{（x，y）∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P（x，y），则P（x，y）∈B的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是（0，2）（0，﹣2）（2，0）（﹣2，0），集合B是抛物线y＝x2下方的区域，分别求出面积，即可求出P（x，y）∈B的概率．

【解答】解：集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是（0，2）（0，﹣2）（2，0）（﹣2，0），集合B是抛物线y＝x2下方的区域

由，可求得两图象在第一象限的交点坐标为（1，1）

∵抛物线y＝x2下方的区域的面积，根据对称性，可得面积为＝5+2×＝，

正方形的面积为，

∴P（x，y）∈B的概率是

故选：B．

7．（5分）f0（x）＝cosx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn+1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2023（x）为（）

A．sinxB．﹣sinxC．cosxD．﹣cosx

【答案】A

【分析】根据题意求得f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），…从中找出规律（周期），从而使问题解决．

【解答】解：∵f0（x）＝cosx，f1（x）＝f0′（x）＝﹣sinx，f2（x）＝f1′（x）＝﹣cosx，f3（x）＝f2′（x）＝sinx，f4（x）＝f3′（x）＝cosx，…，

∴fn+4（x）＝fn（x），

∴fn（x）的下标是以4为周期的函数，∴f2023（x）＝f2023+3（x）＝f3（x）＝sinx．

故选：A．

8．（5分）i为虚数单位，复数（1﹣i）（3+i）＝（）

A．3﹣iB．4﹣2iC．2D．4+2i

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．

【解答】解：（1﹣i）（3+i）＝3+1﹣2i＝4﹣2i．

故选：B．

9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），则“y＝f′（x）在（0，2）上有两个零点”是“f（x）在（0，2）上有两个极值点”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断．

【解答】解：只有当f′（x）在（0，2）上有两个变号零点时，f（x）在（0，2）上才有两个极值点，故充分性不成立；

若f（x）在（0，2）上有两个极值点，则f′（x）在（0，2）上有两个变号零点，则f′（x）在（0，2）上至少有两个零点，故必要性不成立．

综上，“f′（x）在（0，2）上有两个零点”是“f（x）在（0，2）上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，

故选：D．

10．（5分）观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据这些规律选择正确的答案．

【解答】解：观察已知的8个图象，

每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，

根据这些规律观察四个答案，

发现B符合要求．

故选：B．

11．（5分）已知函数f（x）＝﹣ex，g（x）＝x2﹣2x﹣1，若对任意x1∈[，2]，都存在x2∈[，2]满足f（x1）﹣g（x2）≥1，则实数a的取值范围是（）

A．[2e2，+∞）B．[2e2﹣2，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，1]

【答案】B

【分析】令h（x）＝g（x）+1，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，结合导数得出实数a的取值范围．

【解答】解：令h（x）＝g（x）+1＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，，

所以h（x）min＝h（1）＝﹣1，即在上恒成立，

故a≥﹣x+xex在上恒成立，

令φ（x）＝xex﹣x，则φ'（x）＝（x+1）ex﹣1，

令t（x）＝（x+1）ex﹣1，，则t'（x）＝（x+2）ex＞0，

即函数t（x）在上单调递增，故，

即函数φ（x）在上单调递增，故，

所以a≥2e2﹣2，

故选：B．

12．（5分）设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞2，f（0）＝2023，则不等式f（x）＞2+（其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A．（2023，+∞）B．（0，+∞）

C．（2023，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2023，+∞）

【答案】B

【分析】构造函数g（x）＝exf（x）﹣2ex，利用函数g（x）的导数判断函数g（x）的单调性，再利用函数g（x）的单调性解不等式即可．

【解答】解：设g（x）＝exf（x）﹣2ex，则g'（x）＝exf（x）+exf'（x）﹣2ex＝ex[f（x）+f'（x）﹣2]，

∵f（x）+f'（x）＞2，∴f（x）+f'（x）﹣2＞0，

又∵ex＞0，

∴g'（x）＝ex[f（x）+f'（x）﹣2]＞0，

∴g（x）在R上单调递增，

又∵g（0）＝f（0）﹣2＝2023，

∴g（x）＞2023的解集为（0，+∞），

即不等式exf（x）＞2ex+2023的解集为（0，+∞），

故选：B．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．（5分）函数y＝x﹣x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于．

【答案】见试题解答内容

【分析】本题考查的知识点是定积分的几何意义，首先我们要联立两个曲线的方程，判断他们的交点，以确定积分公式中x的取值范围，再根据定积分的几何意义，所求图形的面积为S＝（x﹣x2）dx，计算后即得答案．

【解答】解：由方程组，解得，x1＝0，x2＝1．

故所求图形的面积为S＝（x﹣x2）dx

＝（x2﹣x3）＝．

故答案为：．

14．（5分）复数z满足z（1+i）＝1﹣i，|z|＝1．

【答案】1．

【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数模长即可求解．

【解答】解：∵z（1+i）＝1﹣i，

∴z＝＝＝﹣i，

∴|z|＝1，

故答案为：1．

15．（5分）已知函数，则＝﹣．

【答案】﹣．

【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．

【解答】解：＝f'（2），

，

则f'（x）＝，

故f'（2）＝﹣．

故答案为：﹣．

16．（5分）曲线y＝lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为y＝2x．

【答案】见试题解答内容

【分析】求得函数y＝lnx+x+1的导数，设切点为（m，n），可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．

【解答】解：y＝lnx+x+1的导数为y′＝+1，

设切点为（m，n），可得k＝1+＝2，

解得m＝1，即有切点（1，2），

则切线的方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，

故答案为：y＝2x．

三、解答题

17．（10分）（1）在复平面内，若、对应的复数分别为7+i、3﹣2i，求；

（2）复数z满足，求z；

（3）已知m∈R，复数i，当m为何值时，

①z∈R；②z是纯虚数．

【答案】（1）5；（2）2+i；（3）①m＝﹣3；②m＝0或m＝2．

【分析】（1）根据复数的几何意义即可求解；（2）根据复数的运算法则和共轭复数的概念即可求解；（3）根据复数的概念即可求解．

【解答】解：（1）∵，对应的复数分别为7+i、3﹣2i，

∴，，∴，

；

（2）∵（1+2i）＝4+3i，

∴，

∴，∴，∴z＝2+i；

（3）①∵z∈R，∴，解得m＝﹣3；

②∵z是纯虚数，∴，解得m＝0或m＝2．

18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣ax﹣1为增函数，求实数a的取值范围．

【答案】（﹣∞，0]．

【分析】求出导函数，转化为导函数大于大于0恒成立即可．

【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣ax﹣1为增函数，

∴f′（x）＝3x2﹣a≥0恒成立，

∴a≤0，

即实数a的取值范围是：（﹣∞，0]．

19．（12分）设函数f（x）＝ax3+bx+1在x＝1处取得极值﹣1．

（1）求a、b的值；

（2）求f（x）的单调区间．

【答案】（1）a＝1，b＝﹣3

（2）f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．

【分析】（1）根据题意可得f（1）＝﹣1，且f′（1）＝0，解得a，b．

（2）由（1）知f（x）＝x3﹣3x+1，求导得f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可解得f（x）单调区间．

【解答】解：（1）f′（x）＝3ax2+b，

因为f（x）＝ax3+bx+1在x＝1处取得极值﹣1，

所以f（1）＝﹣1，且f′（1）＝0，

所以a+b+1＝﹣1且3a+b＝0，

解得a＝1，b＝﹣3．

（2）由（1）知f（x）＝x3﹣3x+1，

f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），

所以在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，

在（﹣1，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，

综上所述，f（x）单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．

20．（12分）已知复数z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是：

（1）虚数；

（2）纯虚数．

【答案】（1）m≠1且m≠2；

（2）．

【分析】（1）根据复数z是虚数，列出方程，解方程即可得解；

（2）根据复数z是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案．

【解答】解：（1）z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）＝2m2﹣3m﹣2+（m2﹣3m+2）i，

当复数z为虚数时，m2﹣3m+2≠0，m≠1且m≠2，

故当实数m≠1且m≠2时，复数z为虚数．

（2）当复数z为纯虚数时，，解得，

故当时，复数z为纯虚数．

21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中5＜x＜8，a为常数．已知销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若该商品的成本为5元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

【答案】见试题解答内容

【分析】（Ⅰ）代入x＝7，y＝11，解方程可得a的值；

（Ⅱ）求得f（x）的解析式，以及导数，得到单调区间、极值和最值，即可得到所求．

【解答】解：（Ⅰ）因为x＝7时，y＝11，

所以，a＝2．…………（3分）

（Ⅱ）由（1）知，该商品每日的销售量，

所以商场每日销售该商品所获得的利润…………（6分）

f'（x）＝10[（x﹣8）2+2（x﹣5）（x﹣8）]＝30（x﹣6）（x﹣8）………（8分）

于是，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x（5，6）6（6，8）

f'（x）+0﹣

f（x）单调增极大值单调减

…………（10分）

由上表可得，x＝6是函数f（x）在区间（5，8）内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝6时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．

所以，当销售价格为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．…………（12分）

22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）k为正常数，设g（x）＝f（x）+f（k﹣x），求函数g（x）的最小值；

（3）若a＞0，b＞0证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）﹣f（b）

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）先对函数y＝f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．

（2）构造函数g（x）＝f（x）+f（k﹣x），（k＞0），利用导函数判断出g（x）的单调性，进一步求出g（x）的最小值为整理可得证．

（3）先研究f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．

【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1，f′（x）＞0，得x＞；

f′（x）＜0，得0＜x＜，

∴f（x）的单调递增区间是（，+∞），单调递减区间是（0，）．…（3分）

（2）∵g（x）＝f（x）+f（k﹣x）＝xlnx+（k﹣x）ln（k﹣x），定义域是（0，k）

∴g′（x）＝lnx+1﹣[ln（k﹣x）+1]＝ln…（5分）

由g′（x＞0，得＜x＜k，由g′（x＜0，得0＜x＜，

∴函数g（x）在（0，）上单调递减；在（，k）上单调递增，…（7分）

故函数g（x）的最小值是：ymin＝g（）＝kln．…（8分）

（3）∵a＞0，b＞0∴在（2）中取x＝，k＝2，

可得f（）+f（2﹣）≥2ln1f（）+f（）≥0

ln+ln≥0

alna+blnb+（a+b）ln2﹣（a+b）ln（a+b）≥0

f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）﹣f（b）…（12分）2022-2023学年高二（下）期中数学试卷（理科）

一、单选题（每道题只有一个正确答案，每题5分，共60分）

1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足iz+2＝z﹣2i，则|z|＝（）

A．1B．3C．2D．4

2．（5分）函数f（x）＝x2+cosx的导数f′（x）为（）

A．x﹣sinxB．2x﹣sinxC．x+sinxD．2x+sinx

3．（5分）（）

A．πB．C．π+2sin2D．

4．（5分）设z＝1+2i，则的虚部是（）

A．2B．1C．﹣2D．﹣2i

5．（5分）在复平面内，若复数z对应的点为（﹣1，1），则z（1+i）＝（）

A．2B．2iC．﹣2iD．﹣2

6．（5分）设集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤2}，B＝{（x，y）∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P（x，y），则P（x，y）∈B的概率是（）

A．B．C．D．

7．（5分）f0（x）＝cosx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn+1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2023（x）为（）

A．sinxB．﹣sinxC．cosxD．﹣cosx

8．（5分）i为虚数单位，复数（1﹣i）（3+i）＝（）

A．3﹣iB．4﹣2iC．2D．4+2i

9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），则“y＝f′（x）在（0，2）上有两个零点”是“f（x）在（0，2）上有两个极值点”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

10．（5分）观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）

A．B．C．D．

11．（5分）已知函数f（x）＝﹣ex，g（x）＝x2﹣2x﹣1，若对任意x1∈[，2]，都存在x2∈[，2]满足f（x1）﹣g（x2）≥1，则实数a的取值范围是（）

A．[2e2，+∞）B．[2e2﹣2，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，1]

12．（5分）设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞2，f（0）＝2023，则不等式f（x）＞