江苏省南京市第三十中学2021年高二数学理月考试卷含解析

江苏省南京市第三十中学2021年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,是不相等的正数，设，(

)

A.

B.

C.

D.不确定参考答案：B2.设A是正方体的一条棱，这个正方体中与A平行的棱共有（

）A、1条

B、

2条

C、

3条

D、4条参考答案：C略3.抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（）A． B． C．4 D．﹣4参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线的方程化为标准方程，找出标准方程中的p值，根据p的值写出抛物线的准线方程，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：由y=ax2，变形得：x2=y=2×y，∴p=，又抛物线的准线方程是y=1，∴﹣=1，解得a=﹣．故选B4.设,则=（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题中已知条件先找出函数的规律，便可发现的循环周期为4，从而求出的值．【详解】解：由上面可以看出，以4为周期进行循环．故选：．【点睛】本题考查三角函数求导、函数周期性的应用，考查观察、归纳方法的应用,属于基础题．5.已知是R上的偶函数，若将的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若则

A．1 B．0 C． D．参考答案：B略6.命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（）A．分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C的方程是：=﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件，故选：B7.的展开式的常数项是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3参考答案：D【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：=（x2+x﹣2）+…+，∴展开式的常数项=﹣2=3．故选：D．8.数列{an}满足a1=2，a2=1，并且．则a10+a11=（）A．

B．

C.

D．

参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可知数列{}为等差数列，求出等差数列的通项公式，得到an，则答案可求．【解答】解：由，得，∴数列{}为等差数列，又a1=2，a2=1，∴数列{}的公差为d=，则，∴．则a10+a11=．故选：C．9.的大小关系是（

）A

B

C

D无法确定

参考答案：A略10.如图所示，程序框图的输出结果为

A.

B.

C.

D.

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有

种．（用数字作答）参考答案：96【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有24种结果，再给左边第二块涂色，最后涂第三块，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96种．故答案为：96．【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，因此在涂第二块时，要不和第一块同色．12.已知（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=．参考答案：﹣2考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：在所给的式子中，令x=0可得a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，由此求得a1+a2+a3+a4+a5的值．解答：解：在（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，令x=0可得a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，故a1+a2+a3+a4+a5=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．13.已知双曲线，则它的渐近线方程是

.参考答案：略14.用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是

条参考答案：6略15.一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克。但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，水稻每千克只卖3元。现在他只能凑400元。问这位农民两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？参考答案：略16.设，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是

.参考答案：略17.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数，且对任意，有.（1）求；（2）已知在区间（0，1）上为单调函数，求实数的取值范围.（3）讨论函数的零点个数？(提示：)参考答案：（14分）解：（1）由

得------------------------------------------------------2

（2）

所以-------------------------------------3

依题意，

或在（0，1）上恒成立--------4

即

或在（0，1）上恒成立---------5

由在（0，1）上恒成立，

可知-----------------------6

由在（0，1）上恒成立，

可知，所以或-------------7

（3），

令

所以------------8

令，则，列表如下：----(列表或作图均给2分)----10

（-∞，-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，+∞）+0—0+0—h(x)单调递增极大值单调递减极小值1单调递增极大值单调递减所以当时，函数无零点；-----------11

当1或时，函数有两个零点；--------12

当时，函数有三个零点。--------------13

当时，函数有四个零点。-----------14略19.（本小题满分12分）

已知是定义在上的奇函数，且在上是关于的一次函数，在上是关于的二次函数，且当时，满足：①；②，求表达式。参考答案：20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，原点到过点A（﹣a，0），B（0，b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式为0，再联立直线方程组，求得P，Q的坐标，求得PQ的长，求出OPQ的面积，化简整理，可得最小值．【解答】解：（1）因为，a2﹣b2=c2，所以a=2b．因为原点到直线AB：的距离，解得a=4，b=2．故所求椭圆C的方程为+=1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4或x=﹣4，都有．当直线l的斜率存在时，设直线，由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0．因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4．①又由可得；同理可得．由原点O到直线PQ的距离为和，可得．②将①代入②得，．当时，；当时，．因，则0＜1﹣4k2≤1，，所以，当且仅当k=0时取等号．所以当k=0时，S△OPQ的最小值为8．综上可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率公式和点到直线的距离，考查三角形的面积的最小值，注意讨论直线的斜率是否存在，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．21.已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）求f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．参考答案：解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴函数f（x）的值域是[，]；（2）由f（A）=sin（2A+）+=，得sin（2A+）=0，又A为锐角，∴A=，又b=2，c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=7，即a=，由正弦定理=，得sinB===，又b＜a，∴B＜A，∴cosB==，则cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=×+×=．考点： 余弦定理；正弦定理．

专题： 三角函数的求值．分析： （1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；（2）由f（A）=以及第一问确定出的f（x）解析式，求出A的度数，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，根据正弦定理求出sinB的值，进而确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答： 解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴函数f（x）的值域是[，]；（2）由f（A）=sin（2A+）+=，得sin（2A+）=0，又A为锐角，∴A=，又b=2，c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=7，即a=，由正弦定理=，得sinB===，又b＜a，∴B＜A，∴cosB==，则cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=×+×=．点评： 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），且直线l与曲线C交于A，B两点，以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，求的值参考答案：(1).(2).分析：(1)曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，整理得到，由此，根据极坐标与平面直角坐