2023年广东省阳江市阳春市中考数学一模试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列说法中，正确的是()

A.与互为倒数B.与互为相反数C.的相反数是D.的绝对值是

2.我们虽然把地球称为“水球”，但可利用淡水资源匮乏．我国淡水总量仅约为亿米，用科学记数法表示这个数为()

A.亿米B.亿米

C.亿米D.亿米

3.若，则的余角的大小是()

A.B.C.D.

4.在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球个，黄色乒乓球个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是()

A.B.C.D.

5.下列命题是真命题的是()

A.B.三角形的内心到三角形三边的距离相等

C.等弧所对的圆周角相等D.正多边形都是中心对称图形

6.在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为()

A.B.C.D.

7.九章算术是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为()

A.B.C.D.

8.若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是()

A.B.C.D.

9.已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为()

A.B.C.D.

10.如图，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.计算：______．

12.分解因式：______．

13.如图，在中，，点，分别是，边上的中点，连接，如果，，那么的长是______

14.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则．

15.如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，点是线段上的一个动点，则的周长最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

解不等式组：．

17.本小题分

如图，在平行四边形中，是它的一条对角线．

尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，不写作法，保留作图痕迹；

连接，若，求的度数．

18.本小题分

某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“合格”，“不合格”．

本次抽查总人数为______，“合格”人数的百分比为______；

补全条形统计图；

扇形统计图中“不合格人数”的度数为______；

在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为______．

19.本小题分

遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台．

求，型设备单价分别是多少元；

该校计划购买两种设备共台，要求型设备数量不少于型设备数量的设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用．

20.本小题分

如图，一次函数与反比例函数交于、两点，与轴交于点，与轴交于点过点作轴于点，连接已知点的纵坐标为，且．

求反比例函数及一次函数的解析式；

在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

请结合图形，直接写出不等式的解集．

21.本小题分

如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．

求证：是的切线；

延长和交于点，若，求的值．

22.本小题分

如图，已知为正方形对角线上一点，连接，，是延长线上一点，于点，交于点．

求证：；

判断的形状并说明理由；

若为的中点，且，求的长．

23.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．

填空：______，______；

点为直线上方抛物线上一动点，

连接、，设直线交线段于点，求的最大值；

过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、与互为相反数，故此选项不符合题意；

B、与互为倒数，故此选项不符合题意；

C、的相反数是，故此选项符合题意；

D、的绝对值是，故此选项不符合题意；

故选：．

根据相反数、倒数、绝对值的定义分别进行判断即可．

此题考查了相反数、倒数、绝对值的定义，掌握：只有符号不同的两个数叫互为相反数，的相反数是；乘积是的两个数叫互为倒数，没有倒数；正数的绝对值是它本身，的绝对值是，负数的绝对值是它的相反数．

2.【答案】

【解析】解：亿米亿米，

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负

此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】

【解析】解：，

的余角为：，

故选：．

根据互余两角之和为计算即可．

本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角．

4.【答案】

【解析】解：随机摸出一个球共有种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有种，

随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率为，

故选：．

随机摸出一个球共有种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有种，再根据概率公式求解即可．

本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．

5.【答案】

【解析】解：，

选项A不符合题意；

三角形的内心到三角形三边的距离相等，

选项B符合题意；

在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，

选项C不符合题意；

边长为偶数的正多边形是中心对称图形，

选项D不符合题意．

故选：．

根据二次根式的性质与化简方法，角平分线的性质和应用，圆周角定理和应用，三角形的内切圆与内心的性质和应用，以及中心对称图形的特征和判断方法，逐项判断即可．

此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解答此题的关键是要熟悉课本中的性质定理．

6.【答案】

【解析】解：点与点关于原点成中心对称，

，，

，

故选：．

由中心对称的性质可求，的值，即可求解．

本题考查了中心对称，关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．

7.【答案】

【解析】解：设经过天相遇，

根据题意得：，

，

故选：．

设总路程为，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程大雁的路程总路程即可得出答案．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程大雁的路程总路程列出方程是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：一次函数的函数值随着的增大而减小，

，

解得．

所以的值可以是，

故选：．

根据比例系数小于时，一次函数的函数值随的增大而减小列出不等式求解即可．

本题考查了一次函数的性质，在一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．

9.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程的两根分别记为，，

，，

，

，，

，

原式

．

故选：．

根据根与系数的关系求出，的值，代入代数式求值即可．

本题考查了根与系数的关系，掌握，是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：在菱形中，，

为等边三角形，

设，由图可知，的面积为，

的面积，

解得：，

故选：．

根据图和图判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可．

本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．

11.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案为：．

直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．

此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

12.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案为：．

先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13.【答案】

【解析】解：点，分别是，边上的中点，

是的中位线，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

根据三角形中位线定理可得的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得的长，进一步即可求出的长．

本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：如图，过点作于，

等腰直角三角形的斜边轴于点，

，

，

，，

是的中点，

，

．

故答案为：．

如图，过点作于，根据直角三角形斜边中线的性质可得，得点和的坐标，根据中点坐标公式可得点的坐标，从而得结论．

本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：如图，在上截取，使得，连接，过点作于点．

四边形是矩形，

，

，

四边形是矩形，

，

，，，

，

平分，，

、关于对称，

，

，

，

的周长的最小值为，

故答案为：．

如图，在上截取，使得，连接，过点作于点利用勾股定理求出，，证明，可得结论．

本题考查矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

16.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17.【答案】解：如图所示，

如图，

垂直平分，，

，

，

是的外角，

．

【解析】利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；

由垂直平分线的性质得出，进而得出，再由三角形外角的性质即可求出的度数．

本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，基本作图，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形外角的定义与性质是解决问题的关键．

18.【答案】解：，；

补全图形如下：

；

【解析】

【分析】

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为可得合格人数所占百分比；

总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；

用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【解答】

解：本次抽查的总人数为人，

“合格”人数的百分比为，

故答案为：，；

人，

补全图形如下：

扇形统计图中“不合格人数”的度数为，

故答案为：；

列表如下：

甲乙丙

甲乙，甲丙，甲

乙甲，乙丙，乙

丙甲，丙乙，丙

由表知，共有种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有种结果，

所以刚好抽中甲乙两人的概率为．

故答案为：．

19.【答案】解：设每台型设备的价格为万元，则每台型号设备的价格为万元，

根据题意得，，

解得：．

经检验，是原方程的解．

，

每台型设备的价格为元，则每台型号设备的价格为元．

设购买台型设备，则购买台型设备，

，

由实际意义可知，，

且为整数，

，

随的增大而增大，

当时，的最小值为元．

，且最少购买费用为元．

【解析】设每台型设备的价格为元，则每台型号设备的价格为元，根据“用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台”建立方程，解方程即可．

根据总费用购买型设备的费用购买型设备的费用，可得出与的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

20.【答案】解：如图，连接，

轴，

，

，

，

反比例函数的关系式为，

当时，即，

解得，

点坐标为，

点在一次函数的图象上，

，

即，

一次函数的关系式为，

答：反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；

方程组的解为，，

点，

点，

如图，设点，

直线与轴的交点的坐标为，

，

当的面积是面积的倍时，

即，

，

解得或，

点或；

由于一次函数与反比例函数交点点，

不等式的解集为或．

【解析】根据反比例函数系数的几何意义可求出的值，确定反比例函数关系式，进而求出点坐标，代入确定一次函数关系式；

求出点坐标，利用三角形面积公式列方程求解即可；

根据一次函数与反比例函数图象的交点坐标以及函数的增减性得出答案．

本题考查一次函数与反比例函数的交点，一次函数、反比例函数与不等式的关系，掌握一次函数与反比例函数交点坐标的计算方法，理解一次函数、反比例函数与不等式的关系是正确解答的前提．

21.【答案】证明：如图，连接，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

是的半径，

是的切线；

解：，，

设，则，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

又，

∽，

，

，

．

【解析】如图，连接，根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质即可得到结论；

设，则，根据平行线的性质得，证明∽，根据相似三角形的性质即可得解．

此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题