弹性力学第二章 张量基础知识

弹性力学第二章张量基础知识第1页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量§2-1坐标系和矢量如图2.1，三维空间直角坐标系Oxyz,张量:简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关P点坐标（x,y,z)P点坐标可记为：正方向的单位基矢量(2.1)第2页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量P点坐标为：(2.2)如图2.1,原点O到P点的矢量为P点的矢径,用r表示第3页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量显然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。于是n表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题A:求和约定、哑指标第4页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量双重求和展开式（9项）三重求和（27项）第5页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量是违约的，求和时要保留求和号B:自由指标例如指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,2,3,…,n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：第6页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量i为自由指标，j为哑标表示第7页，课件共72页，创作于2023年2月i，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：……第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量第8页，课件共72页，创作于2023年2月C:Kroneckerdelta符号在卡氏直角坐标系下，Kroneckerdelta符号定义为：其中i，j为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量第9页，课件共72页，创作于2023年2月若是相互垂直的单位矢量，则，但而，故第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量(2.3)的作用：1）换指标；2）选择求和。例：注意：是一个数值，即第10页，课件共72页，创作于2023年2月例例个数，项的和。求特别地，第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量第11页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量任意两矢量a和b的点积矢量a的模(2.4)两矢量a和b用正交基表示,则其点积为第12页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量D:置换符号Permutationsymboli,j,k为顺序排列i,j,k有两个相等例如：i,j,k为逆序排列(2.5)可见：也称为三维空间的排列符号。第13页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量任意两矢量a和b的叉积由叉积定义,若是直角坐标系的单位基矢量则(2.6)(2.8a)(2.7)aba×b第14页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量式(2.8a)可写为(2.８b)三矢量a,b,c的混合积(2.9)a,b,c为共点棱的平行六面体的体积，a,b,c构成右手系为正第15页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量Ｅ:Kroneckerdelta符号与置换符号Permutationsymbol的关系(2.10)证明(1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理，l,m,n有两个相同时，上式也成立(2).不同时,由下式交换行(a)第16页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量(b)(3).同理,由(b)式交换列可得到(2.10)式从(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式第17页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量即(2.11)第18页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量(2.12)(2.13)二重叉积即(2.14)第19页，课件共72页，创作于2023年2月F:坐标变换旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：单位基矢量：新坐标系：单位基矢量：

旧新第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量(2.15)第20页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量

新旧(2.16)变换系数第21页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量即(2.17)任一矢量u在新旧坐标中表示一致利用(2.15)则即(2.18)矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变第22页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-2张量的定义§2-2张量的定义推广矢量的概念若在空间任一组基下,有用n个指标编号的个数当基矢量按变换成时,个数按如下规律变换张量的定义 (2.19)为对应基下的张量分量,有时称为n阶张量.

个数的有序集合为一个n阶张量.称第23页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-2张量的定义标量零阶张量，不随坐标变换而变的不变量矢量一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它随坐标系的变化而变化矢量的三种记法：不变性记法如T；基矢量的线性组合法；用矢量分量表示即并矢记法。一个n阶张量的并矢记法：(2.20)n个基矢量并写在一起，称为基张量其有基张量.第24页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-2张量的定义二阶张量T第25页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-2张量的定义…二阶的基张量共9个张量的另一个定义在某一坐标系中,某一个量T可表示成式(2.20)的形式,则T是一个n阶张量.(2.20)第26页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-2张量的定义在一个坐标系中,某一张量的所有分量为零,按定义(2.19),则在其它坐标系中的所有分量也为零,这个张量为零张量,O例:证明是一个三阶张量(置换张量)满足变换规律(2.19),即是一个三阶张量例:和是两个任意矢量,是标量.证明是一个二阶张量证:和是任意的,得证二阶张量第27页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-3张量代数§2-3张量代数A:张量的线性组合同阶张量可进行线性组合运算,结果仍为同阶张量A,B是二阶张量,α和β是标量,则(2.21)交换律:A+B=B+A结合律:A+B+C=A+(B+C),(αβ)A=α(βA)分配律:(α+β)A=αA+βAα(A+B)=αA+αB第28页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-3张量代数B:张量的缩并在张量的并矢记法中,对某两个基矢量进行点积,则原张量降低两阶成为一个新的张量,如(2.22)证明是二阶张量第29页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-3张量代数C:张量的并积张量积两个张量的并积(2.23)n阶张量A与p阶张量B的并积为C,则C定义为C是(n+p)阶张量一般情况下,第30页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-3张量代数D:张量的点积张量点积两个张量的点积是先并再缩,如(2.24)双点积两个张量的点积是先并再缩二次(2.25)第31页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-3张量代数E:张量的叉积张量叉积是矢量叉积的推广,如(2.26)两个二阶张量的叉积第32页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-3张量代数F:张量的商法则设有个数,对任意q阶张量,按下式计算总得一个p阶张量,则必为一个(p+q)阶张量证:为简单,取p=q=2因C,B为张量,故(a)(b)(c)第33页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-3张量代数则四阶张量结论:设有个数,对任意m阶张量,定义若为n+m阶张量,则必为n阶张量第34页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-4二阶张量§2-4二阶张量二阶张量T仿射量,线性变换v,u为矢量,用矩阵表示则A,B为二阶张量则A:二阶张量的矩阵表示(2.27)(2.28)第35页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-4二阶张量B:二阶张量的行列式(2.29)二阶张量的行列式与坐标无关,是不变量.与单位矩阵[I]对应的张量叫单位张量I单位张量I与除标量外的任意张量B的点积仍为B单位矩阵[I](2.30)第36页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-4二阶张量C:二阶张量的逆与转置若T,对B有:T·B=B·T=I,则T可逆,B=T-1为逆张量充要条件:T的行列式不为零对定义B为A的转置张量转置张量的运算性质:A,B是二阶张量,u,v是任意矢量(2.31)(2.32)(2.33)第37页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-4二阶张量逆张量运算性质:A,B是二阶张量(2.35)(2.34)(2.36)(2.37)D:二阶张量的对称与反对称若则A是对称二阶张量若即则A是反对称二阶张量任意一个二阶张量T可表示成一个对称张量S和一个反对称张量W之和(2.38)(张量的加法分解)第38页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-4二阶张量(2.39)(2.40)对任一反对称张量W,必存在唯一一个矢量ω,使得(2.41)对任意矢量v成立因式(2.41)成立ω为对应于反对称张量W的轴向矢量.第39页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-4二阶张量(2.42)V任意,则上式乘enij,则利用等式(2.12)即(2.43)上二式说明反对称张量和其轴向矢量是一一对应的(2.12)第40页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示§2-5对称二阶张量的谱表示某二阶对称张量S,若存在一个数λ和单位矢量a,使得(2.44a)成立,则λ为张量S的特征值(主值),a为张量S对应特征值λ的特征矢量(主方向).根据商法则,λ为标量.单位矢量a(2.44b)(2.45)(2.46a)展开第41页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示其中(2.46b)(2.47)分别为S的第一、第二和第三不变量张量S的迹式(2.46)为S的特征方程上式展开与(2.46b)比较第42页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示(2.48)式(2.46)求出特征值，利用（2.45)和（2.44b)求出特征矢量特征值和特征矢量的性质1.互不相等的特征值对应的特征矢量相互垂直2.三个特征值都是实数证性质1.特征值对应特征矢量a和b(2.44a)第43页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示证性质2.是S的任一特征值，对应特征矢量a共轭复数为实数规定张量S的谱第44页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示谱定理：设S是一个对称二阶张量,则必定存在由其特征矢量构成的一组单位正交基,和ei对应的特征值构成S的谱,且有(2.49)反之,如果S具有(2.49)的形式,且e1、e2和e3是相互正交的单位矢量,则和ei分别是S的特征值和对应的特征矢量证(1)，三个特征值互不相等，对应的ei互相垂直以ei为基矢量，则第45页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示则谱分解式（2.49）成立(2),二个特征值相等,另一个不同，设取则是相互垂直的右手系解上两式得由(2.48),(2.47)第46页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示得则(2.50)由得e3也是对应于λ2的特征向量设则和e1垂直的任何方向都是S的对应于λ2的主方向.e2可取与e1垂直的任一单位矢量(3),三个特征值相等第47页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示(3),三个特征值相等取e1与λ1对应,取与e1垂直的e2,再取e3=e1×e2则是相互垂直的右手系解得由(2.48),(2.47)解上两式得得显然(2.51)第48页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示即都是S的特征矢量设任一矢量有这表明任一方向都是S的主方向.任取三个相互垂直的单位矢量作为基矢量,式(2.49)成立第49页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示重要结论：证:由n得基矢量(c)(d)由(c)和(d),去n1得设S是二阶对称张量,是S的谱,是和谱对应的三个相互正交的特征矢量,n是任意单位矢量,则函数的最小值为,且,f(n)的最大值为,且.第50页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-5对称二阶张量的谱表示(e)(f)由(e)得f取最大值由(f)得f取最小值由(c)和(d),去n3得第51页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析§2-6张量分析A:标量的矢量函数一个张量F依赖于另一张量T而变化矢量u是t的函数,ui也是t的函数,如ui可导,则矢量u对t的导数为:(2.53)(2.52b)第52页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析B:矢量的标量函数标量f是矢量u的函数即若f可连续偏导,则(2.54)f对u的导数是一个矢量(2.55)第53页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析C:矢量的矢量函数矢量u是矢量v的函数即若ui的偏导连续.则(2.56a)(2.56b)(2.57)称为u对v的导数,是一个二阶张量第54页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析若标量f是二阶张量Tij的函数,即D:二阶张量的标量函数若f对二阶张量Tij的偏导连续,则(2.58)(2.59)f相对于T的导数,二阶张量第55页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析(2.60)若是定义在空间区域的张量,是一个张量场,则则对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为(二阶张量)则的导数和微分记为(2.61)(2.62)第56页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析E:梯度、散度和旋度Hamilton

算子(2.63)则的导数和微分改写为(2.64)(2.65)右梯度同样定义左梯度(2.66)第57页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析显然(2.67)若是一个标量(2.68)标量场的梯度若是一个矢量是二个二阶张量，若是一个二阶张量第58页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析若是一个矢量，其div散度定义为(2.69)矢量的散度为一标量场若是一个二阶张量，其左右散度分别定义为二阶张量的左右散度为矢量若是一个二阶对称张量，第59页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析矢量u的旋度定义设u是矢量场,(2.70)是反对称张量则w的轴向矢量为第60页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-6张量分析Laplace算子(2.71)(2.72)对一个n阶张量对一个标量(2.73)若则是调和函数第61页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-7积分定理§2-7积分定理在数学分析中,存在如下等式(2.74)式中,V表示空间的某一区域,S这一区域的表面,n=niei是S的外法线单位矢量,是V中具有连续偏导的场函数例:矢量令(2.75)令上式的i=j,得高奥公式(2.76)第62页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-7积分定理例:二阶张量令(2.77)规律:面积分中的被积函数有因子ni,去掉ni,被积函数的其余部分对xi求偏导就得体积分中的被积分中函数例:(2.78)V表示空间的某一区域,S这一区域的表面,n=niei是S的外法线单位矢量,是V中任意阶的光滑张量场“。”表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则第63页，课件共72页，创作于2023年2月第二章张量基础知识§2-7积分定理(2.79)(2.80)例:二阶张量令“。”取点积(2.79)为(2.77)直接记法以上积分对二维情况也成立定理是定义在区域V中的一个连续函数，D是V的任意一个子区域，下式成立的充要条件是第64页，课件共72页，创作于2023年2月第二章