北师大-必修五-基本不等式课件及最大最小值

3.4基本不等式:3.4基本不等式:1

2002年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的“弦图”。它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。

一、问题引入2002年国际数学大会（I2情景设置情景设置3新课探究新课探究4新课探究新课探究5一般地，对于任意实数，我们有

当且仅当时等号成立思考：如何证明？一般地，对于任意实数，我们有当且仅6证明：当且仅当时，此时证明：当且仅当时，72.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解算术平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当用去替换中的,能得到什么结论?基本不等式探究32.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.8北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值9当且仅当a=b时，取“=”号能否用不等式的性质进行证明？小组合作：当且仅当a=b时，取“=”号能否用不等式的性质进行证明？小组10在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”EP98探究在右图中，AB是圆的直径，基本不等式的几何意义是：“半径不小11oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=____,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究4动态演示你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，12证明:要证只要证

()①

②要证②，只要证

()③

要证③，只要证（－

)

④显然:是成立的,当且仅当时④④中的等号成立.证明:当时,.探究３证明:要证只要证(13平方平方14基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，152.基本不等式（均值定理）1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。此定理又可叙述为：2.基本不等式1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数161.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向（3）：看等号是否能取到简言之：一正二定三相等1.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立171.基本不等式：a=b基本不等式的变形：知识要点：（当且仅当________时取“＝”号）．（当且仅当a=b时取“＝”号）．如果a≥0，b≥0，那么

≥1.基本不等式：a=b基本不等式的变形：知识要点：（当且仅18

重要变形2（由小到大）重要变形2（由小到大）19应用基本不等式求最值的条件：

a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大（a＞0，b＞0）应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b20基本不等式当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值基本不等式当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立结论1：两个正21北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值22北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值23北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值24北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值25北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值26北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值27北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值28北师大-必修五-基本不等式ppt课件及最大最小值29例题：例题：30练习：练习：31例3．求函数的最大值，及此时x的值。解：，因为x>0，所以得因此f(x)≤例3．求函数32当且仅当，即时，式中等号成立。由于x>0，所以，式中等号成立，因此，此时。当且仅当，即时，式33例４、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解:即的最小值为过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：例４、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解:即34已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值解:当且仅当即:时取“=”号即此时正确解答是:已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值解:当且仅当即:时352、已知则xy的最大值是

。1、当x>0时，的最小值为

，此时x=

。21

3、若实数，且，则的最小值是（）

A、10B、C、D、D2、已知1、当x>0时，的最小值为364、在下列函数中，最小值为2的是（）

A、B、C、D、C4、在下列函数中，最小值为2的是（）C37

下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？１．已知函数