2020届全国各地高考试题分类汇编精讲版- 三角函数与解三角形

2020届全国各地高考试题分类汇编精讲版-三角函数与解三角形2020届全国各地高考试题分类汇编——三角函数和解三角形1.(2020·北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay)。历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似。数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值。按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是：(30°+tanA.3n*sin30°+tanB.6n*sin30°+60°+tanC.3n*sin60°+tanD.6n*sin60°)/6n答案为A选项，即(30°+tanA.3n*sin30°+tanB.6n*sin30°)/n。【规律方法】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果。【详细解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°/6n，每条边长为2sin(30°/n)或2sin(60°/n)。所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin(30°/n)，单位圆的外切正6n边形的周长为12ntan(30°/n)。将它们的算术平均数作为2π的近似值，则π=3n(sin(30°/n)+tanA.3n/n)，故选A。【点拨】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题。2.(2020·北京卷)若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________。答案为π/2+kπ，其中k∈Z。【规律方法】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得。【详细解答】因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=cos2φ+(sinφ+1)sin(x+θ)，其中θ=φ+π/2。所以cos2φ+(sinφ+1)=2，解得sinφ=1，故可取φ=π/2+kπ，其中k∈Z。本题考查函数最小正周期的概念，需要根据图像进行分析。根据函数的周期性，我们可以找到一个最小正周期，使得在这个周期内，函数的图像重复出现。根据图像，我们可以看出这个周期大约是4π，因此答案为C选项。这道题需要考生对函数的图像和周期性有一定的理解和掌握。已知$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，则$\sin\alpha$等于（）。A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$【规律方法】根据已知条件，结合三角函数在不同象限的正负关系，确定$\sin\alpha$的正负号，再利用三角函数值的大小关系确定答案。【详细解答】由已知条件可知，$\alpha$位于第三象限，即$\sin\alpha$为负数。又因为$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，所以$\cos\alpha$也为负数。根据单位圆上$\alpha$的坐标可知，$\sin\alpha$的绝对值大于$\frac{1}{2}$，而$\frac{1}{2}$是$\sin$函数在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上的最大值，因此$\sin\alpha$的绝对值大于$\frac{1}{2}$，又因为$\sin\alpha$为负数，所以$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。故选D。【点拨】本题考查三角函数在不同象限的正负关系和三角函数值的大小关系，需要熟记三角函数值的大小关系和单位圆上各角度的坐标，属于基础题。由正弦定理可得：$\sinA=\frac{AC}{2R}$，其中$R$为$\triangleABC$的外接圆半径。又因为$\triangleABC$的外接圆经过点$A,B,C$，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\angleABC}{\sin\angleBAC}=\frac{\sinB}{\sinA}$，代入已知条件得到$\sinB=\frac{3}{2}$。因为$0<B<\pi$，所以$\sinB>0$，即$\cosB=\sqrt{1-\sin^2B}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。故选：$\textbf{(A)}$。【点拨】本题主要考查正弦定理的应用、三角函数的性质等知识，需要注意正弦函数的取值范围，以及如何根据已知条件求解未知量。8.在$\triangleABC$中，已知$\cosC=\frac{a}{2b}$，$AC=4$，$BC=3$，求$\cosB$。【解答】根据余弦定理，$AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdotBC\cdot\cosC$。代入已知条件得到$AB^2=\frac{7}{4}$，即$AB=\frac{\sqrt{7}}{2}$。再根据余弦定理，$\cosB=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC\cdotAB}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，代入已知条件得到$\cosB=\frac{1}{\sqrt{2}}$。故选：$\textbf{(D)}$。【点拨】本题主要考查余弦定理的应用，需要注意如何根据已知条件求解未知量，以及如何化简表达式。9.已知$2\tan\theta-\tan(\theta+\frac{\pi}{3})=7$，求$\tan\theta$。【规律方法】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案。【详细解答】将$\tan(\theta+\frac{\pi}{3})$化为$\tan\theta$的式子，得到$2\tan\theta-\frac{\sqrt{3}\tan\theta+1}{\sqrt{3}-\tan\theta}=7$，整理得到$\tan\theta=2$。因此选D。【点拨】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题。10.关于函数$f(x)=\sinx+1$，以下哪些命题是真命题？①$f(x)$的图像关于$y$轴对称。②$f(x)$的图像关于原点对称。③$f(x)$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称。④$f(x)$的最小值为$2$。其中所有真命题的序号是______。【规律方法】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$可判断命题④的正误。综合可得出结论。【详细解答】对于命题①，$f(x)$的图像不关于$y$轴对称，因为$f(-\frac{\pi}{2})=1+\sin(-\frac{\pi}{2})=0$，而$f(\frac{\pi}{2})=1+\sin(\frac{\pi}{2})=2$，因此命题①错误；对于命题②，$f(x)$的定义域为$x\neqk\pi,k\inZ$，定义域关于原点对称，因此$f(-x)=\sin(-x)+1=-\sinx+1=-f(x)$，所以$f(x)$的图像关于原点对称，命题②正确；对于命题③，$f(-x)=\sin(-x)+1=-\sinx+1=\cos(\frac{\pi}{2}-x)+1=f(\frac{\pi}{2}-x)$，因此$f(x)$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称，命题③正确；对于命题④，$f(x)$的最小值为$0+1=1$，因此命题④错误。综上所述，所有真命题的序号是②③。对于命题④，当$-\pi<x<0$时，$\sinx<0$，则$f(x)=\sinx+2<2$，所以命题④错误。故答案为：②③。【改写】针对命题④，我们可以发现当$-\pi<x<0$时，$\sinx<0$，因此$f(x)=\sinx+2<2$，因此命题④是错误的。因此答案应该是②和③。11.（2020•江苏卷）已知$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\frac{3}{4}$，则$\sin2\alpha$的值是____。【改写】已知$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\frac{3}{4}$，根据两角和正弦公式，我们可以展开得到$\sin2\alpha=\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha-\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha-\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha$。再根据三角函数的定义，可以得到$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，所以$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{7}}{4}$。因此，$\sin2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{16}$。将函数$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{2})$的图象向右平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，则平移后的图象中与$y$轴最近的对称轴的方程是____。【改写】将函数$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{2})$向右平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，得到函数$y=3\sin[2(x-\frac{\pi}{12})]$。根据正弦函数的对称性，可以得到对称轴的方程为$x-\frac{\pi}{12}=k\pi$，即$x=\frac{\pi}{12}+k\pi$。由于要求与$y$轴最近的对称轴，因此需要找到最小正整数$k$，使得$x=\frac{\pi}{12}+k\pi$在$[0,\frac{\pi}{2}]$范围内。可以得到$k=-1$，因此对称轴的方程为$x=-\frac{5\pi}{24}$。13.（2020•江苏卷）在$\triangleABC$中，角$A$，已知$a=3,c=2,B=45^\circ$。（1）求$\sinC$的值；（2）在边$BC$上取一点$D$，使得$\cos\angleADC=-\frac{1}{4}$，求$\tan\angleDAC$的值。【改写】（1）根据正弦定理，可以得到$\frac{\sinC}{c}=\frac{\sinB}{b}$，代入已知条件$a=3,c=2,B=45^\circ$，可以得到$\sinC=\frac{b}{2}=\frac{5}{\sqrt{2}}$。（2）根据余弦定理，可以得到$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB=7$。又因为$\cos\angleADC=-\frac{1}{4}$，可以得到$\sin^2\angleADC=1-\cos^2\angleADC=\frac{15}{16}$。由于$\triangleADC$中$\angleA$为锐角，因此$\sin\angleADC>0$，可以得到$\sin\angleADC=\frac{\sqrt{15}}{4}$。根据正弦定理，可以得到$\frac{AD}{\sin\angleADC}=\frac{CD}{\sin\angleDAC}$，代入已知条件$AD+CD=2$，可以得到$\sin\angleDAC=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，$\cos\angleDAC=\frac{2}{\sqrt{15}}$，因此$\tan\angleDAC=\frac{\sin\angleDAC}{\cos\angleDAC}=\frac{3}{2}$。将另外两个条件代入，可以得到一个关于b和A的方程，解出b和A的值，即可求出三角形ABC的大小关系。改写为：三角形ABC的边长和角度有三个条件，可以选择其中一个条件，代入另外两个条件得到一个方程，解出另外两个未知数，从而确定三角形ABC的大小关系。已知函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})$，给出以下结论：①$f(x)$的最小正周期为$2\pi$；②$f(\frac{\pi}{3})$是$f(x)$的最大值。【解析】①由于$\sin(x+2\pi+\frac{\pi}{3})=\sin(x+\frac{7\pi}{3})=\sin(x+\frac{\pi}{3})$，所以$f(x)$的周期为$2\pi$。②$f(x)$的最大值为$1$，当且仅当$x+\frac{\pi}{3}=k\pi$，其中$k$为整数。当$x=\frac{\pi}{3}$时，$x+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$，符合条件，所以$f(\frac{\pi}{3})=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$是$f(x)$的最大值。因此，结论为：①$f(x)$的最小正周期为$2\pi$；②$f(\frac{\pi}{3})$是$f(x)$的最大值。在ABC中，已知a=22，b=5，c=13，求解以下问题：（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA的值；（Ⅲ）求sin(2A+π/4)的值。【解答】（Ⅰ）由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(22^2+5^2-13^2)/(2×22×5)=4/5∴C=arccos(4/5)≈36.87°（Ⅱ）由正弦定理，sinA=a/(2R)=a/(2b·sinC)=22/(2×5·sin36.87°)≈0.788（Ⅲ）由正弦公式和三角恒等式，sin(2A+π/4)=sin2A·cosπ/4+cos2A·sinπ/4=2sinA·cosA·(1/√2)+(2cos^2A-1)·(1/√2)=(22/13)·(4/5)·(1/√2)+(1-2sin^2A)·(1/√2)=(22/13)·(4/5)·(1/√2)+(1-2(22/13)^2)·(1/√2)≈0.464综上，（Ⅰ）C≈36.87°，（Ⅱ）sinA≈0.788，（Ⅲ）sin(2A+π/4)≈0.464。已知$\tan\theta=2$，则$\cos2\theta=$______；$\tan(\theta-\frac{\pi}{4})=$______．【规律方法】利用二倍角余弦公式以及弦化切得$\cos2\theta$，根据两角差正切公式得$\tan(\theta-\frac{\pi}{4})$，即可得出答案。【详细解答】$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}=\frac{2}{5}$，$\tan(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\theta-\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan\theta\tan\frac{\pi}{4}}=-1$，故答案为：$\frac{2}{5}$，$-1$。【点拨】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题。在锐角$\triangleABC$中，角$A$，且$2b\sinA=3a$．（I）求角$B$；（II）求$\cosA+\cosB+\cosC$的取值范围．【规律方法】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定$\angleB$的大小；（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有$\angleA$的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定$\angleA$的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得$\cosA+\cosB+\cosC$的取值范围。【详细解答】（I）由$2b\sinA=3a$结合正弦定理可得：$2\sinB\sinA=3\sinA$，$\sinB=\frac{3}{2}$，$\angleB=\frac{\pi}{3}$。（II）结合(1)的结论有：$\cosA+\cosB+\cosC=\cosA+\cos(\pi-A-B)+\cosB=-\cos(A+B)+\cosA+\cosB=-2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\cosA+\cosB=2\cos^2\frac{A}{2}-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}+\cosA+\cosB$。由于$\triangleABC$为锐角三角形，故$0<\angleA<\frac{\pi}{2}$，又因为$\sin\frac{B}{2}>0$，$\cos\frac{A}{2}>0$，所以$\cosA+\cosB+\cosC>2\cos^2\frac{A}{2}-1$。当$\frac{\pi}{3}<\angleA<\frac{\pi}{2}$时，$\cos\frac{A}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\cos^2\frac{A}{2}-1<\cosA+\c