二维随机变量课件

第三章多维随机变量及其分布1第三章1一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布

由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量

.本章内容是第二章内容的推广2一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于3.1二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量33.1二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数3一、二维随机变量及其分布我们常常需要同时用几个随机变数才能较好的描绘某一试验或现象炮弹在地面的命中点的位置是由两个随机变量来确定例如,飞机在空中的位置由三个随机变量来确定4一、二维随机变量及其分布我们常常需要同时用几

定义:二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究.设随机试验E的样本空间

,X和Y是定义在

上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y),称之为二维随机变量或二维随机向量5定义:二维随机变量(X,Y)的性分布函数F(x,y)表示{X≤x}和{Y≤y}同时发生的概率定义:设(X,Y)是二维随机变量,

x,yR,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}

称为(X,Y)的分布函数,或称为X和Y的联合分布函数为此,首先需要引入二维随机向量(X,Y)的分布函数的概念.

X的分布函数一维随机变量X6分布函数F(x,y)表示{X≤x}和{Y≤y}同时发生的概分布函数F(x,y)在(x0,y0)处的函数值F(x0,y0)表示平面上随机点(X,Y)落在无限矩形区域

D:

<X≤x0,

<Y≤y0内的概率分布函数的几何意义:o

xy(x0,y0)D7分布函数F(x,y)在(x0,y0)处的由上面的几何解释,易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:x1<x≤x2,y1<y≤y2

内的概率

说明8由上面的几何解释,易见:说明8F(x,y)的性质:(1)0≤F(x,y)≤1

(2)F(x,y)分别对x和y单调不减

即:

yR,当x1<x2时,F(x1,y)≤F(x2,y)

xR,当y1<y2时,F(x,y1)≤F(x,y2)∵F(x2,y)

F(x1,y)=P{X≤x2,Y≤y}

P{X≤x1,Y≤y}=P{x1<X≤x2,Y≤y}≥09F(x,y)的性质:(1)0≤F(x,y)≤1(2)(3)F(

,y)=0F(x,

)=0F(

,

)=0F(+

,+

)=1(4)F(x,y)关于变量x或y右连续即10(3)F(,y)=0F(x如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对时,称(X,Y)是二维离散型随机变量

定义:二、二维离散型随机变量11如果二维随机变量(X,Y)的所有可定义:设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)(i,j=1,2,…),称P{X=xi,Y=yj}=pij

为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律,或称为X与Y的联合分布律定义:k=1,2,…离散型一维随机变量Xk=1,2,…X的概率分布

12设二维离散型随机变量(X,Y)所有可也可用表格表示:XYy1

y2…yj…x1x2…xi…p11

p12…p1j…p21

p22…p2j………………pi1

pi2…pij………………13也可用表格表示:XYy1y2…

二维分布律与二维分布函数设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为

piji=1,2,

;j=1,2,

.

于是(X,Y)的分布函数14二维分布律与二维分布函数设二维离散型随机向量(X,Y)的分1515例1

将两个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.令X:放入1号盒中的球数;

Y:放入2号盒中的球数求(X,Y)的分布律解:X的可能取值为0,1,2Y的可能取值为0,1,2P{X=0,Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=0}=16例1将两个球等可能地放入编号为1,2,解:X的可能取P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P(

)=0;P{X=2,Y=0}=P{X=2,Y=1}=P(

)=0;故(X,Y)的分布律为:XY0120121/92/91/92/92/901/900P{X=2,Y=2}=P(

)=017P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P()=0;P例2

设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能的取值,另一个随机变量Y在1～X中等可能的取一整数值,求(X,Y)的分布律解:X的可能取值i为1,2,3,4Y取不大于X的正整数j

当i<j时,当i≥j时,

pij=P{X=i,Y=j}pij=P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=018例2设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等解:X的可故(X,Y)的分布律为:XY123412341/40001/81/8001/121/121/1201/161/161/161/1619故(X,Y)的分布律为:XY12例３设随机变量(X,Y)的分布律为:XY1.5

2.5

3.5

12340.10.050.100.150.20.050.050.050.1500.1求P{|X-Y|=0.5}20例３设随机变量(X,Y)的分布律为:XY1.5解：满足条件|X-Y|=0.5的(X,Y)的所有可能的取值为(1,1.5),(2,1.5),(2,2.5),(3,2.5),(3,3.5),(4,3.5).因此，所求概率即为(X,Y)在这些点上取值的概率的和，即P{|X-Y|=0.5}=0.1+0+0.15+0.05+0.05+0.1

=0.4521解：满足条件|X-Y|=0.5的(X,Y)的所有可能的取因此设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,若存在非负函数f(x,y),使

x,y,有:定义:则称(X,Y)是二维连续型随机变量,f(x,y)为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数,或称为X与Y的联合概率密度三、二维连续型随机变量22设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的2323

f(x,y)的性质:(1)f(x,y)≥0(2)

(3)D为xOy平面上的一个区域,则点(X,Y)落在D内的概率为:(4)若f(x,y)在点(x,y)连续,则有:24f(x,y)的性质:(1)f(x,y)≥0(2)

连续型一维随机变量XX的密度函数二维随机变量（X,Y）连续型X和Y的联合密度函数25

求:(1)常数C(2)(X,Y)的分布函数

(3)P{0<X≤1,0<Y≤2}例4

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为解:(1)

C=12=126求:(1)常数C例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度(2)

当x>0,y>0时:=(1

e

3x)(1

e

4y)当x,y为其它情形时:F(x,y)=027(2)当x>0,y>0时:=(1e3x)(1e4注:“其它情形”不能写成“x≤0,y≤0”,并不同于一维分布(3)P{0<X≤1,0<Y≤2}=F(1,2)

F(1,0)

F(0,2)+F(0,0)=(1

e

3)(1

e

8)或28注:“其它情形”不能写成“x≤0,y≤0”,(3)P{0<o

1

x例5设随机变量(X,Y)的概率密度为:求(X,Y)的分布函数解:y2(1)x≤0或y≤0时:F(x,y)=029o1x例5设随机变量(X,Y(2)0<x≤1,0<y≤2时:

(3)0<x≤1,y>2时:

30(2)0<x≤1,0<y≤2时:(3)0<x≤1,y>(4)x>1,0<y≤2时:

(5)x>1,y>2时:=131(4)x>1,0<y≤2时:(5)x>1,y>2综合得:32综合得:32例6

一个电子器件包含两个主要元件，分别以Ｘ和Ｙ表示这两个元件的寿命（以小时计），设(X,Y)的分布函数为求（１）(X,Y)的概率密度函数；（２）两个元件的寿命都超过120小时的概率33例6一个电子器件包含两个主要元件，分别以求（１）(X,Y解：(1)直接验证可知Ｆ(x,y)是连续型的二维随机变量的分布函数，由性质４可知：34解：(1)直接验证可知Ｆ(x,y)是连续型的二维随34(1)二维均匀分布设D为xOy平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为:则称(X,Y)服从D上的均匀分布常见二维连续型分布35(1)二维均匀