导热微分方程边界条件课件

第一节导热一、导热的基本概念1、温度场概念：某一时刻换热系统中空间一切点温度的分布情况，数学表示式：

t=f（x，y，z，τ）温度场分类：

稳定温度场不稳定温度场和一维温度场二维温度场三维温度场第一节导热一、导热的基本概念稳定温度场不稳定温度场和一1稳定温度场：温度场不随时间变化若则物体被冷却若则物体被加热不稳定温度场：温度场随时间变化t=f（x，y，z）即：一维温度场：t=f（x)t=f（x，τ）二维温度场:t=f（x，y，τ）t=f（x，y)三维温度场:t=f（x，y，zτ）t=f（x，y，z)稳定温度场：温度场不随时间变化若则物体被冷却若则物体被加热不22、等温面和等温线等温面:

温度场中同一时刻、相同温度点相连所形成的面。等温线:任意一平面与等温面下相交所得的交线。注意：同一个等温面上没有热量传递，热量传递只发生在不同的等温面之间。3、温度梯度——等温面上的法线方向温度变化率注意：温度梯度是向量，位于等温面的法线上，指向温度增加的方向。数学表示式：n2、等温面和等温线注意：数学表示式：n34、热流密度与热流量热流量（Q）：单位时间内，经由面积F所传递的热量。单位：W。热流密度(q)：在单位时间内，经由单位面积所传递的热量。单位：W/m2。二者关系：

Q=qF注意：热流密度和温度梯度位于等温面的同一法线上，但指向温度降低的方向。nq4、热流密度与热流量注意：nq4二、导热的基本定律1．傅里叶定律内容：单位时间内通过垂直于面积F所传递的热量与温度梯度成正比。数学表示式：或说明：（1）负号表示热量传递方向与温度梯度方向相反（2）λ是导热系数nq二、导热的基本定律1．傅里叶定律数学表示式：或说明：nq5

2．导热系数λ物理意义：表征物质的导热能力大小即：单位温度梯度时的热流密度。单位:W／m.℃。

数学表示式：影响导热系数的因素：（1）种类的影响气体：

决定于分子间的相互运动

范围：λ=0.006～0.6W/（m·℃）。在很大的压力变化范围内，仅是温度的函数，而和压力无关。2．导热系数λ物理意义：表征物质的导热能力大小数学表示式：6液体:

λ=0．07～0．7W／（m·℃）。一般液体的导热系数随温度升高而减小，但标准大气压下水的导热系数却随温度升高而增大。固体：

A:金属

---决定于自由电子的运动.

纯金属的导热系数一般随温度升高而减小。纯金属中以银的导热系数高.λ=419W/(m·℃)。纯金属中若掺有少许杂质，其导热系数将降低。液体:λ=0．07～0．7W／（m·℃）。7B:非金属：----决定于晶格振动

建筑材料和保温材料：λ=0.025～3.0W/（m·℃）导热系数大多数随着温度升高而增大；与材料的结构、多孔度、湿度、密度等因素有关。

例如：湿材料的导热系数比干材料的高。结论：B:非金属：8（2）、温度的影响：各物质的导热系数皆随温度变化，但在一定的温度范围内，大多数工程材料的导热系数可以近似地认为是温度的线性函数当导热系数随温度作线性变化时，其平均值为平均温度时的值。在t1~t2内（2）、温度的影响：当导热系数随温度作线性变化时，其平均值为9三、导热微分方程（固体）能量守恒方程1、推导思路：：取微元体，列能量守恒方程微元体内能的增量=微元体传入的热量-微元体传出的热量+微元体内热源产生的热量即：微元体热焓的增量=微元体净热增量+微元体内热源产生的热量zxdQx+dxydQx三、导热微分方程（固体）能量守恒方程1、推导思路：：取微元体102、假定条件：（1）物体是各向同性的均质物体各向同性：指物体各方向的导热系数都相同（2）物体的物理量λ、ρ、CP均为常数（3）内热源qv均匀的分布在物体里内热源qv：指单位时间内、单位体积物体所释放出的热量.单位：w/m32、假定条件：113、推导过程zxdQx+dxydQx以X方向为例进行分析：在同样的时间内，沿x轴通过右垂面传出六面体的热量故x方向上的净热增量：在dτ时间内，沿x轴通过左垂面传入六面体的热量3、推导过程zxdQx+dxydQx以X方向为例进行分析：在12总净热增量：

同理：zxdQx+dxydQx热焓的增量：内热源产生的热量总净热增量：同理：zxdQx+dxydQx热焓的增量：内热13根据能量守恒：热焓的增量=传入的热量-传出的热量+内热源产生的热量即：热焓的增量=净热增量+内热源产生的热量这就是具有内热源的导热微分方程（或称傅立叶导热微分方程）。

方程两边同除以将上面各式代入：则：根据能量守恒：这就是具有内热源的导热微分方程（或称傅立叶导热14可以简写为或令称为导温系数（或热扩散率）。（1）、导温系数（或热扩散率）物理意义：物体内部扯平温度的能力；或不稳定温度场内物体各部分温度趋于一致的能力；或者说是不稳定温度场内物体温度随时间变化能力。单位：m2/s。4、讨论：可以简写为或令称为导温系数（或热扩散率）。（1）、导温系数（15例如：对两个物体加热100℃

tQ

τ2tQτ1

τ3

τ420℃

100℃

τ1

τ2

τ3

τ4例如：对两个物体加热100℃tQτ2tQτ1τ316（2）、qv

有正负，qv>0，物体放热；qv<0，物体吸热。（3）、若物体内部无内热源，即qv=0，则上式变成（4）稳态导热且内部无内热源则上式变成即：（2）、qv有正负，qv>0，物体放热；（4）稳态导热且17（5）求解方程的条件单值条件：解决微分方程所需条件。即必须规定的求解特定条件。包括物理条件：参与导热过程的物理特征。如物理参数：

λ、ρ、CP

几何条件：指物体的某些几何特征。如：形状时间条件:稳态导热：无时间条件非稳态导热：给定某一时刻的温度分布例如：初始条件：τ=0，t=f(x、y、z）边界条件：反映边界上特点的条件有三类（5）求解方程的条件包括物理条件：参与导热过程的物理特征。几18三类边界条件对于不稳定导热对于不稳定导热2）第二类边界条件：已知边界上的热流密度1）第一类边界条件：已知边界上的温度值如：如：0xtwx0qw三类边界条件对于不稳定导热对于不稳定导热2）第二类边界条件：193）第三类边界条件：已知物体与周围流体间的换热系数α及周围流体的温度tf如：物体被冷却时，可以表示为：对于不稳定导热x0twtf3）第三类边界条件：对于不稳定导热x0twtf20四、一维稳态无内热源导热分析解t=f（x)qv=0求解方法：（1）导热微分方程：（2）付氏定律求解目的：（1）温度场（2）热流密度或热流量化简为四、一维稳态无内热源导热分析解t=f（x)qv=0求解方法21(一)、无限大平板的稳态无内热源的导热方法1：运用导热微分方程求热流密度q和平板内的温度分布。边界条件：x=0，t=t1；x=δ，t=t2。

1、通过单层平板的一维稳态导热一维稳态导热:积分：将边界条件代入得：C2=t1,C1=(t2-t1)/δ

最后得：t1qxx

t2tdx

0δ(一)、无限大平板的稳态无内热源的导热方法1：运用导热微分方22方法2：运用付氏定律在距离板左侧面x处，取一微元体dx

qxxt1t2tdx

δ0列傅里叶定律的表示式注：这里传热面积相同，可直接用热流密度公式求解，否则不可以。将上式分离变量后进行积分：方法2：运用付氏定律在距离板左侧面x处，取一微元体dxq23A：当λ

为常数时积分所以：（温度分布）当x＝δ时，t=t2代入得若给定面积F:(W)(W／m2)qxxt1t2tdx

δ0A：当λ为常数时积分所以：（温度分布）当x＝δ时，t=t224B：当λ

为非常数时导热系数随温度成线形关系:积分整理得：解方程得：温度分布B：当λ为非常数时导热系数随温度成线形关系:积分整理得：解25讨论：β=0,温度线性分布β>0,温度曲线下凹β<0温度曲线上凹当x＝δ时，t=t2代入得因此：在实际求解时，将平均温度的导热系数看成常数进行计算若给定面积F:(W)讨论：β=0,温度线性分布当x＝δ时，t=t2代入得因此：若26常用的简便方法----热阻法根据公式：或：可以发现：该两式与电路中公式：相似相互对应关系：令：单位面积上热阻整个传热面积上热阻常用的简便方法----热阻法根据公式：或：可以发现：该两式与27δ/λt1t2qδ/λFt1t2Q对应的网络热阻图为则：对应的网络热阻图为注意：区别Rt与R只有传热面积沿途不变时，可以采用单位面积上热阻Rt，否则必须采用总传热面积的热阻Qt2t1qt1t2只能用R不能用Rt，Rt，与R都能用（适用）(适用)(不适用)（适用）δ/λt1t2qδ/λFt1t2Q对应的网络热阻图为则：对282、无内源多层平板的稳态导热多层平板:指由几层材料组成的平壁如图:假设（1）λ1，λ2，λ3

都为常数（2）层与层之间接触良好只各层分界面上无温度降求解方法：采用傅氏定律公式。t4x

δ1

δ2

δ3t1t3t2qt2、无内源多层平板的稳态导热多层平板:指由几层材料组成的平壁29对于第三层平板:对于第二层平板:对于第一层平板:对于第三层平板:对于第二层平板:对于第一层平板:30因为是稳态导热，由能量守恒原理知：

Q1=Q2=Q3=Q将上面三式相加,消去t2和t3得整理上式得：（1）因为是稳态导热，由能量守恒原理知：将上面三式相加,消去t231上式表明：多层平壁的稳态导热可以直接采用热阻网络图法求解。δ2/(λ2F2)δ1/(λ1F1)δ4/(λ4F4)t1t4Q若用热流密度表示，则：相应的网络图：上式表明：多层平壁的稳态导热可以直接采用热阻网络图法求解。δ32δ2/λ2δ1/λ1δ4/λ4t1t4q相应的网络图：注：（1）多层平板的稳态导热，因沿途传热量不发生变化也可以采用热流密度公式进行推导。（2）接触良好的n层无限大平板传热量为：δ2/λ2δ1/λ1δ4/λ4t1t4q相应的网络图：333、复合平板的导热

复合平板：在高度和宽度上有多种材料所组成的平壁求解方法：热阻网络图法λ1δ1F1λ3δ3F3λ2δ2F2λ4δ4F4t1t4Q式中：3、复合平板的导热复合平板：在高度和宽度上有多种材料所组成34注意：由于沿途传热面积的变化，这里必须是以热流量Q来计算，q1≠q2+q3，但Q1=Q2+Q3δ2/(λ2F2)δ3/(λ3F3)δ1/(λ1F1)δ4/(λ4F4)t1t4Q相应的网络图：注意：由于沿途传热面积的变化，这里必须是以热流量Q来计算，q35（二）、一维无内热源的圆筒壁的稳态导热假设：忽略轴向导热，只考虑径向导热t=f(r)1、单层圆筒壁的稳态导热在圆筒壁内距离中心r处取厚为dr的圆筒，由傅氏定律得：求解方法：运用傅氏定律分离变量并积分：drrt1t2tr2r1（二）、一维无内热源的圆筒壁的稳态导热假设：忽略轴向导热，只36最后得：可见，圆筒壁内温度分布为对数曲线。在r=r2处，t＝t2，故有rt1t2drr2t所以：(W)最后得：可见，圆筒壁内温度分布为对数曲线。在r=r2处，t37习惯上用单位长度的热流量表示：通过圆筒壁的热阻为(W/m)

在工程上，当r2／r1＜2时，可以按平壁处理δ=r2-r1

为圆筒壁的厚度为内、外表面面积的平均值习惯上用单位长度的热流量表示：通过圆筒壁的热阻为(W/m)382、多层圆筒壁的稳态导热求解方法：热阻网络图法应用热阻串联时求总热阻的办法，可直接写出或：(自行推导)作业：请采用导热微分方程的方法推导单层圆筒壁的温度分布与传热量2、多层圆筒壁的稳态导热求解方法：热阻网络图法应用热阻串联时39（三）、通过球壁的稳态导热

t1dtt2r1r2dr

在半径r处取厚为dr的微元球壳，应用傅里叶定律，通过该球壳的导热量为（三）、通过球壁的稳态导热t1dtt2r1r2dr在40总结：从上面看出：采用复傅氏定律求解稳态导热问题的步骤问题：（1）取微元体，列傅氏定律方程（2）积分方程（3）求解温度梯度分布（4）代入边界条件，求传热量总结：41四、具有内热源的稳态导热求解方法：导热微分方程。（注：不能用傅氏定律方程求解）例1：具有内热源的圆柱体的稳态导热过程分析：假定该圆柱面上维持均匀的温度tw

,圆柱体半径为R，内有内热源Qv圆柱坐标的导热微分方程：边界条件：（1）表面处：r=0，t=tw；（2）内热源发热量=表面散热量：lr四、具有内热源的稳态导热求解方法：导热微分方程。（注：不能用42对方程积分：得：将边界条件代入求得c1与c2：将c1与c2代入温度分布得：圆柱中心处（r=0)：对方程积分：得：将边界条件代入求得c1与c2：将c1与c2代43四、具有内热源的稳态导热求解方法：导热微分方程。（注：不能用傅氏定律方程求解）例2：具有内热源的单层平壁的稳态导热分析设有一具有内热源Qv，厚度为δ无限大的平壁，其导热系数为λ，且不随温度变化，xt1tt20假定该平板两侧面上维持均匀的温度，分别为t1和t2，且t1＞t2。导热微分方程：边界条件：x=0，t=t1；x=δ，t=t2

四、具有内热源的稳态导热求解方法：导热微分方程。（注：不能用44方程两边同除以a：积分：再积分：将边界条件