第二十一章 一元二次方程的六种解法同步练习题（含答案）

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一元二次方程的六种解法

解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程还可以用换元法等.在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果.

方法①用直接开平方法解方程

1.方程(4x-1)=225的解是_.

方法②用配方法解方程

2.解方程:2x-4x-30=0.

方法③用公式法解方程

3.解方程:x=6x+1.

方法④用因式分解法解方程

4.解下列方程：

(1)x+4x-5=0;(2)(x-3)=2(3-x).

方法⑤用适当的方法解方程

5.解方程:3(x-5)=x-25.

6.解方程:(x+1)(x-1)+2(x+3)=8.

方法⑥用换元法解方程

7.小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a(x+m)+b=0(a,b,m为常数,a≠0)的解是

x=-3,x=2,求方程a(x+m+1)+b=0的解.他用“换元法”解决了这个问题.我们一起来看看小明同学的具体做法.

解：在方程a(x+m+1)+b=0中,令y=x+1，则方程可变形为a(y+m)+b=0.

根据关于x的方程a((x+m)+b=0的解是x=-3,x=2,可得方程a(y+m)+b=0

的解是.y=-3,y=2.

把y=-3代入y=x+1得,x=-4;

把y=2代入y=x+1得,x=1.

则方程。a(x+m+1)+b=0的解是x=-4,x=1.

【理解】已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根m,n.

(1)关于x的方程的两根分是_(用含有m，n的代数式表示)；

(2)方程_的两个根分别是2m,2n(写出一个即可).

【猜想与证明】

(3)观察下表中每个方程的解的特点：

方程方程的解方程方程的解

x+3=0xx=-3,3x+4xx=-/,x=-1

2x-7x+3=0x=1/2,x=33x-7x+2=0x=2,x=/

…………

猜想：方程ax+bx+c=0(a≠0,c≠0,b-4ac≥0)的两个根与方程_的两个根互为倒数；

(4)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想.

2.解:2x-4x-30=0,x-2x=15,

x-2x+1=15+1,(x-1)=16,x-1=±4.

∴x=5,x=-3.

3.解:x=6x+1,即x-6x-1=0.

∵Δ=(-6)-4×1×(-1)=40,

4.解:(1)∵x+4x-5=0,

∴(x+5)(x-1)=0,

则x+5=0或x-1=0,解得x=-5或x=1.

(2)∵(x-3)=2(3-x),

∴(x-3)+2(x-3)=0.

∴(x-3)(x-1)=0.

则x-3=0或x-1=0,解得x=3或x=1.

5.解:3(x-5)=x-25,

3(x-5)=(x+5)(x-5),

3(x-5)-(x+5)(x-5)=0,

(x-5)[3(x-5)-(x+5)]=0,

(x-5)(2x-20)=0,

x-5=0或2x-20=0.

∴x=5,x=10.

6.解:(x+1)(x-1)+2(x+3)=8,

x-1+2x+6=8,x+2x=3,

x+2x+1=3+1,(x+1)=4,x+1=±2.

∴x=1,x=-3.

7.(1)m,n点拨：令

∴方程可化为ay+by+c=0.

又∵ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根m，n，

∴y=m或y=n.

或

∴x=m或x=n.

(2)ax+2bx+4c=0点拨：∵方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根m，n，

∵方程的两个根分别是2m，2n，

∴方程ax+2bx+4c=0的两个根为2m,2n.(答案不唯一)

(3)cx+bx+a=0

(4)证明:由cx+bx+a=0两边同除以x，得

设方程可变形为ay+by+c=0.

设方程ax+bx+c=0的解是x=m,x=n,

可得方程ay+by+c