弹性力学第六章有限元

弹性力学第六章有限元徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元1第1页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元2References参考书徐芝纶，弹性力学简明教程第六章。高等教育出版社。华东水利学院，

弹性力学问题的有限单元法，水利电力出版社。卓家寿，

弹性力学中的有限元法，高等教育出版社。O.C.Zienkiewicz,

TheFiniteElementMethod,ThirdEdition,51.818,Z66K.C.Rockeyandsoon,TheFiniteElementMethod,SecondEdition,51.818,R682-2第2页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元3

Introduction-1导引-1

Thefiniteelementmethodisanextensionoftheanalysistechniques(matrixmethod)ofordinaryframedstructures.

有限元法是刚架结构分析技术的扩充。Thefiniteelementmethodwaspioneeredintheaircraftindustrywheretherewasanurgentneedforaccurateanalysisofcomplexairframes.

有限元法首先应用于飞机工业。第3页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元4

Introduction-2

Theavailabilityofautomaticdigitalcomputersfrom1950onwardscontributedtotherapiddevelopmentofmatrixmethodsduringthisperiod.

从1950以后数字计算机的出现使矩阵位移法迅速发展。第4页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元5Introduction-3Thefiniteelementmethodwasdevelopedrapidlyfrom1960onwardsandknowninChinafrom1970onwards.从1960以后有限元法迅速发展。1970以后传入我国。第5页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元6Introduction-4Inacontinuumstructure,acorrespondingnaturalsubdivisiondoesnotexistsothatthecontinuumhastobeartificiallydividedintoanumberofelementsbeforethematrixmethodofanalysiscanbeapplied.

连续结构不存在自然的单元，须人为划分为单元第6页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元7Introduction-5Theartificialelements,whicharetermed‘finiteelements’ordiscreteelements,areusuallychosentobeeitherrectangularortriangularinshape.

单元通常取为三角形或矩形。第7页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元86.1

Fundamentalquantitiesandfundamentalequationsexpressedbymatrix

6.1基本量和基本方程的矩程表示Bodyforce体力：{p}=[XY]TSurfaceforce

面力：{p}=[XY]TDisplacement位移：{f}=[uv]TStrain

应变：{}=[x

yrxy]T

Stress应力：{}=[x

y

xy]TGeometricalequationsPhysicalequationsvirtualworkequations第8页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元9GeometricalEquation几何方程

xu/x/x0u

{}=

y=v/y=0/yv=[L]{f}rxyu/y+v/x/y/x

x/x0{}=y[L]=0/y{f}=[uv]T

rxy/y/x{}==[L]{f}第9页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元10PhysicalEquationforPlaneStressProblem

平面应力问题的物理方程

x

x+y10x

y=E/(1-2)y+x=E/(1-2)10y

xyrxy(1-)/200(1-)/2rxy

x10x{}=y[D]=E/(1-2)10{}=y

xy00(1-)/2rxy

{}=[D]{}

第10页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元11VirtualWorkEquation虚功方程

状态1：{p}=[XY]T{p}=[XY]T

{}=[x

y

xy]T状态2：{f*}=[u*v*]T{*}

=[L]{f*}虚功方程：

{f*}T{p}dxdyt+

{f*}T{p}dst={*}T{}dxdyt注：{f*}T{p}=[u*v*]X

=Xu*+Yv*

Y

{*}T{}=[x*

y*rxy*

]x=x

x*

+y

y*+xyrxy*

y

xy第11页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元126.2BasicConceptsaboutFiniteElementMethod

6.2有限单元法的概念有限单元法的计算模型1.Thecontinuumstructureisidealizedasastructureconsistingofanumberofindividualelementsconnectedonlyatnodalpoints.

连续的结构理想化为仅由在结点相连的单元组成。第12页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元132.Displacementboundary:placeabarsupportatthenodewheredisplacementiszero.

位移边界：结点位移为零处，设置连杆.3.Thesystemofexternalloadsactingontheactualstructurehastobereplacedbyanequivalentsystemofforcesconcentratedattheelementnodes.Thiscanbedonebyusingtheprincipleofvirtualworkandequatingtheworkdonebytheactualloadstotheworkdonebytheequivalentnodalloads.

外力按静力等效的原则移置到结点上第13页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元14第14页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元15第15页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元16补充：关于离散AboutDiscretization

InrealityElementsareconnectedtogetheralongtheircommonboundaries.Hereitisassumedthattheseelementsareonlyinterconnectedattheirnodes.

实际：单元间相连----假定：只结点相连第16页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元17关于离散-2However,inthefiniteelementmethod,theindividualelementsareconstrainedtodeforminspecificpatterns.

然而，单元变形按指定模式.第17页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元18关于离散--3Hence,althoughcontinuityisonlyspecifiedatthenodalpoints,thechoiceofasuitablepatternofdeflectionfortheelementscanleadtothesatisfactionofsome,ifnotall,ofthecontinuityrequirementsalongthesidesofadjacentelements.

位移模式使相连单元位移连续得某些满足第18页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元19关于离散--4Hence,asstatedbyClough,‘finiteelementsarenotmerelypiecescutfromtheoriginalstructure,butarespecialtypesofelasticelementsconstrainedtodeforminspecificpatternssuchthattheoverallcontinuityoftheassemblagetendstobemaintained’第19页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元206.3Displacementpatternandconvergencecriteria

6.3位移模式和收敛性

Fig.1showsthetypicaltriangularelementwithnodesijmnumberedinananti-clockwiseorder.Ym图1为一典型的三角形单元，i

结点ijm逆钟向编号--x正向到jy正向。Fig..1x

Elementwithnodesnumbered单元的结点编号第20页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元21

Displacementpattern

位移模式

Thedisplacementrepresentationisgivenbythetwolinearpolynomialswithsixconstants

位移用有6个常数的线性多项式表示

u=

1+2x+3y(1)v=

4+5x+6y(2)第21页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元22Sincethesedisplacementsarebothlinearinxandy,displacementcontinuityisensuredalongtheinterfacebetweenadjoiningelementsforanyidenticalnodaldisplacement.

因为位移在单元上均为线性，相邻单元交界面上的位移连续性因同一结点位移相同而得到保证。Displacementcontinuity位移连续性第22页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元23u=

1+2x+3y(1)Substitutionofthenodalcoordinatesintoequation(1)yields:结点坐标代入方程（1）得：

ui=1+2xi+3yiuj=1+2xj+3yj(3)um=1+2xm+3ym

ui=u(xi,yi)uj=u(xj,yj)um=u(xm,ym)

Toobtain

1

2

3求

1

2

3------1

第23页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元24u=

1+2x+3y(1)Substitutionofthenodalcoordinatesintoequation(1)yields:结点坐标代入方程（1）得：

ui1xiyi

1

uj=1xjyj

2(3)um1xmym

3

ui=u(xi,yi)uj=u(xj,yj)um=u(xm,ym)

Toobtain

1

2

3求

1

2

3------1

第24页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元25Solvingeq.(3),weobtain:解方程（3）得

1

uixiyi1uiyi1xiuiT

2=1/2Aujxjyj1ujyj1xjuj

3umxmym1umym1xmum

1xiyi

1xjyj=2A(4)

1xmym

Theaboveexpressionisensuredwhenthenodeijmareinananti-clockwiseorder.

(A--areaoftriangleijm单元面积)

当结点逆钟向编号x正向到y正向时，上式成立

Toobtain

1

2

3求

1

2

3-----2

第25页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元26Substitutionof

1

2

3intoeq.(1)yields:

将

1

2

3代入方程（1）得：

uixiyi1uiyi1xiuiu

=1/2Aujxjyj+

1ujyjx+1xjujy

umxmym1umym1xmum1

x

y

1xy

1x

y

=1/2A1

xjyjui+

1xmymuj+1xiyium

1

xmym1xiyi1xjyj

u=Ni(x,y)ui+Nj(x,y)uj+Nm(x,y)umv=Ni(x,y)vi+Nj(x,y)vj+Nm(x,y)vm第26页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元27Inwhich：1xy1xiyi

其中：Ni(x,y)=1xjyj1xjyj

1xmym1xmym

=(ai+bix+ciy)/(2A)(i,j,m)

xjyj1yj

ai=xmym=xjym-xmyjbi=-1ym=yj-ym

1xj

ci=1xm=xm-xj(i,j,m)

1xiyi

2A=1xjyj

1xmym

第27页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元28Niiscalledelementdisplacementfunctionorelementshapefunction.Ni

叫做单元位移函数或单元形函数。

Ni(xi,yi)=1Ni(xj,yj)=0Ni(xm,ym)=0(i,j,m)

1xy1xiyi

Ni(x,y)=1xjyj1xjyj

1xmym1xmym

第28页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元29

u=Ni(x,y)ui+Nj(x,y)uj+Nm(x,y)um

v=Ni(x,y)vi+Nj(x,y)vj+Nm(x,y)vm

{f}=[N]{

}e

{f}=[uv]T

nodaldisplacementmatrix:结点位移列阵：

{

}e=[uiviujvjumvm]T

shapefunctionmatrix:形函数矩阵：

Ni0Nj0Nm0

[N]

=

0Ni0Nj0Nm

有限个自由度问题

第29页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元30ConvergenceCriteria收敛准则---1Criterion1：Thedisplacementfunctionchosenshouldbesuchthatitdoesnotpermitstrainingofanelementtooccurwhenthenodaldisplacementsarecausedbyarigidbodydisplacement.准则1：位移模式必须反映单元的刚体位移。第30页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元31ConvergenceCriteria收敛准则--2Criterion2：Thedisplacementfunctionhastobetakensothattheconstantstrain(constantfirstderivative)couldbeobserved.准则2：位移模式必须反映单元的常量应变。第31页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元32ConvergenceCriteria收敛准则--3Criterion3：Thedisplacementfunctionshouldbesochosenthatthestrainsattheinterfacebetweenelementsarefinite(eventhoughindeterminateandnotequal).准则3：位移模式必须使单元公共边上的应变在不同单元中为常量。第32页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元33ConvergenceCriteria收敛准则--3准则3：位移模式必须使位移处处连续.(1)单元内位移连续.(2)单元公共边上的位移连续。第33页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元34Furtherdiscussionaboutcriteria--1

准则的进一步讨论--1Criterion3impliesacertaincontinuityofdisplacementsbetweenelements--------Inthecaseofstrainsbeingdefinedbyfirstderivative,thedisplacementsonlyhavetobecontinuousbetweenelements.ThatisC0continuityissufficient第34页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元35Furtherdiscussionaboutcriteria--2

准则的进一步讨论--2Criterion3impliesacertaincontinuityofdisplacementsbetweenelements.--------Intheplateandshellproblems,the‘strains’aredefinedbysecondderivativesofdeflections,firstderivativesofdeflectionshavetobecontinuousbetweenelements.第35页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元36Furtherdiscussionaboutcriteria-1,2

准则的进一步讨论-1,2准则3

意味着对单元间位移的连续性有一定要求。-----应变是位移的一阶导数的情况，例如弹性力学平面问题，仅要求单元之间位移连续。称为C0连续性。------板和壳问题，应变是位移的二阶导数，要求位移的一阶导数在单元间连续,C1连续性

。第36页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元37Furtherdiscussionaboutcriteria--3

准则的进一步讨论--3Criterion1and2arenecessaryconditions.Criterion3isthesufficientcondition.

准则1和2是收敛的必要条件，准则3是充分条件。第37页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元38

准则1和2是收敛的必要条件，不满足一定不收敛.在满足准则1和2的必要条件的前提下,再满足准则3,一定收敛。--协调元在满足准则1和2的必要条件的前提下,不满足准则3---可能收敛(非协调元,例薄板弯曲问题),可能不收敛.第38页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元39Furtherdiscussionaboutcriteria--4

准则的进一步讨论--4u=

1+2x+3y=1+2x-y(5-3)/2+y(5+3)/2v=

4+5x+6y=4+6y+x(5-3)/2+x(5+3)/2刚体位移

u=-y

+u0v=

x+v0u0=1v0=4=(5-3)/2反映刚体位移

x=2

y=6rxy=5+3反映常量应变第39页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元40Furtherdiscussionaboutcriteria--4

准则的进一步讨论--4u=

1+2x+3y=1+2x-y(5-3)/2+y(5+3)/2v=

4+5x+6y=4+6y+x(5-3)/2+x(5+3)/2位移在单元内部连续,在单元公共边上连续,满足准则3第40页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元416.4Strain,StressandStiffness应变，应力和劲度

{

}=[L]{f}=[L][N]{

}e=[B]{

}e{

}=[B]{

}e

/x0Ni0Nj0Nm0[B]=[L][N]=0/y0Ni0Nj0Nm/y/x=[BiBjBm]

A.Strain应变第41页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元42

/x0Ni0Nj0Nm0[B]=[L][N]=0/y0Ni0Nj0Nm/y/x=[BiBjBm]

Ni/x0bi0Bi=0Ni/y=0ci/(2A)Ni/yNi/xcibiTheBmatrixisindependentofthepositionwithintheelement,andhencethestrainsareconstantthroughoutit.应变在单元中为常量。第42页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元43B.Stress

应力

{

}=[D]{

}=[D][B]{

}e=[S]{

}e[S]=[D][B]=[DBiDBjDBm]=[SiSjSm]10bi0

Si=DBi=E/(1-2)101/2A0ci00(1-)/2cibibici=E/[2A(1-2)]bici(1-)ci/2(1-)bi/2

[S]---Elasticitymatrix;弹性矩阵，应力转换矩阵

第43页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元44

C.Stiffness劲度

C.1ElementNodalForceMatrix单元结点力列阵{F}e=[UiViUjVjUmVm]TElementnodalforcesaretheinternalforcesbetweenelementsandnodes.Itisconsideredpositiveornegativeaccordingasitactsinthepositiveornegativedirectionofthecoordinateaxiswhenitactsontheelement.

单元结点力：单元和结点间相互作用力，作用在单元上时，沿坐标正向为正.作用在结点上时，沿坐标负向为正.第44页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元45Vi2

Y1

Ui2

im

U1=Uj1+Ui21

X1

Uj1Vj1j

y

jUmmiUi

VmVix

V1=Vj1+Vi2

单元结点力列阵{F}e=[UiViUjVjUmVm]T

整体结点力列阵{F}=[U1V1U2V2U3V3U4V4]T

作用在结点上时，沿坐标负向为正.

第45页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元46

C.Stiffness劲度C.2TherelationbetweentheelementnodalforceandnodaldisplacementsIsolateanelementfromthestructure.Sincebodyforcesandsurfaceforcesaremovedtothenodes,onlyelementnodalforcesaretheexternalforcesactingontheelement.Imposeanarbitraryvirtualnodaldisplacement.Theworkdonebythenodalforcesisequaltotheworkdonebythestresses.第46页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元47C.Stiffness劲度C.2单元结点力和单元结点位移列阵的关系将单元取出作为隔离体，因为体力面力已移置到结点上，单元上结点力为外力，应力为内力。施加一个虚位移，结点力作功等于应力作功可导得

单元结点力和单元结点位移的关系第47页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元48C.2-continue

We=({

*}e)T{F}e

=[uiviujvjumvm]UiViUj

Vj

Um

Vm=Uiui+Vivi+Ujuj+Vjvj+Umum+Vmvm

第48页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元49C.2-continue

WI=

{

*}T{

}dxdyt=({

*}e)T

[B]T[D][B]dxdyt{}e

注：{*}T{}=[x*

y*rxy*

]x=x

x*+y

y*+xyrxy*

y

xy{

*}=[B]{

*}e{

*}T=({

*}e)T[B]T{

}=[D][B]{

}e第49页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元50C.2-continue

We=({

*}e)T{F}e

WI=

{

*}T{

}dxdyt=({

*}e)T

[B]T[D][B]dxdyt{}e

We=WI

({

*}e)T{F}e=({

*}e)T

[B]T[D][B]dxdyt{}e

Since{

*}eisarbitrary,wehave

{F}e=

[B]T[D][B]dxdyt{}e=[k]{}e[k]=

[B]T[D][B]dxdyt=[B]T[D][B]At[k]-----elementstiffnessmatrix.单元劲度矩阵第50页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元51C.3TheExplicitFormforElementStiffnessMatrix

C.3单元劲度矩阵的表达式[k]=

[B]T[D][B]dxdyt=[B]T[D][B]AtBiT[k]=BjTD[BiBjBm]AtBmTBiTD

BiBiTD

BjBiTD

Bm[k]=AtBjTD

BiBjTD

BjBjTD

Bm

BmTDBiBmTDBjBmTD

Bm第51页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元52

kiikijkim[k]=kjikjjkjm

krs=BrTDBs(r,s=i,j,m)

kmikmjkmmbrbs+(1-)crcs/2

brcs+(1-)crbs/2

krs=Et/[4(1-

2)A]crbs+(1-)brcs/2

crcs+(1-)brbs/2

(r,s=i,j,m)(planestressproblem平面应力问题)krsxx

krsxykrs=krsyx

krsyy第52页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元53C.4ThePhysicalExplanationforElementStiffnessmatrix

C.4单元劲度矩阵的物理意义{F}e=[k]{

}eUikiixxkiixykijxxkijxykimxxkimxyuiVikiiyxkiiyykijyxkijyykimyxkimyyviUj=

kjixxkjixykjjxxkjjxykjmxxkjmxyujVjkjiyxkjiyykjjyxkjjyykjmyxkjmyyvjUmkmixxkmixykmjxxkmjxykmmxxkmmxyumVmkmiyxkmiyykmjyxkmjyykmmyxkmmyyvm

kijyx--j结点x方向发生单位位移在i结点y方向的结点力第53页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元54

kijyx--j结点x方向发生单位位移在i结点y方向的结点力方向

kijyx局部结点号

结果原因

第54页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元55

C.5TheCharacteristicsoftheElementStiffnessMatrixC.5单元劲度矩阵的特点

1.

对称矩阵2.

每一行元素之和为零.Assume{

}e=[uiviujvjumvm]T=[111111]T{F}e=[k]{

}e={0}

3.

每一列元素之和为零.4.[k]为奇异矩阵。|k|的各行元素乘1后加到第一行，行列式值不变，由于第一行元素全为零，故|k|=05.[k]的元素的数值取决于单元形状，大小，方位和弹性常数，不随单元的平行移动或作n

的转动而改变。n为正整数。第55页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元56转动,[k]不变

mjiijm第56页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元57

kiikijkim[k]=kjikjjkjm

krs=BrTDBs(r,s=i,j,m)

kmikmjkmmbrbs+(1-)crcs/2

brcs+(1-)crbs/2

krs=Et/[4(1-

2)A]crbs+(1-)brcs/2

crcs+(1-)brbs/2

(r,s=i,j,m)(planestressproblem平面应力问题)krsxx

krsxykrs=krsyx

krsyy第57页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元58Inwhich：1xy1xiyi

其中：Ni(x,y)=1xjyj1xjyj

1xmym1xmym

=(ai+bix+ciy)/(2A)(i,j,m)

xjyj1yj

ai=xmym=xjym-xmyjbi=-1ym=yj-ym

1xj

ci=1xm=xm-xj(i,j,m)

1xiyi

2A=1xjyj

1xmym

第58页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元596.5ElementLoadMatrix单元荷载列阵1.Elementloadmatrix{R}e=[XiYiXjYjXmYm]T

Itispositivewhenitactsinthepositivedirectionofthecorrespondingaxis.

作用在坐标正向为正。第59页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元60Yi2

Y1

Xi2

im

1

X1

jXj1Yj1

y

jXmmiXi

YmYix

V1=Vj1+Vi2

单元结点列阵{R}e=[XiYiXjYjXmYm]T

作用在结点上

整体结点荷载列阵{R}=[X1Y1X2Y2X3Y3X4Y4]T

X1=Xj1+Xi2+R1Y1=Yj1+Yi2作用在结点上时，沿坐标正向为正.

第60页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元61{R}e=[XiYiXjYjXmYm]T和{P}=[PxPy]T{p}=[XY]T{p}=[XY]T为静力等效，在虚位移{f*}=[N]{

*}e上作功相等

2

we1=({

*}e)T{R}e

we2={f*}T{P}+

{f*}T{p}dxdyt+

{f*}T{p}dst=({

*}e)T

([N]T{P}+

[N]T{p}dxdyt+[N]T{p}ds)

we1=we2

({

*}e)T{R}e=({

*}e)T([N]T{P}+

[N]T{p}dxdyt+[N]T{p}ds)

{R}e=[N]T{P}+

[N]T{p}dxdyt+[N]T{p}dsnote:{f*}=[N]{

*}e{f*}T=({

*}e)T[N]T第61页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元62{R}e=[N]T{P}+

[N]T{p}dxdyt+[N]T{p}ds

XiNiPx

NiXdxdy

NiXdsYiNiPy

NiYdxdy

NiYdsXjNjPx

NjXdxdy

NjXdsYj=

NjPy+

t

NjYdxdy+t

NjYdsXmNmPx

NmXdxdy

NmXdsYmNmPy

NmYdxdy

NmYds第62页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元63Bodyforces:X=0,Y=-

g{R}e=

[N]T{p}dxdyt

Xi

NiXdxdy0Yi

NiYdxdy-W/3Xj

NjXdxdy0Yj=

t

NjYdxdy=-W/3Xm

NmXdxdy0Ym

NmYdxdy-W/3note:

Nidxdy=A/3(i,j,m)W=gAt

第63页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元64ij边上面力{p}=[X=qY=0]T{R}e=

[N]T{p}dst

Xi

ijNiXds1Yi

ij

NiYds0Xj

ij

NjXds1Yj=

t

ij

NjYds=00.5tqLijXm

ij

NmXds0Ym

ij

NmYds0note:

ij

Nids=Lij/2

ij

Njds=Lij/2

ij

Nmds=0第64页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元656.6globalanalysis结构整体分析例：第65页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元66example1---

--A.结点编号和

位移列阵

结点的局部号:ijm结点的整体号:1234elementnodaldisplacementmatrix:

单元结点位移列阵：{

}e=[uiviujvjumvm]Tglobalnodaldisplacementmatrix:

整体结点位移列阵：{

}=[u1v1u2v2u3v3u4v4]T

第66页，课件共133页，创作于2023年2月徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六