椭球面上的测量计算课件

1．地球椭球的定义及其几何意义；2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用；3．各种测量坐标系统之间的相互转换；4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。[知识点及学习要求][难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算。

[知识点及学习要求]11.地球椭球的基本几何参数7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系（了解）椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：b椭圆的扁率：五个基本几何参数

椭圆的第一偏心率：

椭圆的第二偏心率：

1.地球椭球的基本几何参数7-1地球椭球的基本几何参数及相互2决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a或b）。为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：注意式中，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但30.006739496742270.0067395018194730.006738525414683e’20.00669437990130.0066943849995880.006693421622966e21/298.2572235631/298.2571/298.36399593.62586399596.65198801056399698.9017827110c6356752.31426356755.28815752876356863.0187730473b637813763781406378245aWGS-84系椭球1975国际椭球克拉索夫斯基椭球

我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。0.006739496742270.00673950181942.地球椭球参数间的相互关系

2.地球椭球参数间的相互关系5同理可得：同理可得：6

几个基本概念：法截面：过椭球面上任意一点可作垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面就叫法截面。法截线（法截弧）：法截面与椭球面的交线。卯酉圈：过某点法线的无数个法截面中，与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈就称为卯酉圈。7.2椭球面上的几种曲率半径（重点）几个基本概念：7.2椭球面上的几种曲率半径（重点）71、子午圈曲率半径M小于赤道半径aM随B的增大而增大M等于极点曲率半径B=0（在赤道处）0＜B＜90B=90（在极点处）说明MB1、子午圈曲率半径M小于赤道半径aB=0（在赤道处）说明M8椭球面上的测量计算ppt课件92、卯酉圈曲率半径

卯酉圈变为子午圈，N=cN90=cB=900N随B的增大而增大a＜N＜c00<B<900卯酉圈变为赤道B=00说明NB2、卯酉圈曲率半径卯酉圈变为子午圈，N=cN90=cB=910过P点作以O′为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在P点处的公切线。麦尼尔定理：假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧、一条为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。又因为平行圈平面与卯酉圈平面之间的夹角即为大地纬度B，所以有：平行圈半径r就等于P点的横坐标x（子午面直角坐标系），即：过P点作以O′为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直113、任意法截弧的曲率半径当A=0°或180°时，RA的值最小，此时R0=M（子午曲率半径）当A=90°或270°时，RA的值最大，此时R90=N（卯酉圈曲率半径）；当A由0°→90°时，RA之值由M→N；当A由90°→180°时，RA之值由N→M。RA值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。3、任意法截弧的曲率半径当A=0°或180°时，RA的值最小124、平均曲率半径M、N、R的关系：N>R>M只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：

由于RA的数值随方位A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径--平均曲率半径[就是过椭球面上一点的一切法截弧(0—2π），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用R表示]。4、平均曲率半径M、N、R的关系：N>R>M只有在极点上，137.3椭球面上的弧长计算1.子午线弧长计算公式将积分因子按二项式定理展开为级数形式将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数

7.3椭球面上的弧长计算1.子午线弧长计算公式将积分因子14椭球面上的测量计算ppt课件152.平行圈弧长公式

旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x：如果平行圈上有两点，其经差，可写出平行圈弧长公式：2.平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就163.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较92329.87626.80221.90215.5008.0280.00036m1792.541608.131314.14930.02481.710.00111321m10755296488788485580128902030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.0271842.941844.261847.711852.391857.041860.421861.60110576m11065611086311114311142311162511169601530456075901″1′ΔL=1°1″1′平行圈弧长子午线弧长B单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1°约为110KM，1′约为1.8KM，1″约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较92336m111321171.相对法截线的概念（1）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（2）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。首先明确以下三点：1.相对法截线的概念（1）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴18假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面同椭球面的截线为，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B照A点，则照准面同椭球面的截线为BbA，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因A，B的法线互不相交，故这两条法截线不重合。我们把和BbA叫做A、B两点的相对法截线。

假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此19AB方向在不同象限时，正反法截线的关系图当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。AB方向在不同象限时，正反法截线的关系图当A、B两点位于同202、大地线的定义和性质

椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。大地线是椭球面上两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为：

在一等三角测量中，Δ可达千分之四秒，δ可达千分之一二秒大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。2、大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。213、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程

1）大地线微分方程:

表达dL，dB，dA与dS的关系式。dS3、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程1）大地线微分方222）克莱洛方程：代入两边积分得：麦尼儿定理：2）克莱洛方程：代入两边积分得：麦尼儿定理：23上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。

上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该247.4将地面观测的方向值归算到椭球面

1、将地面观测的水平方向归算至椭球面----三差改正

归算中两个基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为三差改正。7.4将地面观测的方向值归算到椭球面1、将地面观测的水平方25垂线偏差改正的计算公式

1）垂线偏差改正把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正。垂线偏差改正的计算公式1）垂线偏差改正把以垂线262）标高差改正标高差改正：由照准点高度引起的改正前面已得出结论：不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正，以表示。

照准点大地纬度

测站点至照准点的大地方位角

与照准点的纬度B2对应的子午圈曲率半径照准点的觇标高

标高差改正主要与照准点的高程有关。

2）标高差改正标高差改正：由照准点高度引起的改正照准点大地纬273）截面差改正将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正

测站点大地纬度

与测站点的纬度B1对应的卯酉圈曲率半径截面差改正主要与测站点至照准点间的距离S有关。令：3）截面差改正将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改284）三差改正的计算各等三角测量在归算时对取位的要求：

一等需算至0.001″；二等为0.01″；三等和四等为0.1″。

在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在或H>2000m时，才考虑加垂线偏差改正和标高差改正。

4）三差改正的计算各等三角测量在归算时对取位的要求：292、将天文方位角归化为大地方位角---起始方位角（了解）

背景：在布设国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角传算误差的积累，要求在一等三角锁的两端和中央，以及二等网的中间等处，都要在起始边的两个端点上，用天文观测的方法测定它们的天文经度、天文纬度和该边的天文方位角(包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角)

。在特种工程测量控制网中，有时也有这样的要求。天文方位角是以测站的垂线为依据的，因此必须将它归算至椭球面以测站点相应的法线为依据的大地方位角A，这种归算又称起始方位角的归算。

测站点到照准点的大地方位角测站点处相应方向的天文方位角测站点的天文经度测站点的大地经度测站点的天文纬度垂线偏差改正数当照准点目标高度不大时，天顶距Z接近于90°时，垂线偏差改正数可勿略不计，因此上式可写为：

上式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上观测天文经度、天文纬度时，该点叫拉普拉斯点。2、将天文方位角归化为大地方位角---起始方位角（了解）背30基线两端点平均大地高程基线方向法截线曲率半径将上式展开级数，取至二次项将地面观测的长度归算到椭球面（重点）基线两端点平均大地高程基线方向法截线曲率半径将上式展开级31由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距。由于平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经过此项改正后，测线已变为弦线。是由弦长改化为弧长的改正项。由于控制点由于平均测是由弦长改32椭球面上三角形的解算（重点）1、用勒让德尔定理解算球面三角形

假设：半径为140KM范围内的椭球面可当作球面上的一部分看待。计算表明：当三角形边长小于240KM时，就可把它当作球面三角形解算，两者对应的边长相等，对应角之差小于0.001″。勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。椭球面上三角形的解算（重点）1、用勒让德尔定理解算球面三角形33定理表明：如果球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到一个对应边相等的平面三角形，因此就可按平面三角形的解法解算此三角形，所得到的边长即为球面边长（同时也是椭球面边长），从而达到解算球面三角形的目的。

定理表明：如果球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到34F为平面三角形的面积。2、球面角超的计算：

f值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取。化算平面角需要用球面角超，而球面角超的计算又需要用平面角，因此可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于90km时，这种误差小于0.0005″，可忽略。F为平面三角形的面积。2、球面角超的计算：f值可以以纬度为35大地主题解算的高斯平均引数公式（了解）如图所示，已知P1点的大地坐标（），P1至P2点的大地线长S及其大地方位角A12，计算P2点的大地坐标（）和大地线S在P2点的反方位角A21，这类问题叫做大地主题正解。如果已知P1和P2点的大地坐标（）和（），计算P1至P2点的大地线长S及其正、反大地方位角，这类问题叫做大地主题反解。大地主题解算的高斯平均引数公式（了解）如图所示，已知P1点的36空间直角坐标系之间换算欧勒角对于二维直角坐标，如图所示，有：空间直角坐标系之间换算欧勒角对于二维直角坐标，如图所示，有：37在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如图所示，设旋转次序为：为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角

在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需38不同空间直角坐标之间的变换

当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一个尺度变化参数，共计有七个参数相应的坐标变换公式为：

上式为两个不同空间直角坐标之间的转换模型(布尔莎模型)，其中含有7个转换参数，为了求得7个转换参数，至少需要3个公共点，当多于3个公共点时，可按最小二乘法求得7个参数的最或是值。不同空间直角坐标之间的变换当两个空间直角坐标系的坐标换算既39大地坐标系之间的换算

对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数又称为广义大地坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。大地坐标系之间的换算对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平40我国坐标系统及其转换1954年北京坐标系

建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。因此，P54可归结为：

a．属参心大地坐标系；

b．采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数；

c.大地原点在原苏联的普尔科沃；

d．采用多点定位法进行椭球定位；

e．高程基准为1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面；

f．高程异常以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得。

我国坐标系统及其转换1954年北京坐标系建国初41BJ54坐标系的缺点：①椭球参数有较大误差。与现代精确的椭球参数相比，长半轴约大109m；②参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性的倾斜，东部地区大地水准面差距最大+68m。使得大比例尺地图反映地面的精度受到影响，也对观测元素的归算提出了严格要求；③几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一。我国在处理重力数据时采用赫尔默特1900年—1909年正常重力公式，与这个公式相应的赫尔默特扁球不是旋转椭球，它与克拉索夫斯基椭球不一致，给实际工作带来麻烦；④定向不明确。椭球短轴的指向既不是国际上较普遍采用的国际协议（习用）原点CIO（ConventionalInternationalOrigin）,也不是我国地极原点；起始大地子午面也不是国际时间局BIH所定义的格林尼治平均天文台子午面，从而给坐标换算带来一些不便和误差。另外，监于该坐标系是按局部平差逐步提供大地点成果的，因而不可避免地出现一些矛盾和不够合理的地方。BJ54坐标系的缺点：421980年国家大地坐标系

C80是为了进行全国天文大地网整体平差而建立的。根据椭球定位的基本原理，在建立C80坐标系时有以下先决条件：

（1）大地原点在我国中部，具体地点是陕西省径阳县永乐镇；

（2）C80坐标系是参心坐标系，椭球短轴Z轴平行于地球质心指向地极原点方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文台子午面；X轴在大地起始子午面内与Z轴垂直指向经度0方向；Y轴与Z、X轴成右手坐标系；

（3）椭球参数采用IUG1975年大会推荐的参数

因而可得C80椭球两个最常用的几何参数为：

长轴：6378140±5（m）；扁率：1：298.257（4）多点定位；椭球定位时按我国范围内高程异常值平方和最小为原则求解参数（5）大地高程以1956年青岛验潮站求出的黄海平均水面为基准

1980年国家大地坐标系C80是为了进行全国43新1954北京坐标系将1980国家大地坐标系的空间直角坐标经过三个平移参数平移变换至克拉索夫斯基椭球中心，椭球参