【解析】初中数学浙教版八下精彩练习阶段性测试（十）【范围：5.1-5.3】

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初中数学浙教版八下精彩练习阶段性测试（十）【范围：5.1-5.3】

一、选择题

1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）

A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形

C．矩形、正方形D．菱形、正方形

【答案】D

【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，

矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，

∴A、B、C不符合题意，D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，即可得出答案.

2．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（）

A．3B．12C．18D．36

【答案】C

【知识点】正方形的性质

【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，OA=3，

∴AC=BD=6，AO⊥BO，

∴正方形面积为：AC×BD=18.

故答案为：C.

【分析】根据正方形的对角线互相垂直相等可得AC=BD=6，AO⊥BO，再根据正方形的面积等于两对角线乘积的一半即可算出答案.

3．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结OE，则OE的长一定等于（）

A．BEB．AOC．ADD．OB

【答案】A

【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，

又∵E为BC中点，

∴OE=BE=EC=BC.

故答案为：A.

【分析】根据菱形的对角线相互垂直，得AC⊥BD，即∠BOC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OE=BE=EC=BC，即可判断.

4．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）

A．6.5dmB．6dmC．5.5dmD．4dm

【答案】A

【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，BC⊥CD，

∴∠BCE+∠FCD=90°，

又∵BE⊥EF，DF⊥EF，

∴∠BEC=∠CFD=90°，

∴∠BCE+∠EBC=90°，

∴∠EBC=∠FCD，

∴△BEC≌△CFD，

∴BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，

∴EF=EC+CF=6.5dm.

故答案为：A.

【分析】根据正方形性质得，BC=CD，BC⊥CD，根据同角的余角相等得∠EBC=∠FCD，利用AAS可证明△BEC≌△CFD，根据全等三角形性质可得BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，再由EF=EC+CF即可求解.

5．在□ABCD中，AB=3，BC=4，当口ABCD的面积最大时，下列结论：①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD.其中正确的有（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】解：∵当平行四边形面积最大时，AB⊥BC，

∴平行四边形ABCD为矩形，即当平行四边形ABCD时矩形是，面积最大，

①∵AB=3，BC=4，AC=5，

∴AB2+BC2=25=AC2，

∴AB⊥BC，

∴平行四边形ABCD为矩形，故①符合题意；

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

又∵∠A+∠C=180°，

∴∠A=∠C=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，故②符合题意；

③∵平行四边形ABCD，AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD为菱形，故③不符合题意；

④∵平行四边形ABCD，AC=BD，

∴平行四边形ABCD为矩形，故④符合题意.

故答案为：B.

【分析】当平行四边形面积最大时，AB⊥BC，可判定平行四边形ABCD为矩形，因此从条件中验证可判定为矩形的条件即可；由勾股定理逆定理可推出AB⊥BC，即可推出平行四边形ABCD为矩形，故①正确；由∠A+∠C=180°及∠A=∠C，可证∠A=90°，可证明平行四边形为矩形，故②正确；由AC⊥BD，可证明平行四边形ABCD为菱形，故③错误；由AC=BD，可证明平行四边形ABCD为矩形，故④正确.

6．如图所示，在ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（）

A．65°B．55°C．70°D．75°

【答案】A

【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：∵正方形AEFG，

∴∠AEF=90°，

∵∠BAE=40°，∠CEF=15°，

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，即：90°+15°=40°+∠B，

∴∠B=65°，

∵平行四边形ABCD，

∴∠D=∠B=65°.

故答案为：A.

【分析】由正方形的性质可得∠AEF=90°，再根据三角形外角定理，可列等式：∠AEC=∠BAE+∠B，结合∠AEC=∠AEF+∠CEF，求得∠B，再由平行四边形的对角互补即可求得∠D度数.

7．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF的面积是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质

【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥EF于点H，

∵菱形ABCD，

∴BC=CD，∠B=∠D=60°，

∴∠BAD=180°-60°=120°，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

∴∠BAE=∠DAF=30°，

∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=120°-30°-30°=60°，

又∵BC·AE=CD·AF，

∴AE=AF，

∴△AEF为等边三角形，

∴AE=EF=AF，EH=HF=EF，AH=EH，

∵AB=4，

∴在Rt△AEB中，BE=AB=2，

∴EF=AF=AE=BE=2，

∴AH=EH=3，

∴S△AEF=EF·AH=×2×3=3.

故答案为：B.

【分析】如图，过点A作AH⊥EF于点H，根据菱形性质得，BC=CD，∠B=∠D=60°，再求得∠BAD，由AE⊥BC，AF⊥CD，得∠AEB=∠AFD=90°，进而求出∠BAE=∠DAF=30°，可求得∠EAF=60°，根据菱形面积相等得BC·AE=CD·AF，即AE=AF，证明出△AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，EH=HF=EF，AH=EH，再在Rt△AEB中，求得BE，即可求出AH，最后通过三角形面积公式计算即可解决问题.

8．（2023·台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（）

A．7+3B．7+4C．8+3D．8+4

【答案】D

【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．

由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝，

∵四边形EMHK是矩形，

∴EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2，

∵△RMH是等腰直角三角形，

∴RH＝MH＝1，RM＝，同法可证NW＝，

由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4，

∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4++++4＝8+，

故答案为：D．

【分析】如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．

二、填空题

9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是(写出一个即可)

【答案】(答案不唯一)

【知识点】矩形的判定；正方形的判定

【解析】【解答】解：需要添加的条件是：AC⊥BD，理由如下：

∵对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，

∴四边形ABCD是矩形，

又∵AC⊥BD，

∴矩形ABCD是正方形.

故答案为：AC⊥BD.（答案不唯一）

【分析】根据OA=OC=OB=OD，可判定四边形ABCD为矩形，因此根据对角线相互垂直的矩形为为正方形，添加AC⊥BD即可，也可以根据有一组邻边相等的矩形是正方形添加条件.

10．如图所示，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是.

【答案】

【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：如图，过点D作DF垂直BC于点F，

∵菱形BDCE，

∴BD=CD，

又∵∠D=60°，

∴△BDC是等边三角形，

∴∠DFC=90°，BF=CF=1，即D点纵坐标为：1，

∴在Rt△DFC中，DF=，

∵正方形ABCD，BC=2，

∴OC=2，

∴D点横坐标为：OC+DF=2+，

故答案为：（2+，1）.

【分析】如图，过点D作DF垂直BC于点F，由菱形性质结合∠D=60°，可证明△BDC是等边三角形，再根据等边三角形三线合一得BF=CF=1，即D点纵坐标为：1；再利用正方形性质结合D点与O点的水平距离，即可求得D点的横坐标，即可解决问题.

11．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD，点E为垂足，连结AE，若∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=.

【答案】45

【知识点】矩形的性质

【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CE⊥BD，

∴∠DCB=∠CEB=∠CED=90°，OC=OA=OD=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵∠DCE：∠ECB=3：1，∠ECB+∠DCE=90°，

∴4∠ECB=90°，

∴∠ECB=22.5°，

∴∠OCB=∠OBC=90°-∠ECB=90°-22.5°=67.5°，

∴∠OCE=∠OCB-∠ECB=67.5°-22.5°=45°，

∴∠ACE=45°.

故答案为：45°.

【分析】根据矩形性质，结合CE⊥BD，可得∠DCB=∠CEB=∠CED=90°，OC=OA=OD=OB，进而得∠OCB=∠OBC，由∠DCE：∠ECB=3：1，得4∠ECB=90°，即∠ECB=22.5°，求得∠OCB=67.5°，∠OCE=45°，即可解决问题.

12．（2023八下·桦南期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为．

【答案】

【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，其边长为4，BD是其对角线，

∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=，

又∵∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，

∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DAE，

∴DE=AD=4，

∴BE=，

∵EF⊥AB于点F，∠ABD=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=

故答案为.

【分析】先求出∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=，再求出BE=，最后即可作答。

13．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有.(填序号)

【答案】①②③

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定

【解析】【解答】解：∵DE//CA，DF//BA，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵∠BAC=90°，

∴四边形AEDF是矩形，故①符合题意；

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠DAF，

∵DF//BA，

∴∠BAD=∠ADF，

∴∠ADF=∠DAF，

∴AF=FD，

∴四边形AEDF是菱形，故②符合题意；

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC，

∴由②可得，四边形AEDF是矩形，故③符合题意，④不符合题意.

故答案为：①②③.

【分析】根据DE//CA，DF//BA可得四边形AEDF是平行四边形；由∠BAC=90°，得四边形AEDF是矩形；由AD平分∠BAC，可得∠EAD=∠DAF，再根据DF//BA得∠ADF=∠DAF，即AF=FD，可得四边形AEDF是菱形；由AB=AC，AD⊥BC得AD平分∠BAC，由②可得四边形AEDF是矩形，即可判断.

三、解答题

14．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE=DF.

（1）求证：CE=CF.

（2）求∠CEF的度数.

【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，

在和中，

（2）解：，

，

，

【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）根据正方形性质得DC=BC，∠B=∠ADC=90°，推出∠CDF=∠B=90°，结合BE=DF可证明△CDF≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可求证；

（2）根据△CDF≌△CBE，可得∠DCF=∠BCE，进而推出∠ECF=∠DCB=90°，再由CE=CF即可求出∠CEF的度数.

15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.

（1）求证：BM=CM.

（2）判断四边形MENF的形状，并说明理由.

【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，

又为AD的中点，，

.

.

（2）解：四边形MENF是菱形。"E，F，N分别是BM，CM、BC的中点，BM=CM，

，

，

四边形MENF是菱形.

【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可得∠A=∠D=90°，AB=DC，再由M为AD中点可得AM=DM，即可证明△ABM≌△DCM，再根据全等三角形性质即可求证；

（2）根据E，F，N分别是BM，CM，BC的中点可证EN、FN分别为△BMC的中位线，即EN∥MC且EN=MC，FN∥BM且FN=MB，再结合BM=CM即可推出EM=MF，即可求证.

16．如图，以△ABC的边AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形.

（1）当∠BAC满足什么条件时，ADFE是矩形？请说明理由.

（2）当∠BAC满足什么条件时，ADFE不存在？请说明理由.

（3）当△ABC满足什么条件时，ADFE是菱形？当△ABC满足什么条件时，ADFE是正方形？直接给出答案.

【答案】（1）解：当时，是矩形.理由如下：和都是等边三角形，

，

，

是矩形.

（2）解：当时，不存在.理由如下：

和都是等边三角形，

，

三点共线，不存在.

（3）解：当且时，是菱形；当时，是正方形.

【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定

【解析】【分析】（1）根据有一个内角是90°的平行四边形是矩形可知：当∠DAE=90°时，平行四边形ADFE为矩形，根据等边三角形的每一个内角都是60°，即可求出∠BAC的度数；

（2）当∠BAC=60°时，平行四边形ADFE不存在，结合等边三角形的每一个内角都是60°，求得∠DAE=180°，可得D、A、E三点共线，即此时平行四边形ADFE不存在；

（3）当AD=AE=AB=AC，即AB=AC时，可得平行四边形ADFE为菱形；由有一个内角为90°的菱形是正方形，结合（1）中∠BAC满足的条件为矩形，即可求解.

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初中数学浙教版八下精彩练习阶段性测试（十）【范围：5.1-5.3】

一、选择题

1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）

A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形

C．矩形、正方形D．菱形、正方形

2．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（）

A．3B．12C．18D．36

3．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结OE，则OE的长一定等于（）

A．BEB．AOC．ADD．OB

4．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）

A．6.5dmB．6dmC．5.5dmD．4dm

5．在□ABCD中，AB=3，BC=4，当口ABCD的面积最大时，下列结论：①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD.其中正确的有（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

6．如图所示，在ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（）

A．65°B．55°C．70°D．75°

7．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF的面积是（）

A．B．C．D．

8．（2023·台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（）

A．7+3B．7+4C．8+3D．8+4

二、填空题

9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是(写出一个即可)

10．如图所示，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是.

11．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD，点E为垂足，连结AE，若∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=.

12．（2023八下·桦南期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为．

13．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有.(填序号)

三、解答题

14．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE=DF.

（1）求证：CE=CF.

（2）求∠CEF的度数.

15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.

（1）求证：BM=CM.

（2）判断四边形MENF的形状，并说明理由.

16．如图，以△ABC的边AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形.

（1）当∠BAC满足什么条件时，ADFE是矩形？请说明理由.

（2）当∠BAC满足什么条件时，ADFE不存在？请说明理由.

（3）当△ABC满足什么条件时，ADFE是菱形？当△ABC满足什么条件时，ADFE是正方形？直接给出答案.

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，

矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，

∴A、B、C不符合题意，D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，即可得出答案.

2．【答案】C

【知识点】正方形的性质

【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，OA=3，

∴AC=BD=6，AO⊥BO，

∴正方形面积为：AC×BD=18.

故答案为：C.

【分析】根据正方形的对角线互相垂直相等可得AC=BD=6，AO⊥BO，再根据正方形的面积等于两对角线乘积的一半即可算出答案.

3．【答案】A

【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，

又∵E为BC中点，

∴OE=BE=EC=BC.

故答案为：A.

【分析】根据菱形的对角线相互垂直，得AC⊥BD，即∠BOC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OE=BE=EC=BC，即可判断.

4．【答案】A

【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，BC⊥CD，

∴∠BCE+∠FCD=90°，

又∵BE⊥EF，DF⊥EF，

∴∠BEC=∠CFD=90°，

∴∠BCE+∠EBC=90°，

∴∠EBC=∠FCD，

∴△BEC≌△CFD，

∴BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，

∴EF=EC+CF=6.5dm.

故答案为：A.

【分析】根据正方形性质得，BC=CD，BC⊥CD，根据同角的余角相等得∠EBC=∠FCD，利用AAS可证明△BEC≌△CFD，根据全等三角形性质可得BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，再由EF=EC+CF即可求解.

5．【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】解：∵当平行四边形面积最大时，AB⊥BC，

∴平行四边形ABCD为矩形，即当平行四边形ABCD时矩形是，面积最大，

①∵AB=3，BC=4，AC=5，

∴AB2+BC2=25=AC2，

∴AB⊥BC，

∴平行四边形ABCD为矩形，故①符合题意；

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

又∵∠A+∠C=180°，

∴∠A=∠C=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，故②符合题意；

③∵平行四边形ABCD，AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD为菱形，故③不符合题意；

④∵平行四边形ABCD，AC=BD，

∴平行四边形ABCD为矩形，故④符合题意.

故答案为：B.

【分析】当平行四边形面积最大时，AB⊥BC，可判定平行四边形ABCD为矩形，因此从条件中验证可判定为矩形的条件即可；由勾股定理逆定理可推出AB⊥BC，即可推出平行四边形ABCD为矩形，故①正确；由∠A+∠C=180°及∠A=∠C，可证∠A=90°，可证明平行四边形为矩形，故②正确；由AC⊥BD，可证明平行四边形ABCD为菱形，故③错误；由AC=BD，可证明平行四边形ABCD为矩形，故④正确.

6．【答案】A

【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：∵正方形AEFG，

∴∠AEF=90°，

∵∠BAE=40°，∠CEF=15°，

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，即：90°+15°=40°+∠B，

∴∠B=65°，

∵平行四边形ABCD，

∴∠D=∠B=65°.

故答案为：A.

【分析】由正方形的性质可得∠AEF=90°，再根据三角形外角定理，可列等式：∠AEC=∠BAE+∠B，结合∠AEC=∠AEF+∠CEF，求得∠B，再由平行四边形的对角互补即可求得∠D度数.

7．【答案】B

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质

【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥EF于点H，

∵菱形ABCD，

∴BC=CD，∠B=∠D=60°，

∴∠BAD=180°-60°=120°，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

∴∠BAE=∠DAF=30°，

∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=120°-30°-30°=60°，

又∵BC·AE=CD·AF，

∴AE=AF，

∴△AEF为等边三角形，

∴AE=EF=AF，EH=HF=EF，AH=EH，

∵AB=4，

∴在Rt△AEB中，BE=AB=2，

∴EF=AF=AE=BE=2，

∴AH=EH=3，

∴S△AEF=EF·AH=×2×3=3.

故答案为：B.

【分析】如图，过点A作AH⊥EF于点H，根据菱形性质得，BC=CD，∠B=∠D=60°，再求得∠BAD，由AE⊥BC，AF⊥CD，得∠AEB=∠AFD=90°，进而求出∠BAE=∠DAF=30°，可求得∠EAF=60°，根据菱形面积相等得BC·AE=CD·AF，即AE=AF，证明出△AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，EH=HF=EF，AH=EH，再在Rt△AEB中，求得BE，即可求出AH，最后通过三角形面积公式计算即可解决问题.

8．【答案】D

【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．

由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝，

∵四边形EMHK是矩形，

∴EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2，

∵△RMH是等腰直角三角形，

∴RH＝MH＝1，RM＝，同法可证NW＝，

由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4，

∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4++++4＝8+，

故答案为：D．

【分析】如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．

9．【答案】(答案不唯一)

【知识点】矩形的判定；正方形的判定

【解析】【解答】解：需要添加的条件是：AC⊥BD，理由如下：

∵对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，

∴四边形ABCD是矩形，

又∵AC⊥BD，

∴矩形ABCD是正方形.

故答案为：AC⊥BD.（答案不唯一）

【分析】根据OA=OC=OB=OD，可判定四边形ABCD为矩形，因此根据对角线相互垂直的矩形为为正方形，添加AC⊥BD即可，也可以根据有一组邻边相等的矩形是正方形添加条件.

10．【答案】

【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：如图，过点D作DF垂直BC于点F，

∵菱形BDCE，

∴BD=CD，

又∵∠D=60°，

∴△BDC是等边三角形，

∴∠DFC=90°，BF=CF=1，即D点纵坐标为：1，

∴在Rt△DFC中，DF=，

∵正方形ABCD，BC=2，

∴OC=2，

∴D点横坐标为：OC+DF=2+，

故答案为：（2+，1）.

【分析】如图，过点D作DF垂直BC于点F，由菱形性质结合∠D=60°，可证明△BDC是等边三角形，再根据等边三角形三线合一得BF=CF=1，即D点纵坐标为：1；再利用正方形性质结合D点与O点的水平距离，即可求得D点的横坐标，即可解决问题.

11．【答案】45

【知识点】矩形的性质

【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CE⊥BD，

∴∠DCB=∠CEB=∠CED=90°，OC=OA=OD=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵∠DCE：∠ECB=3：1，∠ECB+∠DCE=90°，

∴4∠ECB=90°，

∴∠ECB=22.5°，

∴∠OCB=∠OBC=90°-∠ECB=90°-22.5°=67.5°，

∴∠OCE=∠OCB-∠ECB=67.5°-22.5°=45°，

∴∠ACE=45°.

故答案为：45°.

【分析】根据矩形性质，结合CE⊥BD，可得∠DCB=∠CEB=∠CED=90°，OC=OA=OD=OB，进而得∠OCB=∠OBC，由∠DCE：∠ECB=3：1，得4∠ECB=90°，即∠ECB=22.5°，求得∠OCB=67.5°，∠OCE=45°，即可解决问题.

12．【答案】

【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，其边长为4，BD是其对角线，

∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=，

又∵∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，

∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DAE，

∴DE=AD=4，

∴BE=，

∵EF⊥AB于点F，∠ABD=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=

故答案为.

【分析】先求出∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=，再求出BE=，最后即可作答。

13．【答案】①②③

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定

【解析】【解答】解：∵DE//CA，DF//BA，

∴四边形AEDF是平行四